Studio dei radicali
Oggi apro un nuovo argomento, visti i tempi che mi si stringono non posso dedicarmi a solo uno per volta.
l'argomento che non capisco è l'applicazione della proprietà invariantiva per effettuare il prodotto o divisione tra radicali con indice diverso, in pratica una volta trovato il mcm sull'indice non capisco come si applica il prodotto o la divisione sui radicandi e relativo esponente!
scrivo l'esempio del libro per spiegare bene quello che non ho capito!
ecco quello che non capisco è come ha estrapolato gli esponenti dei radicandi! a occhio sembrano i precedenti indici ma non sono rispettivamente messi sugli stessi radicali ma invertiti o una cosa del genere.
non so se mi sono spiegato!
l'argomento che non capisco è l'applicazione della proprietà invariantiva per effettuare il prodotto o divisione tra radicali con indice diverso, in pratica una volta trovato il mcm sull'indice non capisco come si applica il prodotto o la divisione sui radicandi e relativo esponente!
scrivo l'esempio del libro per spiegare bene quello che non ho capito!
per calcolare $root(3)(4)*root()(3)$, visto che i due radicali sono irriducibili e che il primo ha indice $3$ ed il secondo ha indice $2$, li trasformiamo dapprima in modo che abbiano indice $6$, che è il mcm fra $3$ e $2$, poi moltiplichiamo.
$root(3)(4)*root()(3)=$$root(6)(4^2)$ "indice ed esponente del radicando si moltiplicano per $2$ " $root(6)(3^3)$ " indice ed esponente del radicando si moltiplicano per $3$"
il risultato è: $root(6)(4^2)*3^3$
ecco quello che non capisco è come ha estrapolato gli esponenti dei radicandi! a occhio sembrano i precedenti indici ma non sono rispettivamente messi sugli stessi radicali ma invertiti o una cosa del genere.
non so se mi sono spiegato!
Risposte
elevazione a potenza di indice n e estrapolare la radice di indice n sono operazioni inverse (come lo sono tra di loro operazioni come addizione e sottrazione) quindi così come puoi applicare la proprietà invariantiva alla divisione: $2/3 = 4/6$ puoi applicarla ai radicali: se elevi un numero a un indice 2 l'operazione inversa sarà ricavare la radice quadrata del numero; quindi se moltiplichi l'indice della radice e l'esponente per uno stesso numero il risulato non cambia. nel tuo caso trovi il m.c.m. tra gli indici che è 6 e poi trasformi $root(3)(4)$ in una radice equivalente con indice 6 (come si fa per una frazione e la sua equivalente) moltiplicando per uno stesso numero, 2, indice e esponente.ottieni $root(6)(8)=root(3)(4)$
non so se sono stato chiaro o.o
non so se sono stato chiaro o.o
grazie per la risposta ma c'è qualcosa che mi sfugge!
la proprietà invariantiva dice che moltiplicando o dividendo l'indice e l'esponente del radicando per uno stesso numero il risultato non cambia; questa proprietà porta il vantaggio di poter semplificare un radicale.
ora da quanto citato nel messaggio precedente dal libro mi sembra ci sia un po' di confusione (per me), in principio dice di effettuare il mcm tra gli indice, e ho perfettamente compreso questo passaggio, ma poi tra virgolette comincia a dire che l'indice e l'esponente del radicando si moltiplicano uno per 2 e l'altro per 3; già qua per me c'è del bordello perché indica 2 operazioni diverse sullo stesso punto, cioè la prima volta con il mcm, la seconda moltiplicando per 2 e 3 fattori del mcm invertiti sui rispettivi radicali.
ora vedo solo due possibili situazioni che diano un procedimento forse riproducibile:
1 fare il mcm sugli indice e poi moltiplicare i due esponenti del radicando per un sottomultiplo dell'indice!
