Parabola
Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Risposte
"giammaria":
Ordinata è sinonimo di $y$ quindi tutti i punti hanno una ordinata. Naturalmente questo vale anche per i punti di una parabola ma non per la parabola in sè: secondo te, cos'è l'ordinata di una parabola?
Se invece il tuo ragionamento è: "Fra le ordinate di tutti i suoi infiniti punti posso sempre scegliere la più piccola" te lo demolisco con un contro-esempio. Pensa di avere una retta obliqua: ci sono infiniti punti, ma nessuno di essi ha ordinata minima perché la retta va da infinitamente in basso ad infinitamente in alto. La parabola invece va all'infinito solo in alto o solo in basso; nel primo caso il vertice è il punto più in basso e quindi ha ordinata minima.
Quindi significa che se va obbliqua infinitamente in basso o infinitamente in alto, non si ha un punto minimo o un punto massimo di y, perchè la retta passa per tutto il piano infinitamente? Anche perchè la retta non ha inizio e non ha fine, mentre un segmento si, possiede un inizio ed una fine! Giusto fin quì?
Mentre il discorso della parabola è diverso, perchè posso pensare al vertice come un inizio e quindi se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso, dovrà avere obbligatoriamente un punto minimo! Ho compreso bene?
"giammaria":
Quanto al dubbio sul $Delta$, il tuo libro lo spiega di certo e mi pare proprio che lo abbia fatto anche chiaraotta in una vecchia risposta; comunque ripetiamo. Pensa di avere una parabola ed una retta che la interseca in A e B; sposta un po' per volta la retta in modo che A e B si avvicinino e continua a spostarla finché coincidono: la retta è diventata tangente alla parabola. Ne concludiamo che una retta è tangente ad una parabola quando la interseca in due punti coincidenti. Quando metti a sistema retta e parabola cerchi appunto le intersezioni; se $Delta=0$ sono coincidenti e quindi c'è tangenza.
Chiedi perché non si torna al sistema e si finisce di risolverlo: lo si fa quando serve. Ricordiamo che il sistema dà le intersezioni fra retta e parabola; nel caso $Delta=0$ queste intersezioni coincidono e diventano il punto di tangenza. Perciò risoviamo veramente il sistema se la domanda è anche trovare il punto di tangenza.
Questa volta temo che la mia chiarezza non sia stata delle migliori e ti prego di riflettere con attenzione, guardando anche il libro; non lasciarti tentare a dire "Grazie, ho capito" se ti restano dubbi.
Penso di aver compreso, adesso ci rilfletto un pò su!!
"giammaria":
Esercizio 22: la prima equazione non va bene. Pensaci un istante e scoprirai che sai il valore di $x$.
Ok! Allora dici che deve essere così?
$ { ( 9a+3b+c=1 ),( -b/(2a)=3 ),( -Delta/(4a)=2 ):} $
Perchè la $ x $ corrisponde a quella del vertice, in quanto è da li che parte la parabola, giusto?
Solo che impostando il sistema come ho fatto adesso, arrivo al seguente punto:
$ { ( c=9a+1 ),( b=-6a ),( 4a(9a+1)-36a^2=8a ):} $
E penso che sto sbagliando qualcosa, perchè alla fine si avrà $ a=0 $
$ { ( c=9a+1 ),( b=-6a ),( 4a=8a ):} $
$ { ( c=9a+1 ),( b=-6a ),( a=0 ):} $
Se il sistema è impostato correttamente, starò sbagliando qualche passaggio!
"Bad90":
Esercizio 22
[...]e taglia l'asse $ y $ nel punto di ordinata $ 1 $ .
Quale ascissa ha questo punto, appartenendo all'asse $y$?
"piero_":
[quote="Bad90"]Esercizio 22
[...]e taglia l'asse $ y $ nel punto di ordinata $ 1 $ .
Quale ascissa ha questo punto, appartenendo all'asse $y$?[/quote]
Dovrebbe essere zero?
esatto.
quindi il tuo punto di intersezione con l'asse $y$ risulta $Q(0,1)$. Come diventa la prima equazione che hai scritto?
quindi il tuo punto di intersezione con l'asse $y$ risulta $Q(0,1)$. Come diventa la prima equazione che hai scritto?
"Bad90":
Mentre il discorso della parabola è diverso, perchè posso pensare al vertice come un inizio e quindi se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso, dovrà avere obbligatoriamente un punto minimo! Ho compreso bene?
Occorre qualche rettifica: anche la parabola non ha né inizio né fine e puoi pensarla come una retta che è stata stortata. Pensiamo alla parabola rivolta verso l'alto: si parte da infinitamente in alto a sinistra, si scende fino al vertice e poi si risale fino ad infinitamente in alto a destra. Ne consegue che c'è un punto (il vertice) che ha ordinata minima, mentre non c'è quello con ordinata massima.
Per la parabola rivolta verso il basso il vertice è il punto con ordinata massima e nessun punto ha ordinata minima.
Perfetto, adesso è chiaro!
Essendo io una persona molto meticolosa, vorrei chiederti se posso evitare di dirti sempre grazie nelle risposte?
Non voglio essere ripetitivo, vorrei dare per scontato che è un continuo ringraziarti quando mi dai delle risposte !
