Parabola
Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Risposte
Quindi, iniziando con il seguente sistema:
$ { ( y-y_0=m(x-x_0) ),( y=ax^2+bx+c):} $
Sapendo che il punto $ A(3,y_A)$ appartiene alla parabola con la $x$ data dalla traccia ricavo la $ y=x^2+1=>10$, quindi il punto $ A(3,10) $. Imposto il sistema Retta-Parabola, sapendo che dovrò porrè la condizione $ Delta=0 $
$ { ( y-10=m(x-3) ),( y=x^2+1):} $
Sostituisco la prima nella seconda ed avrò la seguente equazione di secondo grado:
$ x^2-x(m)+(3m-9)=0 $
$ Delta= m^2-4(m3-9) $ ponendo $ Delta=0$, avrò
$ m^2-12m+36=0$
Sono quindi al corrente che è vero per $ Delta=0$ , così avrò una unica tangenza con soluzione doppia.
Risolvendo in $m$, avro' il seguente risultato:
$m_1,_2 = 12/2=6$
La retta che interessa a me è $ y-10=m(x-3) $, utilizzo la $m=6$ ed avrò l'equazione che mi serve:
$ y=6x-8 $
$ { ( y-y_0=m(x-x_0) ),( y=ax^2+bx+c):} $
Sapendo che il punto $ A(3,y_A)$ appartiene alla parabola con la $x$ data dalla traccia ricavo la $ y=x^2+1=>10$, quindi il punto $ A(3,10) $. Imposto il sistema Retta-Parabola, sapendo che dovrò porrè la condizione $ Delta=0 $
$ { ( y-10=m(x-3) ),( y=x^2+1):} $
Sostituisco la prima nella seconda ed avrò la seguente equazione di secondo grado:
$ x^2-x(m)+(3m-9)=0 $
$ Delta= m^2-4(m3-9) $ ponendo $ Delta=0$, avrò
$ m^2-12m+36=0$
Sono quindi al corrente che è vero per $ Delta=0$ , così avrò una unica tangenza con soluzione doppia.
Risolvendo in $m$, avro' il seguente risultato:
$m_1,_2 = 12/2=6$
La retta che interessa a me è $ y-10=m(x-3) $, utilizzo la $m=6$ ed avrò l'equazione che mi serve:
$ y=6x-8 $
Esercizio 12
Data la parabola $ y=3x^2 $, determinare la sua tangente parallela alla retta di equazione $ 2x-y+1=0$ .
Ma significa che devo ricavare il valore di $ q$
Non ho le idee molto chiare su come arrivare alla giusta conclusione....
, adesso provo a dire quello che mi è venuto in mente di fare, ma non sono certo..........
Ho il seguente sistema:
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+1 ):} =>{ ( Parab. ),( Ret. ):} $
Di certo se voglio una retta parallela alla retta data, che sia tangente alla parabola data, mi servirà conoscere quel valore di $q$ che dovrò utilizzare nell'equazione della retta $y=2x+1$. Bene, dal sistema che ho impostato, si ottiene la seguente equazione di secondo grado:
$3x^2-2x-1=0$
Adesso mi chiedo se è il caso di sostituire il nome di $x$ nell'equazione risultante con quello di $q$, che penso sia più facile da comprendere, quindi chiedo a voi conferma se sto facendo bene!
$3q^2-2q-1=0$
Se risolvo l'equazione ho le due soluzioni $q_1=1;q_2=-1/3$.
Ma se $q_1=1$ è lo stesso valore che della retta iniziale, posso tralasciarlo e pensare che l'unico valore ammissibile sia $q_2=-1/3$. Quindi posso sostituire tranquillamente in questo modo?
$y=2x-1/3$
Altrimenti, quali sono gli step da fare per arrivare alla soluzione
Grazie mille!
Data la parabola $ y=3x^2 $, determinare la sua tangente parallela alla retta di equazione $ 2x-y+1=0$ .
Ma significa che devo ricavare il valore di $ q$
Non ho le idee molto chiare su come arrivare alla giusta conclusione....
, adesso provo a dire quello che mi è venuto in mente di fare, ma non sono certo.......... Ho il seguente sistema:
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+1 ):} =>{ ( Parab. ),( Ret. ):} $
Di certo se voglio una retta parallela alla retta data, che sia tangente alla parabola data, mi servirà conoscere quel valore di $q$ che dovrò utilizzare nell'equazione della retta $y=2x+1$. Bene, dal sistema che ho impostato, si ottiene la seguente equazione di secondo grado:
$3x^2-2x-1=0$
Adesso mi chiedo se è il caso di sostituire il nome di $x$ nell'equazione risultante con quello di $q$, che penso sia più facile da comprendere, quindi chiedo a voi conferma se sto facendo bene!
$3q^2-2q-1=0$
Se risolvo l'equazione ho le due soluzioni $q_1=1;q_2=-1/3$.