2 fare il mcm sugli indici e poi mettere come esponente i fattori del mcm ma invertiti sui rispettivi radicali
per ipotesi se avessi dovuto scrivere quella doppia indicazione io avrei scritto così $root(12)(2^4)$ e l'altro così $root(18)(3^3)$ che poi semplificandoli sarebbero diventati $root(3)(2)$ e$root(6)(3)$ in quanto applicando la proprietà invariantiva (in questo caso dopo il mcm) avrei dovuto moltiplicare l'indice e l'esponente del radicando per uno stesso numero sui singoli radicali.
ora ho trovato un sito che spiega queste cose, spero mi illumini al riguardo, ma confido anche su un aiutino qua sul forum!
la proprietà invariantiva dice che moltiplicando o dividendo l'indice e l'esponente del radicando per uno stesso numero il risultato non cambia; questa proprietà porta il vantaggio di poter semplificare un radicale.
ora da quanto citato nel messaggio precedente dal libro mi sembra ci sia un po' di confusione (per me), in principio dice di effettuare il mcm tra gli indice, e ho perfettamente compreso questo passaggio, ma poi tra virgolette comincia a dire che l'indice e l'esponente del radicando si moltiplicano uno per 2 e l'altro per 3; già qua per me c'è del bordello perché indica 2 operazioni diverse sullo stesso punto, cioè la prima volta con il mcm, la seconda moltiplicando per 2 e 3 fattori del mcm invertiti sui rispettivi radicali.
ora vedo solo due possibili situazioni che diano un procedimento forse riproducibile:
1 fare il mcm sugli indice e poi moltiplicare i due esponenti del radicando per un sottomultiplo dell'indice!
2 fare il mcm sugli indici e poi mettere come esponente i fattori del mcm ma invertiti sui rispettivi radicali
per ipotesi se avessi dovuto scrivere quella doppia indicazione io avrei scritto così $root(12)(2^4)$ e l'altro così $root(18)(3^3)$ che poi semplificandoli sarebbero diventati $root(3)(2)$ e$root(6)(3)$ in quanto applicando la proprietà invariantiva (in questo caso dopo il mcm) avrei dovuto moltiplicare l'indice e l'esponente del radicando per uno stesso numero sui singoli radicali.
ora ho trovato un sito che spiega queste cose, spero mi illumini al riguardo, ma confido anche su un aiutino qua sul forum!
tu hai i due radicali $root(3)(4)$ e $root(2)(3)$? devi portarli allo stesso indice che non può che essere il m.c.m tra gli indici, cioè $6$: per trasformare il primo radicale devi moltiplicare l'indice $3$ per $2$ e quindi per aver un radicale equivalente devi moltiplicare anche il radicando $4$ per $2$ (la proprietà invariantica dice che puoi moltiplicare o dividerre per uno steso numero, in questo caso 6) stessa cosa per l'altro radicale.quindi devi moltiplicareil radicando per lo stesso fattore per cui moltiplichi l'indice. Spero di essere stato chiaro
grazie per la risposta, vediamo se ho capito i passaggi da fare:-D
1 trovo il mcm tra gli indici
2 scompongo il mcm in 2 fattori che diano come prodotto lo stesso mcm, poi moltiplico il radicando per il fattore diverso dall'indice di partenza.
da esempio precedente diventa così:
gli indici sono 3 e 2 il mcm è 6.
per il primo indice il mcm $6$ si trova moltiplicando l'indice stesso per (2) $3*2=6$ , per il secondo devo moltiplicare per $3$ e diventa $2*3=6$
quindi i rispettivi esponenti dei radicandi saranno moltiplicati per il secondo fattore cioè il fattore diverso dal corrispettivo indice.
guardando sul libro sembra che questi fattori siano proprio l'inverso dei rispettivi indici applicati agli esponenti del radicando, è una proprietà sempre valida oppure non è altrettanto valida come ho appena indicato?
appena posso scriverò alcuni casi molto strani in cui ci sono radicandi solamente scomposti e non moltiplicati per uno stesso esponente, l'ho notato su un rapporto fra radicali, in tal caso quel fattore veniva semplificato con il denominatore.
