Parabola

[Bad90]

Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione

$ y=ax^2+bx+c $

Ecco i passaggi:

$ y=a(x^2+b/ax)+c $

E fin qui' ho capito.
Poi scrive:

$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $

E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.

[Bad90]

"chiaraotta":[quote="Bad90"].....
$ x^2<25/4 $, essendo un quadrato, faccio questo
$ sqrt(x^2)
quindi

$ x<5/2$
......

No. Se $ x^2<25/4 $, allora $-5/2
Scusami, ma risolvere il quadrato come ho fatto io, va bene

Ma tu hai fatto $ x^2<25/4=>x<+-5/2 $

In una disequazione, come può essere un valore positivo e nello stesso tempo negativo se $ x^2<25/4 $

Grazie mille!

[chiaraotta1]

"Bad90":
Scusami, ma risolvere il quadrato come ho fatto io, va bene

Cosa vuol dire "risolvere il quadrato"?

"Bad90":
Ma tu hai fatto $ x^2<25/4=>x<+-5/2 $

No!!!!!!!!!!!
$x<+-5/2 $
non vuol dire assolutamente niente!!!!!!!!
L'equazione associata a $x^2-25/4<0$ è $x^2-25/4=0$ che ha:
1) $a=1$ che è $>0$,
2) $Delta = 0-4*1*(-25/4)=+25$ che è $>0$,
3) $x_1=-5/2$, $x_2=5/2$,
4) il verso della disequazione è $<0$.
Perciò le soluzioni sono
$-5/2

"Bad90":
In una disequazione, come può essere un valore positivo e nello stesso tempo negativo se $ x^2<25/4 $

Quale sarebbe il valore positivo e nello stesso tempo negativo?

[Kashaman]

"chiaraotta":[quote="Bad90"].....
$ x^2<25/4 $, essendo un quadrato, faccio questo
$ sqrt(x^2)
quindi

$ x<5/2$
......

No. Se $ x^2<25/4 $, allora $-5/2 No Bad90, non va bene. Considera questa equazione
$x^2-25/4 =0$ questa corrisponde al polinomio $ (x-5/2)(x+5/2) =0$ Sei d'accordo? E' conseguenza di ruffini essendo $+-5/2$ radici di $x^2-25/4$
quindi $x^2-25/4<0 => (x-5/2)(x+5/2)<0$ da cui la soluzione

[Bad90]

Perdonatemi, ho fatto una grande confusione con i concetti! La soluzione si basa sull'equazione associata, oppure utilizzando il metodo del prodotto del polinomio! Perfetto, ho rinfrescato la mente anche su questi concetti.
Vi ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 20
Risolvere graficamente le seguenti disequazioni di secondo grado.

$ (2x+5)(x-1)<0 $

Utilizzo il seguente metodo:

$ 2x+5<0=>x<-5/2 $

$ x-1<0=>x<1 $

Secondo me, conviene utilizzare questo metodo, perchè in questo caso, è molto più rapido che portala ad una disequazione di secondo grado, chiedo a voi conferma se sto dicendo delle verità

Facendo inizialmente il grafico dei segni, la disequazione mi risulta verificata per $ -5/2in questo caso si parla di intersezione?

Non sono tanto sicuro della verifica che ho fatto mediante il grafico della parabola, mi spiego.......
Ho una parabola rivolta verso l'alto, ecco il grafico:



Scusate, ho un po' le idee confuse con il verificare mediante i grafici della parabola, ma in questo caso, cosa è che mi fà dire $ -5/2
Grazie mille!

[giammaria2]

"Bad90":Facendo inizialmente il grafico dei segni, la disequazione mi risulta verificata per $ -5/2
No: si parla di intersezione quando vuoi che le disequazioni siano tutte verificate e qui invece ti chiedevi il segno del prodotto.
In questo caso il metodo da te usato è effettivamente il più breve ma non soddisfa la richiesta, che era "Risolvere graficamente le seguenti disequazioni di secondo grado".
Chiedi cos'è che ti fa dire che quella è la soluzione. Risolvere la disequazione data equivale a risolvere il sistema
${(y=(2x+5)(x-1)),(y<0):}$
La prima formula dice che dobbiamo essere sulla parabola e la seconda che dobbiamo essere al di sotto dell'asse x; il tutto quindi significa "Per quali valori di $x$ la parabola è sotto l'asse $x$?".

