Parabola
Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Risposte
Allora è colpa mia che mi sono fermato troppo presto per il risultato! 
Grazie mille!
Grazie mille!
Esercizio 14
Dopo aver tracciato la curva di equazione $ y=x^2-6x $ , determinare l'equazione di una retta parallela all'asse $ x $ , tale che il segmento staccato su di essa dalla curva abbia misura uguale a $ 8 $ .
Non sto capendo quello che vuole la traccia!
Tento di dire qualcosa
Una retta parallela all'asse $ x $ ha equazione $ y=q $, penso sia giusto
Ma cosa significa "il segmento staccato su di essa dalla curva"
A cosa devo far riferimento per la distanza $ 8 $
Posso far riferimento al vertice della parabola? Ovviamente utilizzando la $ -Delta/(4a) $
Dopo aver tracciato la curva di equazione $ y=x^2-6x $ , determinare l'equazione di una retta parallela all'asse $ x $ , tale che il segmento staccato su di essa dalla curva abbia misura uguale a $ 8 $ .
Non sto capendo quello che vuole la traccia!
Tento di dire qualcosa
Una retta parallela all'asse $ x $ ha equazione $ y=q $, penso sia giusto
Ma cosa significa "il segmento staccato su di essa dalla curva"
A cosa devo far riferimento per la distanza $ 8 $
Posso far riferimento al vertice della parabola? Ovviamente utilizzando la $ -Delta/(4a) $
"il segmento staccato su di essa dalla curva" è quel segmento che ha per estremi i punti d'intersezione fra la parabola e una retta del fascio.
Ma cosa c'entra il vertice della parabola?
Ma cosa c'entra il vertice della parabola?
"chiaraotta":
"il segmento staccato su di essa dalla curva" è quel segmento che ha per estremi i punti d'intersezione fra la parabola e una retta del fascio.
Ma cosa c'entra il vertice della parabola?
Dico questo perchè se ricavo la $ y = -Delta/(4a)$, so di ottenere una parallela all'asse $ x $ tangente alla parabola!
Ho detto questo perchè pensavo che la retta dovesse essere distante $ 8 $ dalla parabola e parallela ad $ x $ 
Ma cosa bisogna fare? L'equazione della parabola che mi interessa è $ y=q $
Se così fosse, potrei impostare un sistema per determinare i punti di intersezione retta parabola, mediante il sistema:
$ { ( y=q ),( y=x^2-6x ):} $
Dici che si puo'?
Solo che se imposto il sistema in questo modo, ottengo il valore di $ q $ , che mi porta ad avere una retta tangente alla parabola, $ q=-9 $ e quindi $ y=-9 $
Non sto capendo come impostare la soluzione!
Scusa ma il problema chiede di individuare una retta orizzontale tale che il segmento di questa retta che ha per estremi i punti d'intersezione retta-parabola $y=x^2-6x$ sia lungo 8.
Non c'entra nulla la tangente nel vertice o una retta che disti 8 da qualcosa!!!
Non c'entra nulla la tangente nel vertice o una retta che disti 8 da qualcosa!!!
"chiaraotta":
Scusa ma il problema chiede di individuare una retta orizzontale tale che il segmento di questa retta che ha per estremi i punti d'intersezione retta-parabola $y=x^2-6x$ sia lungo 8.
Non c'entra nulla la tangente nel vertice o una retta che disti 8 da qualcosa!!!
Ok, quindi devo ricavare prima la retta?
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ma forse centra la formula $ d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) $
E data la richiesta di una retta parallela, si può pensare di fare $ d=sqrt((x_2-x_1)^2) $
e quindi $ sqrt((x_2-x_1)^2) =8$ E se non erro si dovrebbe arrivare a $ |x_2-x_1|=8$
e quindi: $ x_2-x_1=+-8$
P.S. Può essere che questo $ x_2-x_1=+-8$ non centra nulla con questo esercizio, ma approfitto per chiedere se partendo da $ sqrt((x_2-x_1)^2) =8$ è giusto arrivare a $ x_2-x_1=+-8$
Approfitto per ricordare le regole...... Help!
Help!
Non so piu' cosa devo fare per venirne fuori!
Suppongo si tratti di trovare una retta secante alla parabola, ma non mi viene proprio in mente il sistema da impostare!
Cosa devo fare per questo tipo di esercizi?
Ho pensato di fare cosi':
$ { ( y=x^2-6x ),( y=x):} $
Dall'intersezione ottengo:
$ x^2-7x=0 $
Ovviamente avro':
$ x=0;x=7 $
Sostiruisco nell'equazione della retta parallela ad $ x $ , cioe' $ y=x $ , ed avro due possibili rette, $ y=0 $ che non penso sia la soluzione, e $ y=7 $ che potrebbe essere la soluzione!