1 trovo il mcm tra gli indici
2 scompongo il mcm in 2 fattori che diano come prodotto lo stesso mcm, poi moltiplico il radicando per il fattore diverso dall'indice di partenza.
da esempio precedente diventa così:
gli indici sono 3 e 2 il mcm è 6.
per il primo indice il mcm $6$ si trova moltiplicando l'indice stesso per (2) $3*2=6$ , per il secondo devo moltiplicare per $3$ e diventa $2*3=6$
quindi i rispettivi esponenti dei radicandi saranno moltiplicati per il secondo fattore cioè il fattore diverso dal corrispettivo indice.
guardando sul libro sembra che questi fattori siano proprio l'inverso dei rispettivi indici applicati agli esponenti del radicando, è una proprietà sempre valida oppure non è altrettanto valida come ho appena indicato?
appena posso scriverò alcuni casi molto strani in cui ci sono radicandi solamente scomposti e non moltiplicati per uno stesso esponente, l'ho notato su un rapporto fra radicali, in tal caso quel fattore veniva semplificato con il denominatore.
non devi per forza scomporre in due fattori, nel caso in cui un indice è multiplo dell'altro dovrai ricondurti a quell'indice, o cmq non per forza il mcm di due numeri è dato dal prodotto di essi ti faccio due esempi
$root(6)(5)$ e $root(2)(3)$ ridurre a un indice comune: esso è $6$ mcm tra $6$ e $2$ quindi il primo rimane tale nel secondo devi applicare la proprietà invariantiva moltiplicando indice e esponente del radicando per $3$ (perché 3*2=6) e ottieni $root(6)(27)$
$root(6)(4)$ e $root(4)(4)$ il mcm è 12 quindi applichi la proprietà invariantiva al primo radicale moltiplicando per $2$ e al secondo moltiplicando per $3$ ottenendo $root(12)(8)$ e $root(12)(64)$
quello che dici tu avviee quando come nell'esempio del tuo libro idue radicali sono irriducibili
capito adesso? penso di essere stato chiaro mi sembra abbastanza ovvio
$root(6)(5)$ e $root(2)(3)$ ridurre a un indice comune: esso è $6$ mcm tra $6$ e $2$ quindi il primo rimane tale nel secondo devi applicare la proprietà invariantiva moltiplicando indice e esponente del radicando per $3$ (perché 3*2=6) e ottieni $root(6)(27)$
$root(6)(4)$ e $root(4)(4)$ il mcm è 12 quindi applichi la proprietà invariantiva al primo radicale moltiplicando per $2$ e al secondo moltiplicando per $3$ ottenendo $root(12)(8)$ e $root(12)(64)$
quello che dici tu avviee quando come nell'esempio del tuo libro idue radicali sono irriducibili
capito adesso? penso di essere stato chiaro mi sembra abbastanza ovvio
l'ovvietà (si può dire?) è per i forti, la perplessità è per i deboli! 
trasformato in questa situazione diventa, per chi sa pare ovvio per chi non sa pare incomprensibile!
ma forse si tratta solo di guardare nello stesso contenitore dell'informazione, vediamo se ora ho trovato il contenitore giusto dove andarci a guardare
esempio.
$m=$indice 1
$n=$ indice 2
$k=$fattore del primo indice e del primo radicando
$h=$fattore del secondo indice e del secondo radicando
$mcm=mn$ (se non erro la scrittura in forma letterale)
$root(m)(2)*root(n)(4)=$
$mcm=mn=m*k(vv)n*h$
$root(m*k)(2^k)*root(n*h)(4^h)=$
$root(mn)(2^k)*root(mn)(4^h)=$
$root(mn)(2^k*4^h)$
$root(mn)(2^k*2^(2h))$
$root(mn)(2^(k+2h))$
Ho corretto ora dovrebbe essere giusto!
fammi sapere se c'è qualche errore di scrittura (ho svritto di corsa:D) e se è corretto il ragionamento e se in certi casi questo ragionamento non è valido.
trasformato in questa situazione diventa, per chi sa pare ovvio per chi non sa pare incomprensibile!
ma forse si tratta solo di guardare nello stesso contenitore dell'informazione, vediamo se ora ho trovato il contenitore giusto dove andarci a guardare
per trasformare 2 radicali aventi indici diversi in 2 radicali con lo stesso indice si trova il mcm fra gli indici dei radicali o radice, si applica la proprietà invariantiva moltiplicando i singoli indici e i relativi esponenti dei radicandi per un fattore che dia come risultato il mcm.
esempio.
