Parabola
Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Risposte
Ha semplicemente aggiunto e sottratto la stessa quantità nella parentesi. 
"Caenorhabditis":
Ha semplicemente aggiunto e sottratto la stessa quantità nella parentesi.
Si, ma per quale motivo? Il passaggio successivo e' il seguente:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2))-b^2/(4a)+c $
Ma cosa sta succedendo? Sulla base di cosa si arriva a questi passaggi?
Poi continua ancora con questi passaggi:
$ y=(x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a )$
$ y=a(x+b/(2a))^2-Delta/(4a) $
Aiutooooooooooo!!!!!!!!
$ y=(x+b/(2a))^2-(b^2-4ac)/(4a )$
$ y=a(x+b/(2a))^2-Delta/(4a) $
Aiutooooooooooo!!!!!!!!
Sta cercando di ottenere il quadrato di un binomio. Ad un certo punto ha trovato $x^2+b/a x$ e ha pensato che il secondo addendo poteva essere considerato come un doppio prodotto. Non c'è il 2? Aggiungiamolo scrivendolo come $=x^2+2 b/(2a)x$. Ma non c'è l'altro quadrato! Aggiungiamolo: $=x^2+2 b/(2a)x+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2)$. Ora i primi tre addendi sono quelli che volevo e cioè $(x+b/(2a))^2$; l'ultimo mi dà fastidio, quindi lo porto fuori dal calcolo che sto facendo (cioè fuori da quella parentesi che non ho copiato nella mia spiegazione).
Ma perche' l'ultimo addendo che da fastidio, si inserisce? Mi spiego, se vuole arrivare al quadrato,
$(x^2+2b/(2a)x+b^2/(4a^2))$ perchè aggiunge anche $-b^2/(4a^2)$ ottenendo
$ x^2+2b/(2a)x+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2)$
Sono andato a vedere sul testo ed ho trovato che si tratta della scomposizione del trinomio, solo che non riesco a concepire il perchè aggiunge anche $-b^2/(4a^2)$.
In più, sto ricordando di ricordare i passaggi che bisogna fare per arrivare a $ x=-b/(2a) $.
Ti ringrazio!
$(x^2+2b/(2a)x+b^2/(4a^2))$ perchè aggiunge anche $-b^2/(4a^2)$ ottenendo
$ x^2+2b/(2a)x+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2)$
Sono andato a vedere sul testo ed ho trovato che si tratta della scomposizione del trinomio, solo che non riesco a concepire il perchè aggiunge anche $-b^2/(4a^2)$.
In più, sto ricordando di ricordare i passaggi che bisogna fare per arrivare a $ x=-b/(2a) $.
Ti ringrazio!
Cerco un esempio più facile: voglio ottenere il quadrato di un binomio partendo da $x^2+4x$. Sarebbe sbagliato scrivere $x^2+4x=x^2+4x+4$ perché i due membri non sono uguali; l'uguaglianza però vale se scrivo $x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2)^2-4$.
Quanto al "sto ricordando di ricordare i passaggi ..." per darti una risposta certa dovrei vedere il tuo libro ma penso proprio che non ci sia nulla da ricordare; in questo mio ultimo esempio io non ho lavorato ricordando che volevo arrivare a $x=-2$ ma solo chiedendomi cosa potevo fare per ottenere un quadrato.
Quanto al "sto ricordando di ricordare i passaggi ..." per darti una risposta certa dovrei vedere il tuo libro ma penso proprio che non ci sia nulla da ricordare; in questo mio ultimo esempio io non ho lavorato ricordando che volevo arrivare a $x=-2$ ma solo chiedendomi cosa potevo fare per ottenere un quadrato.
E proprio quello che voglio arrivare a fare io, non voglio essere troppo dipendente dal testo, ma voglio saper svolgere i passaggi!
Adesso ho capito perchè viene aggiunto l'addendo "quello che da fastidio",
con questo ultimo esempio mi hai fatto capire chiaramente che si tratta di volere un quadrato, ma che bisogna rispettare le regole di uguaglianza! 
Cerco di fare un esempio io di quello che ho compreso....