Se ho fatto bene, cosa e' che mi fa' capire la $ y $ giusta?
Grazie mille!
Non so piu' cosa devo fare per venirne fuori!
Suppongo si tratti di trovare una retta secante alla parabola, ma non mi viene proprio in mente il sistema da impostare!
Cosa devo fare per questo tipo di esercizi?
Ho pensato di fare cosi':
$ { ( y=x^2-6x ),( y=x):} $
Dall'intersezione ottengo:
$ x^2-7x=0 $
Ovviamente avro':
$ x=0;x=7 $
Sostiruisco nell'equazione della retta parallela ad $ x $ , cioe' $ y=x $ , ed avro due possibili rette, $ y=0 $ che non penso sia la soluzione, e $ y=7 $ che potrebbe essere la soluzione!
Se ho fatto bene, cosa e' che mi fa' capire la $ y $ giusta?
Grazie mille!
Sì, si arriva a $|x_2-x_1|=8$; potevi anche scriverlo immediatamente perché questa formula si studia prima di quella generica per la distanza fra punti. La regola è: la distanza fra due punti su una parallela all'asse $x$ è data dalla differenza fra le loro $x$, presa nell'ordine "più grande meno più piccola" o "più a destra meno più a sinistra" o in valore assoluto se non si sa l'ordine. Regola analoga vale per le parallele all'asse $y$.
Nel tuo caso è facile stabilire quale è la più grande e quindi evitare il valore assoluto, che comunque può anche restare perché non dà fastidio (il passaggio successivo è un'elevazione a quadrato). Se così non fosse, si continuerebbe effettivamente con $x_2-x_1=+-8$.
Il sistema è quello che hai impostato, da cui deduci
$x^2-6x-q=0=>x_(1,2)=3+-sqrt(9+q)$
La soluzione più grande è quella col + quindi
$ (3+sqrt(9+q)) -(3-sqrt(9+q))=8=>2sqrt(9+q)=8=>sqrt(9+q)=4=>9+q=16=>q=7$
La formula che hai aggiunto nel tuo ultimo post, cioè $y=x$, è sbagliata: quella è la bisettrice del primo e terzo quadrante e non c'entra affatto.
Nel tuo caso è facile stabilire quale è la più grande e quindi evitare il valore assoluto, che comunque può anche restare perché non dà fastidio (il passaggio successivo è un'elevazione a quadrato). Se così non fosse, si continuerebbe effettivamente con $x_2-x_1=+-8$.
Il sistema è quello che hai impostato, da cui deduci
$x^2-6x-q=0=>x_(1,2)=3+-sqrt(9+q)$
La soluzione più grande è quella col + quindi
$ (3+sqrt(9+q)) -(3-sqrt(9+q))=8=>2sqrt(9+q)=8=>sqrt(9+q)=4=>9+q=16=>q=7$
La formula che hai aggiunto nel tuo ultimo post, cioè $y=x$, è sbagliata: quella è la bisettrice del primo e terzo quadrante e non c'entra affatto.
Come filo logico avevo intuito, avrei dovuto applicare correttamente le regole algebriche!
Ti ringrazio, e' da ieri che ci sbattevo e questa notte ho cercato di risolverlo anche nel sonno
Ti ringrazio, e' da ieri che ci sbattevo e questa notte ho cercato di risolverlo anche nel sonno
Esercizio 15
Data la parabola di equazione $ y=x^2 $ , determinare la retta parallela all'asse $ x $ sulla quale essa individua una corda di misura $ 6 $ .
Ho pensato di impostare il seguente sistema:
$ { ( y=x^2 ),( y=q ):} $
E giusto iniziare da qui'?
Il sistema da la seguente equazione:
$ x^2-q=0 $
Quindi abbiamo $ x=+-q $ , correggetemi se sto sbagliando!
Data la parabola di equazione $ y=x^2 $ , determinare la retta parallela all'asse $ x $ sulla quale essa individua una corda di misura $ 6 $ .
Ho pensato di impostare il seguente sistema:
$ { ( y=x^2 ),( y=q ):} $
E giusto iniziare da qui'?
Il sistema da la seguente equazione:
$ x^2-q=0 $
Quindi abbiamo $ x=+-q $ , correggetemi se sto sbagliando!
Ok!
Quindi sapendo che la $ d=sqrt((x_2-x_1)^2) $ allora sara'
$ x_2-x_1=sqrt(6) $
cioe'
$ 2q=sqrt(6) $
Non sono sicuro di questo ultimo passaggio!
Forse deve essere cosi'?
$ 2q=6 $
Quindi
$ q=3 $
Segue che $ y=9 $ ?
Quindi sapendo che la $ d=sqrt((x_2-x_1)^2) $ allora sara'
$ x_2-x_1=sqrt(6) $
cioe'
$ 2q=sqrt(6) $
Non sono sicuro di questo ultimo passaggio!