Essendo io una persona molto meticolosa, vorrei chiederti se posso evitare di dirti sempre grazie nelle risposte?
Non voglio essere ripetitivo, vorrei dare per scontato che è un continuo ringraziarti quando mi dai delle risposte !
"piero_":
esatto.
quindi il tuo punto di intersezione con l'asse $y$ risulta $Q(0,1)$. Come diventa la prima equazione che hai scritto?
Quindi ho il sistema che diventa:
$ { ( c=1 ),( -b/(2a)=3 ),( -Delta/(4a)=2 ):} $
Ok?
Quindi dovrei avere:
$ { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( -Delta/(4a)=2 ):} $
Non c'è problema ed evita pure di ringraziare; nel silenzio riterrò che tu abbia capito e ringrazi. Del resto avrai notato che, proprio per non ripetermi, spesso non ti dico il pur doveroso "Prego".
"giammaria":
Non c'è problema ed evita pure di ringraziare; nel silenzio riterrò che tu abbia capito e ringrazi. Del resto avrai notato che, proprio per non ripetermi, spesso non ti dico il pur doveroso "Prego".
Ok!
Sto sbagliando dei passaggi banali e non mi viene fuori la parabola che mi interessa 
Allora
$ { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( -Delta/(4a)=2 ):} => { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( (4a-b^2)/(4a)=2 ):} =>{ ( c=1 ),( a=-1/6b ),( 4a-b^2=8a ):} => { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( b^2=-4a ):} => { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( b^2=2/3b ):} $
Ma dove sto sbagliando????'
Allora
$ { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( -Delta/(4a)=2 ):} => { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( (4a-b^2)/(4a)=2 ):} =>{ ( c=1 ),( a=-1/6b ),( 4a-b^2=8a ):} => { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( b^2=-4a ):} => { ( c=1 ),( a=-1/6b ),( b^2=2/3b ):} $
Ma dove sto sbagliando????'
risolvendo l'ultima eq. che hai scritto ottieni due valori. Scarta lo zero che non ti dà una parabola.
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix{{a}= -\frac {1}{9}\\ {b}= \frac{2}{3}\\{c}={1} }\right.} \)
dimmi se ti è chiaro
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix{{a}= -\frac {1}{9}\\ {b}= \frac{2}{3}\\{c}={1} }\right.} \)
dimmi se ti è chiaro
"piero_":
risolvendo l'ultima eq. che hai scritto ottieni due valori. Scarta lo zero che non ti dà una parabola.
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix{{a}= -\frac {1}{9}\\ {b}= \frac{2}{3}\\{c}={1} }\right.} \)
dimmi se ti è chiaro
E' chiarissimo
Esercizio 23
Data la parabola di equazione $ y=5x^2-2x-3 $ ,determinare l'equazione della retta tangente ad essa nel suo punto di ascissa $ -2 $
Metto a sistema le due equazioni:
$ { ( y=5x^2-2x-3 ),( y-0=m(x+2)):} $
Penso sia giusto questo sistema! Perche' non sto riuscendo ad arrivare al risultato, penso sia qualche passaggio algebrico che sto sbagliando!
Questo sistema mi portera' alla seguente equazione di secondo grado:
$ m^2+44m+64=0 $
Penso si giusto!
Data la parabola di equazione $ y=5x^2-2x-3 $ ,determinare l'equazione della retta tangente ad essa nel suo punto di ascissa $ -2 $
Metto a sistema le due equazioni:
$ { ( y=5x^2-2x-3 ),( y-0=m(x+2)):} $
Penso sia giusto questo sistema!
Perche' non sto riuscendo ad arrivare al risultato, penso sia qualche passaggio algebrico che sto sbagliando! Questo sistema mi portera' alla seguente equazione di secondo grado:
$ m^2+44m+64=0 $
Penso si giusto!
La tipologia di questo esercizio è la stessa dell'esercizio 11: parabola-t100414-70.html
Quindi ti consiglio di riguardare il procedimento risolutivo. E' identico, cambiano solo i numeri
Quindi ti consiglio di riguardare il procedimento risolutivo. E' identico, cambiano solo i numeri
Allora il sistema sara'
$ { ( y=5x^2-2x-3 ),( y-10=m(x+2) ):} $
Perché il punto $ Q(-2,10) $ Giusto?
$ { ( y=5x^2-2x-3 ),( y-10=m(x+2) ):} $
Perché il punto $ Q(-2,10) $ Giusto?
No
O sbagliato a fare i calcoli, hai ragione, il punto $ Q(-2,21) $
Ok?
Ok?
Ok. Ora procedi come nell'esercizio 11
PS: non si scrive "O sbagliato"
piuttosto "Ho sbagliato"
PS: non si scrive "O sbagliato"
piuttosto "Ho sbagliato"
Perfetto, sono arrivato alla soluzione:
$ y=-22x-23 $
Avevo trascurato il fatto che l'ascissa appartasse alla parabola, quindi non stavo calcolando il valore dell'ordinata e i conti non tornavano!
$ y=-22x-23 $
Avevo trascurato il fatto che l'ascissa appartasse alla parabola, quindi non stavo calcolando il valore dell'ordinata e i conti non tornavano!
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