Ipotizzo di avere una equazione di secondo grado completa $ x^2+2x-3=0 $ è devo farlo diventare un quadrato perfetto, utilizzo alcuni artifizi per raggiungere lo scopo, cioè questo:
$x^2+2x-3=0$
$x^2+2x+1-4=0$
$(x+1)^2=4 $
A differenza della seguente equazione che è già un quadrato perfetto $ x^2+6x+9=0 $ cioè $ (x+3)^2=0 $ .
Cosa ne dici, ho fatto un giusto esempio?
Per quanto riguarda quello che non ricordavo di questa $ x=-b/(2a) $ , "correggetemi se sbaglio", è la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado, che partendo da questa:
$ x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) $
Nel caso in qui $ b^2-4ac=0 $ allora la formula assume la seguente forma $ (2ax+b)^2=0 $ e quindi è soddisfatta dalla seguente
$ x=-b/(2a) $
Nel caso della parabola, si utilizza per trovare il vertice, ma su questo ultimo concetto ci sto lavorando per capire meglio, quindi non riesco a dire più di tutto ciò!
Ti ringrazio!
Adesso ho capito perchè viene aggiunto l'addendo "quello che da fastidio",
con questo ultimo esempio mi hai fatto capire chiaramente che si tratta di volere un quadrato, ma che bisogna rispettare le regole di uguaglianza! Cerco di fare un esempio io di quello che ho compreso....
Ipotizzo di avere una equazione di secondo grado completa $ x^2+2x-3=0 $ è devo farlo diventare un quadrato perfetto, utilizzo alcuni artifizi per raggiungere lo scopo, cioè questo:
$x^2+2x-3=0$
$x^2+2x+1-4=0$
$(x+1)^2=4 $
A differenza della seguente equazione che è già un quadrato perfetto $ x^2+6x+9=0 $ cioè $ (x+3)^2=0 $ .
Cosa ne dici, ho fatto un giusto esempio?
Per quanto riguarda quello che non ricordavo di questa $ x=-b/(2a) $ , "correggetemi se sbaglio", è la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado, che partendo da questa:
$ x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a) $
Nel caso in qui $ b^2-4ac=0 $ allora la formula assume la seguente forma $ (2ax+b)^2=0 $ e quindi è soddisfatta dalla seguente
$ x=-b/(2a) $
Nel caso della parabola, si utilizza per trovare il vertice, ma su questo ultimo concetto ci sto lavorando per capire meglio, quindi non riesco a dire più di tutto ciò!
Ti ringrazio!
Ma nel tracciare il grafico di una parabola avente equazione generica $ ax^2+bx+c=0 $, dopo aver ricavato il vertice, per tracciare altri punti della parabola, si possono dare valori arbritari alla $ x $
Mi sembra sia giusto quello che ho compreso, ma chiedo conferma a voi!
Po i non mi è chiaro tanto quando dice che il fuoco ha coordinate
$ F=(-b/(2a);1/(4a)-Delta/(4a)) $
Insomma perchè viene messo $ 1/(4a) $ , nella dimostrazione del mio testo, viene detto, ma non spiega tanti perchè che nella mia mente sono tanti!
, ma proprio quel punto in cui dice del fuoco, non ho compreso gli quei giochetti fatti per dire$ 1/(4a) $ !
Grazie mille!
Mi sembra sia giusto quello che ho compreso, ma chiedo conferma a voi!
Po i non mi è chiaro tanto quando dice che il fuoco ha coordinate
$ F=(-b/(2a);1/(4a)-Delta/(4a)) $
Insomma perchè viene messo $ 1/(4a) $ , nella dimostrazione del mio testo, viene detto, ma non spiega tanti perchè che nella mia mente sono tanti!
, ma proprio quel punto in cui dice del fuoco, non ho compreso gli quei giochetti fatti per dire$ 1/(4a) $ ! Grazie mille!
Esercizio 1
Determinare il grafico della seguente parabola, determinando anche le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice.
$ y=x^2 $
Se io do il valore "arbritario" alla $ x $ , in questo caso decido di dare $ x=1 $ , la $ y $ sarà $ y=1 $! Giusto?