Ma se $q_1=1$ è lo stesso valore che della retta iniziale, posso tralasciarlo e pensare che l'unico valore ammissibile sia $q_2=-1/3$. Quindi posso sostituire tranquillamente in questo modo?
$y=2x-1/3$
Altrimenti, quali sono gli step da fare per arrivare alla soluzione
Grazie mille!
La generica retta parallela a quella data è $y=2x+q$: questa è l'equazione che devi mettere a sistema con la parabola, imponendo poi $Delta=0$.
Risolvere il sistema
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+1 ):} =>{ ( Parab. ),( Ret. ):} $
significa cercare quei punti che appartengono ad ambedue le curve di cui compaiono le equazioni.
Cioè trovare le intersezioni fra le due curve.
I valori di $x$ che hai trovato sono le ascisse dei punti di intersezione fra le due curve, e il fatto di cambiare nome all'incognita non modifica questo fatto.
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+1 ):} =>{ ( Parab. ),( Ret. ):} $
significa cercare quei punti che appartengono ad ambedue le curve di cui compaiono le equazioni.
Cioè trovare le intersezioni fra le due curve.
I valori di $x$ che hai trovato sono le ascisse dei punti di intersezione fra le due curve, e il fatto di cambiare nome all'incognita non modifica questo fatto.
"giammaria":
La generica retta parallela a quella data è $y=2x+q$: questa è l'equazione che devi mettere a sistema con la parabola, imponendo poi $Delta=0$.
Quindi devo impostare il sistema in questo modo?
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+q ):} =>{ ( Parab. ),( Ret. ):} $
Sì.
"giammaria":
Sì.
Ma se faccio l'intersezione delle due equazioni, viene fuori:
$ 3x^2-2x-q=0 $
Come faccio ad impostare il $ Delta $
A dire il vero ho pensato di dare il nome all'incognita $ q $ che è la quantità che mi interessa, quindi se ripeto tutto il ragionamento che ho fatto nel primo messaggio di questo esercizio, imposto lo schema in questo modo:
$ { ( y=3q^2 ),( y=2q+1 ):} $
e viene fuori la seguente equazione di secondo grado:
$ 3q^2-2q-1=0 $
Dici che è giusto ciò che ho fatto?
Scusami, ma gli step che ho scritto nella soluzione iniziale che ho dato, sono corretti?
Grazie mille!
"chiaraotta":
Risolvere il sistema
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+1 ):} =>{ ( Parab. ),( Ret. ):} $
significa cercare quei punti che appartengono ad ambedue le curve di cui compaiono le equazioni.
Cioè trovare le intersezioni fra le due curve.
I valori di $x$ che hai trovato sono le ascisse dei punti di intersezione fra le due curve, e il fatto di cambiare nome all'incognita non modifica questo fatto.
Quindi tutto ciò che ho fatto e sempre correto?
Grazie mille!
"Bad90":
...
Quindi tutto ciò che ho fatto e sempre correto?
...
No, affatto. L'esercizio chiedeva "Data la parabola $ y=3x^2 $, determinare la sua tangente parallela alla retta di equazione $ 2x-y+1=0$ ".
Tu invece hai cercato una cosa diversa, cioè le ascisse dei punti d'intersezione tra retta e parabola!!
"chiaraotta":
No, affatto. L'esercizio chiedeva "Data la parabola $ y=3x^2 $, determinare la sua tangente parallela alla retta di equazione $ 2x-y+1=0$ ".
Tu invece hai cercato una cosa diversa, cioè le ascisse dei punti d'intersezione tra retta e parabola!!
Scusami, ma come devo impostare il sistema?
Ricapitolando:
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+q ):} =>{ ( Parab. ),( Ret. ):} $
Equazione risultante:
$ 3x^2-2x-q=0 $
Ricavo il $ Delta $ ed avrò:
$ Delta=4+12q=0 $
Da questa ricavo il $ q $ che sarà:
$ 4+12q=0 $
$ q=-4/12=>-1/3 $
Segue
$ y=2x-1/3 $
Insomma, mi sembra di aver compreso che in questi tipo di esercizi, è il $ Delta $ che ci dà i valori che servono!
Giusto?
Grazie mille!
$ { ( y=3x^2 ),( y=2x+q ):} =>{ (text( Parabola) ),( text(Fascio di rette parallele a ) 2x-y+1=0 ):} $
Equazione risultante:
$ 3x^2-2x-q=0 $
Ricavo il $ Delta/4 $ ed avrò:
$ Delta/4=1+3q=0 $
Da questa equazione ricavo $ q $ che sarà
$q=-1/3 $
e la retta che ha equazione
$ y=2x-1/3 $.
Equazione risultante:
$ 3x^2-2x-q=0 $
Ricavo il $ Delta/4 $ ed avrò:
$ Delta/4=1+3q=0 $
Da questa equazione ricavo $ q $ che sarà
$q=-1/3 $
e la retta che ha equazione
$ y=2x-1/3 $.
Ok, adesso ho le idee chiare!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Esercizio 13
Dal punto P(-2,1), condurre le tangenti alla parabola $ x=y^2 $ .
