Complessi

[rico]

Ciao, sto cercando d imparare qualcosa su i complessi. Qualcuno puo spiegarmi come risolvere un esercizio del genere:
"calcolare le radici cubiche del numero complesso $1/(1+i)$".
Grazie ciao!!

[*marcellopedone]

Si possono calcolare nel seguente modo:
prima elimina l'unità immaginaria dal denominatore, moltiplicando e dividendo per (1-j), otterrai 1/2-j/2; poi usa la formula di Moivre.

[rico]

non so fare nulla di tutto cio...cmq, provero ad ingengarmi...

[_nicola de rosa]

"richard84":non so fare nulla di tutto cio...cmq, provero ad ingengarmi...

$root(3)z=z^(1/3)=|z|^(1/3)*e^(i/3*(phi+2kpi))=|z|^(1/3)*[cos((phi+2kpi)/3)+isin((phi+2kpi)/3)]$ $k=0,1,2$
$z=1/2*(1-i)$ $->$ $|z|=1/sqrt(2)$ e $phi=-arctg(1)=-pi/4$
Per cui
$root(3)z=(1/sqrt(2))^(1/3)*[cos((-pi/4+2kpi)/3)+isin((-pi/4+2kpi)/3)]$ $k=0,1,2$
Quindi

$k=0$ $->$ $z_0=(1/sqrt(2))^(1/3)*[cos(pi/12)+isin(-pi/12)]=(1/sqrt(2))^(1/3)*[1/2sqrt(2+sqrt(3))-i*1/2*sqrt(2-sqrt(3))]$

$k=1$ $->$ $z_1=(1/sqrt(2))^(1/3)*[cos((7pi)/12)+isin((7pi)/12)]=(1/sqrt(2))^(1/3)*[-1/2*sqrt(2-sqrt(3))+i*1/2sqrt(2+sqrt(3))]$

$k=2$ $->$ $z_2=(1/sqrt(2))^(1/3)*[cos((11pi)/12)+isin((11pi)/12)]=(1/sqrt(2))^(1/3)*[-1/2*sqrt(2+sqrt(3))+i*1/2sqrt(2-sqrt(3))]$

[rico]

come posso fare per sapere per es. quanto vale $cos(pi/12)$??
invece come posso mettere in una forma con la quale possa operare il seguente numero: $(1-i)/(2i)$
vorrei capire la tecnica da usare...
Io ho provato a fare cosi, ma penso sia sbagliato:
$((1-i)2i)/(2i2i)=-((1-i)2i)/4=-1/2-1/2i$

[_nicola de rosa]

"richard84":come posso fare per sapere per es. quanto vale $cos(pi/12)$??
invece come posso mettere in una forma con la quale possa operare il seguente numero: $(1-i)/(2i)$
vorrei capire la tecnica da usare...
Io ho provato a fare cosi, ma penso sia sbagliato:
$((1-i)2i)/(2i2i)=-((1-i)2i)/4=-1/2-1/2i$

Allora $cos(pi/12)=cos(1/2*pi/6)=sqrt((1+cos(pi/6))/2)=1/2sqrt(2+sqrt(3))$ per le formule di bisezione.

Poi $(1-i)/(2i)$
Moltiplica e dividi per $-i$ ottenendo
$((1-i)*(-i))/((2i)*(-i))=(-i-1)/2$
Cioè si moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore.
Se $z=a+i*b$ allora il complesso coniugato è $z^(**)=a-i*b$

[rico]

grazie nica, ma per ottenere il numero nella forma A+iB posso sempre usare quella tecnica??

[_nicola de rosa]

"richard84":grazie nica, ma per ottenere il numero nella forma A+iB posso sempre usare quella tecnica??

Si, in generale ad esempio
$z=1/(a+i*b)=(a-i*b)/(a^2+b^2)$ ottenuto moltiplicando e dividendo per il complesso coniugato del denominatore

E' ovvio che metterlo in questa forma è più comodo, ma se vuoi applicare la formula di de Moivre per calcolare le radici n-esime, non è necessario mettere nella forma suddetta. e' solo un modo più conveniente.