Allora come fa ad essere il grafico che segue?
Insomma quali sono i passaggi che bisogna fare per ottenere quel grafico?
Partendo dalla formula $ y=x^2 $ cosa si deve fare?
Ci provo.....
Si comincia a dare alla $ x=0 $ e quindi la $ y=0 $ , ed in questo caso ho il vertice, giusto?
Poi come devo continuare?
Avendo il valore $ y=x^2 $ significa che la $ x^2=+-1 $, giusto? Quindi se do alla $ x=1 $, avrò la $ y=1 $, metre la $ x $ essendo un quadrato, dovrà essere $ +-1$, giusto? E quindi si hanno i punti di intersezione in $ P(1,1) $ e $ P'(-1,1) $ , va bene fin quì?
Determinare il grafico della seguente parabola, determinando anche le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice.
$ y=x^2 $
Se io do il valore "arbritario" alla $ x $ , in questo caso decido di dare $ x=1 $ , la $ y $ sarà $ y=1 $! Giusto?
Allora come fa ad essere il grafico che segue?
Insomma quali sono i passaggi che bisogna fare per ottenere quel grafico?
Partendo dalla formula $ y=x^2 $ cosa si deve fare?
Ci provo.....
Si comincia a dare alla $ x=0 $ e quindi la $ y=0 $ , ed in questo caso ho il vertice, giusto?
Poi come devo continuare?
Avendo il valore $ y=x^2 $ significa che la $ x^2=+-1 $, giusto? Quindi se do alla $ x=1 $, avrò la $ y=1 $, metre la $ x $ essendo un quadrato, dovrà essere $ +-1$, giusto? E quindi si hanno i punti di intersezione in $ P(1,1) $ e $ P'(-1,1) $ , va bene fin quì?
"Bad90":
Ma nel tracciare il grafico di una parabola avente equazione generica $ ax^2+bx+c=0 $, dopo aver ricavato il vertice, per tracciare altri punti della parabola, si possono dare valori arbitrari alla $ x $
Precisiamo intanto che l'equazione della parabola è $ y=ax^2+bx+c$ senza $=0 $ finale; per il resto sì, si possono dare valori arbitrari alla $x$. L'abitudine è cercare le intersezioni con gli assi cartesiani: con l'asse y dando ad $x$ il valore zero e con l'asse x risolvendo l'equazione $y=0=>ax^2+bx+c=0$; se i risultati così ottenuti non bastano, allora si usano altri numeri a piacere.
Per la figura non capisco la tua difficoltà: il grafico passa per il punto (1,1) quindi è logico che ponendo $x=1$ si ottenga $y=1$.
Per quanto riguarda il fuoco, non vorrei confonderti le idee con una trattazione diversa da quella del tuo libro. Di solito la parabola viene definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: se il tuo libro fa così, che coordinate assegna al fuoco e che equazione usa per la direttrice? Se invece fa diversamente, come introduce la parabola e come definisce il fuoco?
"giammaria":
Per quanto riguarda il fuoco, non vorrei confonderti le idee con una trattazione diversa da quella del tuo libro. Di solito la parabola viene definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: se il tuo libro fa così, che coordinate assegna al fuoco e che equazione usa per la direttrice? Se invece fa diversamente, come introduce la parabola e come definisce il fuoco?
Il testo dice che:
Costruire la parabola $ y=ax^2 $ con $ a>0 $ consideriamo un punto qualunque $ P(x,y) $ e prendiamo, sul semiasse positivi delle $ y $ , un segmento $ OF $ di misura $ bar(OF) =1/(4a) $ e sul semiasse negativo, un segmento $ OQ $ di misura $ OQ=1/(4a) $ . Poi ............................
Poi (credo) traccia per Q la parallela all'asse x (che si chiama direttrice) e calcola le distanze di P dal fuoco F (con la formula della distanza fra due punti) e di P dalla direttrice (è un segmento verticale, quindi basta fare la differenza fra lo ordinate) e trova, o impone, che sono uguali se $y=ax^2$: in altre parole, i punti della parabola sono equidistanti da fuoco e direttrice.