$m=$indice 1
$n=$ indice 2
$k=$fattore del primo indice e del primo radicando
$h=$fattore del secondo indice e del secondo radicando
$mcm=mn$ (se non erro la scrittura in forma letterale)
$root(m)(2)*root(n)(4)=$
$mcm=mn=m*k(vv)n*h$
$root(m*k)(2^k)*root(n*h)(4^h)=$
$root(mn)(2^k)*root(mn)(4^h)=$
$root(mn)(2^k*4^h)$
$root(mn)(2^k*2^(2h))$
$root(mn)(2^(k+2h))$
Ho corretto ora dovrebbe essere giusto!
fammi sapere se c'è qualche errore di scrittura (ho svritto di corsa:D) e se è corretto il ragionamento e se in certi casi questo ragionamento non è valido.
$root(mn)(2^k*4^h)=root(mn)(8^(k+h))$? Ne sei proprio sicuro? Per me è un nuova regola. Comunque tutti i calcoli precedenti sono corretti, questo passaggio purtroppo no.
$root(mn)(2^k*4^h)=root(mn)(2^k*2^(2h))=root(mn)(2^(k+2h))$. Chiaro?
$root(mn)(2^k*4^h)=root(mn)(2^k*2^(2h))=root(mn)(2^(k+2h))$. Chiaro?
Ho corretto 
mi ero lasciato trasportare da non so che cosa
ho corretto anche il mio teorema citato sopra sperando sia giusto.
ora vedo di approfondire e fissare meglio queste cose.
Grazie.
mi ero lasciato trasportare da non so che cosa
ho corretto anche il mio teorema citato sopra
sperando sia giusto.ora vedo di approfondire e fissare meglio queste cose.
Grazie.
dunque dunque e ancora dunque sto sdrammatizzando
sono arrivato a studiare il portar dentro e fuori radice i fattori o quozienti,devo ancora fissare queste cose ma per farlo ho bisogno di un aiutone sui moduli perché ogni tanto mi perdo nel comprendere il loro significato ma soprattutto applicarli in un calcolo, ovviamente si tratta di calcoli letterali.
ora fare degli esempi non mi riesce facile perché appunto c'è abbastanza confusione al riguardo quindi se vi è possibile vi chiedo se potete darmi una spiegazione di modulo con qualche esempio e gli errori da non fare, poi vedo di provare cosa ho capito.
aggiungo, se avete anche qualche link dove spiegano bene sarebbe utile perché studiare un argomento con parole e modi di interpretazione diversi aiuta molto a comprendere, nel frattempo provo pure io a vedere se trovo qualcosa
Grazie!
sto sdrammatizzando sono arrivato a studiare il portar dentro e fuori radice i fattori o quozienti,devo ancora fissare queste cose ma per farlo ho bisogno di un aiutone sui moduli perché ogni tanto mi perdo nel comprendere il loro significato ma soprattutto applicarli in un calcolo, ovviamente si tratta di calcoli letterali.
ora fare degli esempi non mi riesce facile perché appunto c'è abbastanza confusione al riguardo quindi se vi è possibile vi chiedo se potete darmi una spiegazione di modulo con qualche esempio e gli errori da non fare, poi vedo di provare cosa ho capito.
aggiungo, se avete anche qualche link dove spiegano bene sarebbe utile perché studiare un argomento con parole e modi di interpretazione diversi aiuta molto a comprendere, nel frattempo provo pure io a vedere se trovo qualcosa
Grazie!