Piccola regola grammaticale: sui monosillabi si mette l'accento quando serve a distinguerli da altre parole; sono escluse le note musicali. Quindi lo si mette su "egli dà" per distinguere da "viene da Roma" ma non su "egli fa" che non è confondibile con niente.

[Bad90]

"giammaria":

Piccola regola grammaticale: sui monosillabi si mette l'accento quando serve a distinguerli da altre parole; sono escluse le note musicali. Quindi lo si mette su "egli dà" per distinguere da "viene da Roma" ma non su "egli fa" che non è confondibile con niente.

Ti ringrazio per le regole grammaticali, devo imparare a scrivere perfettamente,

"giammaria":
Chiedi cos'è che ti fa dire che quella è la soluzione. Risolvere la disequazione data equivale a risolvere il sistema
${(y=(2x+5)(x-1)),(y<0):}$
La prima formula dice che dobbiamo essere sulla parabola e la seconda che dobbiamo essere al di sotto dell'asse x; il tutto quindi significa "Per quali valori di $x$ la parabola è sotto l'asse $x$?".

Adesso è tutto chiaro, in due righe sei riuscito a farmi comprendere ciò che è scritto in due pagine di libro A4!

Nel far capire un concetto, permettimi lo dico ad alta voce, SEI UN FENOMENO!

Ti ringrazio!

[Bad90]

Se ho $ (x+2)^2<=0 $ risolvendo si ha $ x<=-2=>x=-2 $
Correggetemi se sto sbagliando a dire quanto segue....
Si ottiene $ x=-2 $ perché non puo' essere contemporaneamente $ <= $ in quanto e' già noto che e' meno, quindi non puo' essere eventualmente minore.... ma e' già noto che e' meno!

E' giusto quanto ho detto?
Grazie mille!

[Bad90]

In questa disequazione che rappresenta una parabola:

$ 3x^2-5x+9>0 $

La risposta da dare e' $ S=R $ . Questo perche' anche se ho $ Delta<0 $ e' un caso particolare dove qualsiasi valore si da alla x, avremo un valore risultante sempre positivo!

Dite che ho ricordato tutto correttamente?

Grazie mille!

[giammaria2]

"Bad90":Se ho $ (x+2)^2<=0 $ risolvendo si ha $ x<=-2=>x=-2 $
Correggetemi se sto sbagliando ...

No, risolvendo non si ha $x<=-2$. Il ragionamento è: un quadrato non è mai negativo, quindi il $<$ non varrà mai; può invece valere l'uguale ed in quel caso è $(x+2)^2=0=>x=-2$.
L'altro esercizio va bene ma credo che il tuo libro volesse un ragionamento basato sul grafico, sul tipo di quello dell'altro esercizio. Eccolo: la disequazione equivale al sistema
${(y=3x^2-5x+9),(y>0):}$
cioè dobbiamo essere sulla parabola e al di sopra dell'asse x; questo succede per ogni x perché tutta la parabola è al di sopra.

[Bad90]

Si infatti la traccia dell'esercizio e' la stessa dell'esercizio precedente. Ti ringrazio.

[Bad90]

Quesiti vero-falso

Data la parabola di equazione $ y=ax^2 $ .

Se $ a>0 $ esiste un punto di ordinata minima. E' vero o falso

Insomma cosa vuol dire punto di ordinata minima?

[Bad90]

Esercizio 21
Determinare la parabola $ y=ax^2+bx+c $ sapendo che passa per i punti $ A(-1,1) ; B(2,1)$ ed è tangente alla retta $ y=x+3 $.

Provo a dire qualcosa.....

I punti $ A(-1,1) ; B(2,1)$ appartengono alla parabola, quindi posso impostare il seguente sistema:

$ { ( 1=a-b+c ),( 1=4a+2b+c ):}=>$ Per $ A(-1,1) $ Per$ B(2,1) $

Ovviamente la retta $ y=x+3 $ ha anche essa un punto in comune con la parabola, ma non sto capendo come impostare il sistema!
Come devo fare?

Grazie mille!

[giammaria2]

"Punto di ordinata minima" significa che c'è un punto che ha la $y$ più piccola di tutti gli altri, cioè che fra tutti i punti della parabola ce n'è uno che è il più in basso.
Per l'esercizio 21 devi rifarti al modo in cui imponi la tangenza: metti a sistema retta e parabola e chiedi che sia $Delta=0$. In questo modo ottieni un'equazione che metti a sistema con le due che hai già scritto.