Poiché F è sul semiasse positivo delle y le sue coordinate sono $(0, y_F)$ ed essendo $OF=1/(4a)$ su ha $y_F=1/(4a)$. Il vertice V coincide con O ed ha coordinate $(0,0)$ quindi possiamo dire che $y_F-y_V=1/(4a)$. Quando trasliamo la figura il fuoco si sposta assieme alla parabola e quindi la distanza fra fuoco e vertice non cambia; le altre formule non valgono più, ma l'ultima continua ad andare bene e ne deduciamo
$y_F=1/(4a)+y_V$
Io tendo a ricordare la formula in questo modo ma naturalmente al posto di $y_V$ puoi mettere la formula che lo calcola.
Poiché F è sul semiasse positivo delle y le sue coordinate sono $(0, y_F)$ ed essendo $OF=1/(4a)$ su ha $y_F=1/(4a)$. Il vertice V coincide con O ed ha coordinate $(0,0)$ quindi possiamo dire che $y_F-y_V=1/(4a)$. Quando trasliamo la figura il fuoco si sposta assieme alla parabola e quindi la distanza fra fuoco e vertice non cambia; le altre formule non valgono più, ma l'ultima continua ad andare bene e ne deduciamo
$y_F=1/(4a)+y_V$
Io tendo a ricordare la formula in questo modo ma naturalmente al posto di $y_V$ puoi mettere la formula che lo calcola.
Ok, ma perche' dice che $ bar(OF) =1/(4a) $ ?
Da dove salta fuori quel $ 4a $ ?
Ti ringrazio!
Da dove salta fuori quel $ 4a $ ?
Ti ringrazio!
Avrebbe potuto scrivere $OF=OQ=k$; imponendo poi che quelle due distanze siano uguali e facendo i calcoli avrebbe ottenuto che questo è vero se $y=1/(4k)x^2$. Poiché però è abitudine indicare con $a$ il coefficiente di $x^2$ avrebbe scritto $1/(4k)=a$ da cui si ricava $k=1/(4a)$. Sapendo questo, ha preferito usare subito quest'ultimo risultato e dimostrare che così si arriva al solito $y=ax^2$.
Nel caso in qui $ b^2-4ac=0 $ allora la formula assume la seguente forma $ (2ax+b)^2=0 $ e quindi è soddisfatta dalla seguente
$ x=-b/(2a) $
Nel caso della parabola, si utilizza per trovare il vertice, ma su questo ultimo concetto ci sto lavorando per capire meglio, quindi non riesco a dire più di tutto ciò!
Ti ringrazio!
non voglio insegnarti nulla perché non ci riesco, diciamo che cerco di capire pure io se ho compreso!
Quando il discriminante è zero allora la parabola tocca l'asse delle ascisse in un punto, quel punto è sia asse di simmetria parallelo all'ordinata sia il punto sull'ascissa del vertice della parabola!
In poche parole il vertice è un punto particolare della parabola e lo individui con le coordinate x,y
Per trovare l'ordinata evitando di impazzire a memoria con le formule, ti conviene sostituire il valore dell'ascissa dentro l'equazione ed otterrai y.
Spero di non sbagliare
per questo non proseguo!
"giammaria":
Avrebbe potuto scrivere $OF=OQ=k$; imponendo poi che quelle due distanze siano uguali e facendo i calcoli avrebbe ottenuto che questo è vero se $y=1/(4k)x^2$. Poiché però è abitudine indicare con $a$ il coefficiente di $x^2$ avrebbe scritto $1/(4k)=a$ da cui si ricava $k=1/(4a)$. Sapendo questo, ha preferito usare subito quest'ultimo risultato e dimostrare che così si arriva al solito $y=ax^2$.
Ho provato a replicare i passaggi per vedere come va a finire quel numero quattro al denominatore, ma non ci sono riuscito!
Voglio imparare a fare i passaggi algebrici che portano a quel risultato, come posso fare?
Grazie mille!