Ti segnalo questo http://www.liceicarbonia.it/public/pagi ... dicali.pdf abbastanza semplice. Se hai dubbi chiedi pure.
grazie, devo approfondire per vedere meglio con qualche esercizio il confronto tra i risultati che ottengo e quelli presenti sul libro, sperando che mi indichi i moduli, per ora non ho ancora guardato.
tanto per tenere il caldo l'argomento faccio una domandina semplice;
ho una variabile sotto radice che la si può portar fuori radice ma, una parte, il resto, resta sotto radice, mentre il quoziente del calcolo va fuori radice, nel caso in cui si debba indicare il modulo questo lo si deve mettere sia fuori sia dentro sempre o ci sono casi particolari in cui va indicato solo fuori o solo dentro?
spero che si capisca
per ora mi interessa solo una risposta breve e diretta, nell'eventualità ci siano dei casi particolari, vedrò di approfondire l'argomento successivamente.
tanto per tenere il caldo l'argomento faccio una domandina semplice;
ho una variabile sotto radice che la si può portar fuori radice ma, una parte, il resto, resta sotto radice, mentre il quoziente del calcolo va fuori radice, nel caso in cui si debba indicare il modulo questo lo si deve mettere sia fuori sia dentro sempre o ci sono casi particolari in cui va indicato solo fuori o solo dentro?
spero che si capisca
per ora mi interessa solo una risposta breve e diretta, nell'eventualità ci siano dei casi particolari, vedrò di approfondire l'argomento successivamente.
Posta un esercizio almeno, altrimenti non si capisce.
scrivo un esempio sul libro e un paragone per assurdo in quanto errato.
$root(3)(2a^4)=root(3)(2*a^3*a)=root(3)(2)*root(3)(|a^3|)*root(3)(|a|)=|a|root(3)(2|a|)$
può succedere una situazione di questo tipo?
$aroot(3)(2|a|)$
oppure così
$|a|root(3)(2a)$
adesso questa come detta è errata, solo la prima è giusta, ma volevo sapere se per l'appunto, può capitare una situazione di questo genere!
$root(3)(2a^4)=root(3)(2*a^3*a)=root(3)(2)*root(3)(|a^3|)*root(3)(|a|)=|a|root(3)(2|a|)$
può succedere una situazione di questo tipo?
$aroot(3)(2|a|)$
oppure così
$|a|root(3)(2a)$
adesso questa come detta è errata, solo la prima è giusta, ma volevo sapere se per l'appunto, può capitare una situazione di questo genere!
Guarda che il tuo esercizio si risolve così: $root(3)(2a^4)=root(3)(2a^3a)=root(3)(2)*root(3)(a^3)*root(3)(a)=aroot(3)(2a)$. Chiaro?
strano perché sul libro me lo indica esattamente come l'ho scritto sopra a parte le due situazioni che ho aggiunto io!
nella spiegazione dice: il radicale è definito per qualsiasi valore reale di (a), sia positivo o nullo che negativo; quindi...dice il libro... si scrive come ho scritto sopra
nella spiegazione dice: il radicale è definito per qualsiasi valore reale di (a), sia positivo o nullo che negativo; quindi...dice il libro... si scrive come ho scritto sopra
Che cosa ci fa il valore assoluto non si capisce. Il valore di $a$ può essere positivo, negativo o nullo. Ricordati che l'indice di radice è dispari $3$.
Concordo con v.tondi: quando l'indice di radice è dispari non c'è nessun bisogno di valori assoluti, per nessun calcolo; se il tuo libro li mette, sbaglia il libro. I problemi si presentano solo con indici pari e in questo caso la parte portata fuori radice può richiedere il valore assoluto, che non va messo in ciò che rimane sotto radice: si può infatti dimostrare facilmente che quest'ultima parte ha lo stesso segno del numero iniziale.
Ti consiglio di non perdere molto tempo su questo argomento: molti libri lo considerano così insignificante che se la cavano con la scritta "tutte le grandezze considerate vanno considerate positive" e poi non mettono mai i valori assoluti, cui è dedicato solo un breve paragrafo finale. Tu devi svolgere un programma ampio ed è meglio che ti concentri sulle cose essenziali. Comunque una regola generale è: un valore assoluto necessario e mancante è un errore (anche se non grave, alla luce di quanto appena detto); se presente ma inutile è una pecca ma non un errore.