[rico]

ancora una cosa vorrei chiedere....visto che sul mio libro esercizi non c e ne sono, vorrei sapere come sono fatti gli esercizi con argomento i numeri complessi: m interesserebbero soltanto le varie tipologie (per.es ne ho trovati molti che ti richiedono di trovare le radici n-esime,ma gli altri quali sono?).

[_nicola de rosa]

"richard84":ancora una cosa vorrei chiedere....visto che sul mio libro esercizi non c e ne sono, vorrei sapere come sono fatti gli esercizi con argomento i numeri complessi: m interesserebbero soltanto le varie tipologie (per.es ne ho trovati molti che ti richiedono di trovare le radici n-esime,ma gli altri quali sono?).

http://www.imati.cnr.it/~marco/PDF/Geom ... mplessi%22

Questi che trovi sono una parte, poi ci sono gli integrali nel campo complesso, serie, trasformate e tanta roba. ma per cominciare leggi qui.

[rico]

ok, mi sono ancora accorto di una cosa che non ho capito: il coniguato di 2i non e -2i??

[rico]

Nel seguente es:
trovare $x,y$appartenenti a R tale che:
$(-5-7i)x+(-1+2i)y=2+48/5i$
cosa metto a sistema?
$-5x-y=2$poi??

[Camillo]

E poi metti a sistema anche :
$ -7x+2y = 48/5$ e con questo hai uguagliato le parti immaginarie dei due numeri complessi; prima avevi uguagliato le parti reali.
Se due numeri complessi sono uguali devono avere stessa parte reale e stessa parte immaginaria.

[rico]

avevo gia provato a fare cosi, ma non mi quadra il risultato...mi viene$-17x=68/5$

[_nicola de rosa]

"richard84":avevo gia provato a fare cosi, ma non mi quadra il risultato...mi viene$-17x=68/5$

Il coniugato di $2*i$ è $2*(-i)=-2i$

Poi per l'equazione devi imporre che le parti reali e le parti immaginarie siano uguali, cioè
${(-5x-y=2),(-7x+2y=48/5):}$ da cui trovi
${(x=-4/5),(y=2):}$

[rico]

quindi per fare il coniugato di qualunquq numero complesso moltiplico per -i???ma come mai il sistema non mi viene???il ragionamento per fortuna l avevo intuito!!

[_nicola de rosa]

"richard84":quindi per fare il coniugato di qualunquq numero complesso moltiplico per -i???ma come mai il sistema non mi viene???il ragionamento per fortuna l avevo intuito!!

per definizione se $z=a+i*b$ allora il coniugato si ottiene da $z$ mettendo al posto di $i$, $-i$
cioè $z^(**)=a-i*b

[rico]

ma quindi moltiplico per -i??o metto il meno davanti alla parte immaginaria?

[_nicola de rosa]

"richard84":ma quindi moltiplico per -i??o metto il meno davanti alla parte immaginaria?

mettere il $-$ davanti alla parte immaginaria

poi nota che $-17x=68/5$ $<=>$ $x=-4/5$

[rico]

nica mi spieghi ancora come fare l es 6.2 di quelli che mi hai dato tu?l equazione....

[_nicola de rosa]

"richard84":nica mi spieghi ancora come fare l es 6.2 di quelli che mi hai dato tu?l equazione....

a disposizione
$z^4=1+i$ cioè devi trovare le radici quarte di $z'=1+i$
Formula di De Moivre
$z_(1,2,3,4)=|z'|^(1/4)*e^(i/4*(phi+2kpi))=|z'|^(1/4)*[cos((phi+2kpi)/4)+i*sin((phi+2kpi)/4)]$ $k=0,1,2,3$
con $|z'|=|1+i|=sqrt(2)$ e $phi=arctg(1)=pi/4$ per cui
$z_(1,2,3,4)=(sqrt(2))^(1/4)*e^(i/4*(pi/4+2kpi))=(sqrt(2))^(1/4)*[cos((pi/4+2kpi)/4)+i*sin((pi/4+2kpi)/4)]$ $k=0,1,2,3$