Parabola

[Bad90]

Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione

$ y=ax^2+bx+c $

Ecco i passaggi:

$ y=a(x^2+b/ax)+c $

E fin qui' ho capito.
Poi scrive:

$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $

E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.

[Gi81]

Ma scusa, io ti faccio una domanda e tu mi rispondi un'altra cosa?
Ripeto la domanda: come deve essere l'ascissa del vertice?

[Bad90]

"Gi8":Ma scusa, io ti faccio una domanda e tu mi rispondi un'altra cosa?
Ripeto la domanda: come deve essere l'ascissa del vertice?

Allora, Es. La simmmetria rispetto ad un asse è quella trasformazione che associa a ciascun punto un altro punto tale la retta che li congiunge sia perpendicolare all'asse di simmetria ed il punto medio di essi vi appartenga.
Sto cercando di ragionare, ma non mi viene in mente la risposta corretta!
Come deve essere l'ascissa del vertice

Forse la risposta è:

$ x=-x' $

[Gi81]

Deve essere uguale a $0$. Dunque $-b/(2a)=0$.


Cioè $b=0$

[Bad90]

E quindi devo impostare il sistema in questo modo?

$ { ( y=-3x^2+(k+2)x+2k ),( b=0 ):} $

[Gi81]

No.

L'equazione della parabola è $y= -3x^2 +(k+2) x +2k$, dunque $a = -3$, $b= k+2$, $c = 2k$
Dato che deve valere $b=0$, si deve avere $k+2=0$, cioè $k= -2$

L'equazione della parabola cercata è pertanto $y= -3x^2 -4$

[Bad90]

Adesso ho capito , ti ringrazio

[Bad90]

Esercizio 17
Data la parabola di equazione $ y=x^2-2(k+1)x+k-1 $ , determinare per quali valori di $ k $ il suo vertice appartiene alla retta di equazione $ x+y+5=0 $ .

Voglio ragionarci, .

Ho la parabola e la retta, so che entrambi devono avere un punto in comune, che è il vertice! Sapendo che il vertice è $ V(-b/(2a);-Delta/(4a)) $
Ho fatto la prova a mettere a sistema entrambi, per vedere cosa veniva fuori, ma questa via non mi ha portato alla soluzione!

Non sono sicuro, ma provo a dire una possibile soluzione.......
Forse devo calcolarmi il vertice della parabola e imporre la condizione che questo vertice appartiene alla retta ......?????

Ho fatto la prova a fare i calcoli, ma nemmeno questa è stata la soluzione dell'esercizio! In questo caso ho ottenuto che$ V(-b/(2a);-Delta/(4a))=>((k+1);(k-1))$

Cosa mi consigliate di fare

Grazie mille!

[giammaria2]

La tua ultima idea è giusta ma io ottengo $y_V=-k^2-k-2$; il tuo $k-1$ è l'intersezione con l'asse y.

[Bad90]

"giammaria":La tua ultima idea è giusta ma io ottengo $y_V=-k^2-k-2$; il tuo $k-1$ è l'intersezione con l'asse y.

Infatti ho sbagliato a fare i calcoli della y!
Con la tua correzione sono arrivato alla giusta conclusione!

Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 18
Data la parabola di equazione $ y=x^2-(k+2)x+2k+1 $ determinare per quali valori di $ k $ il suo vertice si trova sull'asse $ x $ .

[giammaria2]

Deve essere $y_V=0$ quindi ...

[Bad90]

Ho impostato $ y_v=0 $ , ma e' da questa mattina che faccio e rifaccio i calcoli, ma non mi viene il risultato, staro' sbagliando qualche passaggio! Adesso rifaccio nuovamente i calcoli e poi ti faccio sapere!

[Kashaman]

Ciao,
non vorrei proprio dirti fesserie , ma ti do una piccola dritta.
le equazioni del vertice sono date da $((-b)/(2a) ; - (\delta/(4a)))$
$x_v$ non ci interessa, è libero di muoversi, ciò che interessa è che la tua parabola sia "incollata"all'asse x, e
quindi ponendo $y_v =0 => - (\delta/(4a)))=0 $=>$ \delta=0$ (si può eliminare $4a$ visto che risulta essere intero positivo).
quindi hai da risolvere $(k+2)^2-4(2k+1)=0=> ....=> k^2-4k+4=0 => (k-2)^2=0 => k=2 $ è il parametro cercato.