Ti consiglio di non perdere molto tempo su questo argomento: molti libri lo considerano così insignificante che se la cavano con la scritta "tutte le grandezze considerate vanno considerate positive" e poi non mettono mai i valori assoluti, cui è dedicato solo un breve paragrafo finale. Tu devi svolgere un programma ampio ed è meglio che ti concentri sulle cose essenziali. Comunque una regola generale è: un valore assoluto necessario e mancante è un errore (anche se non grave, alla luce di quanto appena detto); se presente ma inutile è una pecca ma non un errore.
oh molto bene, quindi o ho sbagliato io a scrivere o è il libro che sbaglia, per togliermi il dubbio posto le 2 pagine del libro, mi diventa un po' difficile studiare su cose sbagliate
sono 2 pagine, circa all'inizio della seconda è indicato quello che ho scritto sopra.
http://i46.tinypic.com/2edunv4.jpg
http://i49.tinypic.com/2mzxow8.jpg
sono 2 pagine, circa all'inizio della seconda è indicato quello che ho scritto sopra.
http://i46.tinypic.com/2edunv4.jpg
http://i49.tinypic.com/2mzxow8.jpg
Effettivamente il tuo libro non distingue fra indici pari e dispari; l'unica attenuante è che considera quasi esclusivamente radici quadrate (che sono le più importanti). Tutto quello che dice sui segni e sui valori assoluti è giusto con indici pari; ripeto però che con indici dispari non occorre assolutamente badarvi. I suoi non sono veri errori, in quanto ottiene comunque il giusto risulltato (le scritte $|a| root(3)|a|$ e $a root(3)a$ indicano uno stesso numero), ma le complicazioni inutili sono comunque condannabili.
Sto entrando in contrasto con un matematico abbastanza "in gamba" da scrivere un testo; ringrazio quindi fin d'ora quei moderatori che vorranno esprimere la loro opinione in proposito.
Sto entrando in contrasto con un matematico abbastanza "in gamba" da scrivere un testo; ringrazio quindi fin d'ora quei moderatori che vorranno esprimere la loro opinione in proposito.
è probabile come dici tu che è in gamga ( sono 2 lei) ma essere in gamga in matematica non significa aver ben capito a chi sta insegnando!
di fatto a me stanno parecchio sulle P soprattutto in geometria son tremende! usano un gergo e un sistema molto complesso e rigoroso per definire queste proprietà, molto lontano a parere mio dall'utenza che si è preposta di insegnare, cioè ragazzi di 15/16anni! ma forse mi sto sbagliando, visti alcuni interventi di alcune superdotate/i che scrivono qua! forse i quindicenni e i sedicenni hanno subito una trasformazione evolutiva che va parecchio lontano da quel che ricordo io ai miei tempi passati, io poi ero un brocco mica da ridere! mi sono salvato un po' perché ho ripreso gli studi a 21/26 anni, un po' autodidatta in informatica e un po' in cfp a scuola, altrimenti ora sarei veramente a livello di primate:D
comunque dopo se riesco posto anche la pagina che spiega i moduli, forse li chiarisce la sua posizione al riguardo.
di fatto a me stanno parecchio sulle P soprattutto in geometria son tremende! usano un gergo e un sistema molto complesso e rigoroso per definire queste proprietà, molto lontano a parere mio dall'utenza che si è preposta di insegnare, cioè ragazzi di 15/16anni! ma forse mi sto sbagliando, visti alcuni interventi di alcune superdotate/i che scrivono qua! forse i quindicenni e i sedicenni hanno subito una trasformazione evolutiva che va parecchio lontano da quel che ricordo io ai miei tempi passati, io poi ero un brocco mica da ridere! mi sono salvato un po' perché ho ripreso gli studi a 21/26 anni, un po' autodidatta in informatica e un po' in cfp a scuola, altrimenti ora sarei veramente a livello di primate
:Dcomunque dopo se riesco posto anche la pagina che spiega i moduli, forse li chiarisce la sua posizione al riguardo.
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