Ma e' lo stesso se invece di $ x=y^2 $ scrivo $ y=x^2 $ ??????
Va bene se imposto il sistema in questo modo?
$ { ( y=x^2 ),( y-1=m(x+2)):} $
Dal punto P(-2,1), condurre le tangenti alla parabola $ x=y^2 $ .
Ma e' lo stesso se invece di $ x=y^2 $ scrivo $ y=x^2 $ ??????
Va bene se imposto il sistema in questo modo?
$ { ( y=x^2 ),( y-1=m(x+2)):} $
"Bad90":
Esercizio 13
Dal punto P(-2,1), condurre le tangenti alla parabola $ x=y^2 $ .
Ma e' lo stesso se invece di $ x=y^2 $ scrivo $ y=x^2 $ ??????
La parabola $ x=y^2 $ è simmetrica rispetto alla bisettrice principale $y=x$ della parabola $ y=x^2 $.
Quindi $ x=y^2 $ è una parabola che ha il vertice nell'origine, ha per asse di simmetria l'asse $x$ ed è rivolta verso il semiasse $x$ positivo.
Per trovare le tangenti da $P$ devi trovare, fra le rette del fascio di centro $P$, quelle che hanno due intersezioni coincidenti con la parabola data, come al solito.
Il fascio per $P$ ha equazione $y-y_P=m(x-x_P)$.
Quindi devo impostare il sistema in questo modo?
$ { ( x=y^2 ),( y-1=m(x+2 )):} $
Sostituendo la x nella seconda, si ha:
$ { ( x=y^2 ),( y-1=m(y^2+2) ):} $
Va bene se continuo da qui'???
Come al solito mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, come posso impostare il sistema?
Grazie mille!
$ { ( x=y^2 ),( y-1=m(x+2 )):} $
Sostituendo la x nella seconda, si ha:
$ { ( x=y^2 ),( y-1=m(y^2+2) ):} $
Va bene se continuo da qui'???
Come al solito mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, come posso impostare il sistema?
Grazie mille!
Al solito, da
$y-1=m(y^2+2) $
si ottiene
$my^2-y+2m+1=0$.
Se le rette devono essere tangenti, le intersezioni tra retta e parabola devono essere coincidenti.
Perciò deve essere $Delta=0$.
Ma
$Delta=1-4m(2m+1)=-8m^2-4m+1$.
Per cui
$-8m^2-4m+1=0->8m^2+4m-1=0->m_(1,2) =(-1+-sqrt(3))/4$
$y-1=m(y^2+2) $
si ottiene
$my^2-y+2m+1=0$.
Se le rette devono essere tangenti, le intersezioni tra retta e parabola devono essere coincidenti.
Perciò deve essere $Delta=0$.
Ma
$Delta=1-4m(2m+1)=-8m^2-4m+1$.
Per cui
$-8m^2-4m+1=0->8m^2+4m-1=0->m_(1,2) =(-1+-sqrt(3))/4$
"chiaraotta":
$m_(1,2) =(-1+-sqrt(3))/4$
Ok, ma poi quando utilizzo le $ m $ ricavate, l'equazione sarà:
$ y-1=m(y^2+2) $ cioè:
$ y-1=(-1+-sqrt(3))/4(y^2+2) $
Ho pensato che non è corretto fare così, ma allora a quale equazione si dovrà fare riferimento?
Grazie mille!
Se il fascio di rette è $y-1=m(x+2)$ e le tangenti devono avere $m_(1,2) =(-1+-sqrt(3))/4$, le equazioni delle due tangenti sono $y-1=(-1+-sqrt(3))/4(x+2)$.
"chiaraotta":
Se il fascio di rette è $y-1=m(x+2)$ e le tangenti devono avere $m_(1,2) =(-1+-sqrt(3))/4$, le equazioni delle due tangenti sono $y-1=(-1+-sqrt(3))/4(x+2)$.
Quindi posso scrivere tranquillamente l'equazione in questo modo:
$ y=(-1+-sqrt(3))/4x+(-1+-sqrt(3))/2+1 $
Perchè il testo scrive così?
$ y=(-1+-sqrt(3))/4x+(-1+-sqrt(3))/2 $
Manca il $ +1 $
Grazie mille!
$y-1=(-1+-sqrt(3))/4(x+2)->y=(-1+-sqrt(3))/4(x+2)+1->$
$y=(-1+-sqrt(3))/4x+(-1+-sqrt(3))/2+1->y=(-1+-sqrt(3))/4x+(-1+-sqrt(3)+2)/2->$
$y=(-1+-sqrt(3))/4x+(1+-sqrt(3))/2$.
$y=(-1+-sqrt(3))/4x+(-1+-sqrt(3))/2+1->y=(-1+-sqrt(3))/4x+(-1+-sqrt(3)+2)/2->$
$y=(-1+-sqrt(3))/4x+(1+-sqrt(3))/2$.
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