Allora: $P(x,y)$ è il punto equidistante da $F(0,k)$ e dalla direttrice, di equazione $y=-k$. Quindi
$sqrt((x-0)^2+(y-k)^2)=|y+k|$
E' tutto positivo quindi puoi elevare a quadrato senza limitazioni; fai i calcoli e arrivi a
$x^2=4ky=>y=1/(4k)x^2$.
$sqrt((x-0)^2+(y-k)^2)=|y+k|$
E' tutto positivo quindi puoi elevare a quadrato senza limitazioni; fai i calcoli e arrivi a
$x^2=4ky=>y=1/(4k)x^2$.
"giammaria":
Allora: $P(x,y)$ è il punto equidistante da $F(0,k)$ e dalla direttrice, di equazione $y=-k$. Quindi
$sqrt((x-0)^2+(y-k)^2)=|y+k|$
E' tutto positivo quindi puoi elevare a quadrato senza limitazioni; fai i calcoli e arrivi a
$x^2=4ky=>y=1/(4k)x^2$.
Grazieeeeeeeeeeeeeee
Adesso ho capito!
Grazie mille!
Ritornando sull'Esercizio 1, sono arrivato alle seguenti conclusioni.
Per la parabola $ y=x^2 $ ho che $ a=1;b=0;c=0 $ , quindi il vertice $ V(-b/(2a),-Delta/(4a)) $ è $ V(0,0) $ .
La concavità della parabola è verso l'alto perchè $ a>0 $ .
Per creare il grafico della parabola, attribuisco valori arbritari alla $ x $.
Ricavo il punto $ P' $ :
Per $ x=1 $ la $ y=1^2=>1 $ , quindi $ P'(1,1) $
Ricavo il punto $ P'' $ :
Per $ x=2 $ la $ y=2^2=>4 $ , quindi $ P''(2,4) $
Adesso do alla $ x $ valori negativi, così avrò altri punti opposti a quelli di $ P'^^P'' $
Ricavo il punto $ P''' $ :
Per $ x=-1 $ la $ y=-1^2=>1 $ , quindi $ P'''(-1,1) $
Ricavo il punto $ P'''' $ :
Per $ x=-2 $ la $ y=-2^2=>4 $ , quindi $ P''''(-2,4) $
Ma per quanto riguarda le coordinate del fuoco $ F $ Per questa parabola, quale è il $ F $
Vedendo il grafico penso sia $ F(0,0) $, mentre la direttrice $ d=>(y=0) $
Ho detto tutto bene?
Grazie mille!
Per la parabola $ y=x^2 $ ho che $ a=1;b=0;c=0 $ , quindi il vertice $ V(-b/(2a),-Delta/(4a)) $ è $ V(0,0) $ .
La concavità della parabola è verso l'alto perchè $ a>0 $ .
Per creare il grafico della parabola, attribuisco valori arbritari alla $ x $.
Ricavo il punto $ P' $ :
Per $ x=1 $ la $ y=1^2=>1 $ , quindi $ P'(1,1) $
Ricavo il punto $ P'' $ :
Per $ x=2 $ la $ y=2^2=>4 $ , quindi $ P''(2,4) $
Adesso do alla $ x $ valori negativi, così avrò altri punti opposti a quelli di $ P'^^P'' $
Ricavo il punto $ P''' $ :
Per $ x=-1 $ la $ y=-1^2=>1 $ , quindi $ P'''(-1,1) $
Ricavo il punto $ P'''' $ :
Per $ x=-2 $ la $ y=-2^2=>4 $ , quindi $ P''''(-2,4) $
Ma per quanto riguarda le coordinate del fuoco $ F $
Per questa parabola, quale è il $ F $ Vedendo il grafico penso sia $ F(0,0) $, mentre la direttrice $ d=>(y=0) $
Ho detto tutto bene?
Grazie mille!
Bene il resto, ma
$y_F=1/(4a)+y_V=1/(4*1)+0=1/4$
e quindi il fuoco è $F(0,1/4)$. La direttrice ha equazione $y=-1/4$
$y_F=1/(4a)+y_V=1/(4*1)+0=1/4$
e quindi il fuoco è $F(0,1/4)$. La direttrice ha equazione $y=-1/4$
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