Forse deve essere cosi'?
$ 2q=6 $
Quindi
$ q=3 $
Segue che $ y=9 $ ?
"Bad90":
$ x^2-q=0 $ ... Quindi abbiamo $ x=+-q $ , correggetemi se sto sbagliando!
Stai sbagliando. Se $x^2-q=0$ allora $x^2 =q$, dunque $x=+-sqrtq$
Dunque $x_1= -sqrtq$ e $x_2= sqrtq$ (ovviamente deve essere $q>=0$)
Deve essere $|x_2-x_1|=6$, dunque $2sqrtq=6$
Grazie per avermi corretto!
Quindi, continuando, sara':
$ sqrt(q)=3 $
Se non erro sara'
$ q=sqrt(3) $
Oppure sara'
$ q=3^2 $
Come bisogna risolvere questo radicale?
Grazie mille!
Quindi, continuando, sara':
$ sqrt(q)=3 $
Se non erro sara'
$ q=sqrt(3) $
Oppure sara'
$ q=3^2 $
Come bisogna risolvere questo radicale?
Grazie mille!
Parti da $sqrtq = 3$ ed eleva al quadrato entrambi i membri
Se elevo al quadrato ottengo $ q=9 $ quindi il risultato corretto dell'esercizio e' $ y=9 $ .
Devo ripetere un po' di esercizi sui radicali, devo tener la mente fresca!
Quindi la regola per semplificare una equazione in cui ho al primo membro un radicale ed al secondo membro un valore noto, e' elevare al quadrato entrambi i membri e si toglie il radicale!
Giusto?
Grazie mille!
Devo ripetere un po' di esercizi sui radicali, devo tener la mente fresca!
Quindi la regola per semplificare una equazione in cui ho al primo membro un radicale ed al secondo membro un valore noto, e' elevare al quadrato entrambi i membri e si toglie il radicale!
Giusto?
Grazie mille!
Esercizio 16
Trovare il valore di $ k $ perchè la parabola di equazione $ y=-3x^2+(k+2)x+2k $ sia simmetrica rispetto all'asse $ y $ .
Penso che devo impostare il sistema, giusto?
Come prima equazione metto la parabola, ma come seconda equazione, cosa devo mettere?
$ { ( y=-3x^2+(k+2)x+2k ),( y=0 ):} $
La parabola ha intersezione con l'asse $ x $ ed i punti devono essere simmetrici, va bene come ho impostato il sistema?
Grazie mille!
Trovare il valore di $ k $ perchè la parabola di equazione $ y=-3x^2+(k+2)x+2k $ sia simmetrica rispetto all'asse $ y $ .
Penso che devo impostare il sistema, giusto?
Come prima equazione metto la parabola, ma come seconda equazione, cosa devo mettere?
$ { ( y=-3x^2+(k+2)x+2k ),( y=0 ):} $
La parabola ha intersezione con l'asse $ x $ ed i punti devono essere simmetrici, va bene come ho impostato il sistema?
Grazie mille!
L'idea è buona, ma non va bene.
Infatti non è detto che la parabola intersechi l'asse $x$.
Ci sono parabole simmetriche rispetto all'asse $y$ che non intersecano l'asse $x$. Ad esempio $y= -x^2 -1$
Direi che potrebbe essere utile ragionare sul vertice: $V(-b/(2a), -Delta/(4a))$
Se la parabola è simmetrica rispetto all'asse $y$, com'è l'ascissa del vertice?
Infatti non è detto che la parabola intersechi l'asse $x$.
Ci sono parabole simmetriche rispetto all'asse $y$ che non intersecano l'asse $x$. Ad esempio $y= -x^2 -1$
Direi che potrebbe essere utile ragionare sul vertice: $V(-b/(2a), -Delta/(4a))$
Se la parabola è simmetrica rispetto all'asse $y$, com'è l'ascissa del vertice?
"Gi8":
Direi che potrebbe essere utile ragionare sul vertice: $V(-b/(2a), -Delta/(4a))$
Se la parabola è simmetrica rispetto all'asse $y$, com'è l'ascissa del vertice?
Uguale a destra e uguale a sinistra! $ x=x' $
Ovviamente il vertice deve avere $ -b/(2a)=0 $, cioè deve essere $x=0 $ e $-Delta/(4a)=0$, cioè deve essere $y=0 $
Mi stai dicendo che il vertice deve essere necessariamente l'origine degli assi?
"Gi8":
Mi stai dicendo che il vertice deve essere necessariamente l'origine degli assi?
No, ma penso sia una delle tante possibilità!
Anche perchè il vertice è un luogo geometrico, "penso sia corretto dire luogo geometrico", che divide in due parti uguali la parabola!
Giusto?
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