[chiaraotta1]

A me sembra che, se deve essere $Delta=0$, allora, poiché
$Delta=(k+2)^2-4(2k+1)=k^2+4k+4-8k-4=k^2-4k=k(k-4)$,
l'equazione da risolvere sia
$k(k-4)=0$.
Questa ha soluzioni
$k_1=0, k_2=4$.

[Kashaman]

si hai ragione , ho sbagliato un pochetto i calcoli. $k_1=0,k_2=4$ sono corretti.

[Bad90]

Infatti il mio errore era nel segno che sbagliavo quando utilizzavo la formula

$ -(Delta/(4a))=0 $

Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 19

Risolvere graficamente la seguente disequazione di secondo grado:

$ 4x^2-25<0 $

Ho utilizzato il seguente metodo, non ho avuto problemi:

$ Delta>0 $ ovviamente $ Delta=20^2 $

$ x_1=5/2 $ e $ x_2=-5/2 $

Graficamente si può verificare con la parabola o con il grafico dei segni, che $ -5/2

Ho pensato di risolvere lo stesso esercizio, con l'impostare il sistema dato da $ A uu B $ , per cercare di riprendere i concetti fatti qualche tempo fà, ma non sono sicuro se ho fatto bene, ecco cosa ho fatto:

Data la dis. $ 4x^2-25<0 $ le soluzioni saranno date da:

$ { ( x>0 ),( 4x^2-25<0 ):} uu { ( x<0 ),( -4x^2+25<0 ):} $

Sistema $ 1 $

$ { ( x>0 ),( 4x^2-25<0 ):} =>{ ( x>0 ),( x^2<25/4 ):}=>{ ( x>0 ),( x<5/2 ):} $

Ovviamente trattandosi di una disuguaglianza, un quadrato al primo membro non potrà dare al secondo membro $ +- $ , ma solo un valore $ + $ , quindi $ x^2<25/4 => x<5/2 $ .

Va bene fin quì?
P.S. Sto cercando di utilizzare un pò tutte le nozioni e regole algebriche che conosco, quindi correggetemi se sto sbagliando o sparando cavolate ........

Sistema $ 2 $

$ { ( x<0 ),( -4x^2+25<0 ):} =>{ ( x<0 ),( -x^2<-25/4 ):}=>{ ( x<0 ),( x>5/2 ):} $

Sempre se ho fatto bene questo $ A uu B $ , come devo concludere?

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 19

Risolvere graficamente la seguente disequazione di secondo grado:

$ 4x^2-25<0 $

Ho pensato di risolvere lo stesso esercizio, con l'impostare il sistema dato da $ A uu B $ ,......

Qual è il ragionamento che hai fatto per usare questo altro metodo?

[Bad90]

"chiaraotta":

Risolvere graficamente la seguente disequazione di secondo grado:

$ 4x^2-25<0 $

Ho pensato di risolvere lo stesso esercizio, con l'impostare il sistema dato da $ A uu B $ ,......

Qual è il ragionamento che hai fatto per usare questo altro metodo?

Comincio con il risolvere il quadrato:

Ho pensato che se $ 4x^2-25<0 $ lascio l'incognita al primo membro $ x^2<25/4 $, essendo un quadrato, faccio questo
$ sqrt(x^2)
quindi

$ x<5/2$

Avendo visto una disequazione, ho pensato che si potesse risolvere con l'unione dei due sistemi

$ { ( x>0 ),( x^2-4x<0 ):}uu{ ( x<0 ),( -(x^2-4x)<0 ):} $

Ops, ma se non erro questo è il metodo per le disequazioni in valore assoluto!?!??!?

[chiaraotta1]

"Bad90":.....
$ x^2<25/4 $, essendo un quadrato, faccio questo
$ sqrt(x^2)
quindi

$ x<5/2$
......

No. Se $ x^2<25/4 $, allora $-5/2

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