[Bad90]

Sono finalmente riuscito a risolverlo! Era il primo caso del genere, si trattava di fare un mix di tutte le regole degli esercizi che ho fatto sulla parabola! Essendo gli ultimi esercizi di verifica sommativa, mi succede di arrivare vicino alla soluzione, ma poi aime', vado in palla!

Resta il fatto che e' mio obbligo e dovere, ringraziarti!

[giammaria2]

Prego. Succede a tutti di trovarsi in difficoltà le prime volte; stando ad un proverbio, "nessuno nasce imparato".

[Bad90]

Mi chiedevo perchè è proprio il $ Delta $ che da l'equazione da utilizzare nel sistema?
Non riesco a capire, il perchè!?!??!

Insomma, io ho una equazione che è la parabola e una equazione che è la retta, ha delle incognite, perfetto, dall' equazione della parabola che è di secondo grado, messa a sistema con l'equazione della retta, quando ricavo il $ Delta $ mi dà un'altra equazione di secondo grado, quindi lascio stare l'equazione di secondo grado di partenza, (intendo quella della parabola messa a sistema con l'equazione della retta), è dedico i miei calcoli sull'equazione di secondo grado che viene fuori dal $ Delta $ .

Oltre a chiedermi perchè utilizzare l'equazione data dal $ Delta $ , mi chiedo anche perchè poi non riprendere l'equazione di secondo grado di partenza e continuare i calcoli?
Lo so benissimo che arrivare al risultato basta fare ciò che ho fatto, ma perchè bisogna fare per forza così?

Grazie mille!

[Bad90]

"giammaria":"Punto di ordinata minima" significa che c'è un punto che ha la $y$ più piccola di tutti gli altri, cioè che fra tutti i punti della parabola ce n'è uno che è il più in basso.

Ma scusami, penso che tutte le parabole hanno una ordinata, giusto?
Quindi se tutte hanno una ordinata, penso che per forza avranno tutte una ordinata minima!
O sto dicendo cavolate?

[Bad90]

Esercizio 22
Determinare la parabola $ y=ax^2+bx+c $ che ha il vertice nel punto $ P(3,2) $ e taglia l'asse $ y $ nel punto di ordinata $ 1 $ .

Dite che devo basarmi su questo sistema

$ { ( ax^2+bx+c=1 ),( -b/(2a)=3 ),( -Delta/(4a)=2 ):} $

Anche perchè il vertice appartiene alla parabola, l'intersezione con $ y $ appartiene alla parabola! Sempre se è corretta la via risolutiva che scritto, nel combinare il sistema sto facendo qualche errore!

[giammaria2]

Ordinata è sinonimo di $y$ quindi tutti i punti hanno una ordinata. Naturalmente questo vale anche per i punti di una parabola ma non per la parabola in sè: secondo te, cos'è l'ordinata di una parabola?
Se invece il tuo ragionamento è: "Fra le ordinate di tutti i suoi infiniti punti posso sempre scegliere la più piccola" te lo demolisco con un contro-esempio. Pensa di avere una retta obliqua: ci sono infiniti punti, ma nessuno di essi ha ordinata minima perché la retta va da infinitamente in basso ad infinitamente in alto. La parabola invece va all'infinito solo in alto o solo in basso; nel primo caso il vertice è il punto più in basso e quindi ha ordinata minima.

Quanto al dubbio sul $Delta$, il tuo libro lo spiega di certo e mi pare proprio che lo abbia fatto anche chiaraotta in una vecchia risposta; comunque ripetiamo. Pensa di avere una parabola ed una retta che la interseca in A e B; sposta un po' per volta la retta in modo che A e B si avvicinino e continua a spostarla finché coincidono: la retta è diventata tangente alla parabola. Ne concludiamo che una retta è tangente ad una parabola quando la interseca in due punti coincidenti. Quando metti a sistema retta e parabola cerchi appunto le intersezioni; se $Delta=0$ sono coincidenti e quindi c'è tangenza.
Chiedi perché non si torna al sistema e si finisce di risolverlo: lo si fa quando serve. Ricordiamo che il sistema dà le intersezioni fra retta e parabola; nel caso $Delta=0$ queste intersezioni coincidono e diventano il punto di tangenza. Perciò risoviamo veramente il sistema se la domanda è anche trovare il punto di tangenza.
Questa volta temo che la mia chiarezza non sia stata delle migliori e ti prego di riflettere con attenzione, guardando anche il libro; non lasciarti tentare a dire "Grazie, ho capito" se ti restano dubbi.

Esercizio 22: la prima equazione non va bene. Pensaci un istante e scoprirai che sai il valore di $x$.