Parabola
Nello studio della funzione della parabola $ y=ax^2+bx+c $, non sto capendo alcuni passaggi......
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Data l'equazione
$ y=ax^2+bx+c $
Ecco i passaggi:
$ y=a(x^2+b/ax)+c $
E fin qui' ho capito.
Poi scrive:
$ y=a(x^2+b/ax+b^2/(4a^2)-b^2/(4a^2))+c $
E gia' mi sono perso! Ma come ha fatto ad arrivare a questo punto?
Grazie mille.
Risposte
Ok, sono riuscito!
Utilizzando il valore dato dalla traccia e la formula della $ y_v $ , sono arrivato alla $ c=-4 $ .
L'equazione in tal caso e'
$ y=-x^2+5x-4 $
Grazie mille!
Utilizzando il valore dato dalla traccia e la formula della $ y_v $ , sono arrivato alla $ c=-4 $ .
L'equazione in tal caso e'
$ y=-x^2+5x-4 $
Grazie mille!
Esercizio 6
Determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $ y $ che passa per il punto$ A$ ed ha vertice nel punto $ V$ , nel seguente caso:
$ A(1,0) $ con $ V(2,-1) $
Equazione del tipo $ y= ax^2+bx+c $ , imposto il sistema:
$ { ( a+b+c=0 ),( 4a+2b+c=-1 ),( 2=-b/(2a) ):} =>{ ( a=1 ),( c=3 ),( b=-4 ):}$
Segue che l'equazione sarà $ y= x^2-4x+3 $.
Quanto sono contento quando i risultati tornano!
Determinare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse $ y $ che passa per il punto$ A$ ed ha vertice nel punto $ V$ , nel seguente caso:
$ A(1,0) $ con $ V(2,-1) $
Equazione del tipo $ y= ax^2+bx+c $ , imposto il sistema:
$ { ( a+b+c=0 ),( 4a+2b+c=-1 ),( 2=-b/(2a) ):} =>{ ( a=1 ),( c=3 ),( b=-4 ):}$
Segue che l'equazione sarà $ y= x^2-4x+3 $.
Quanto sono contento quando i risultati tornano!
Esercizio 7
Determinare l'equazione della parabola che:
a) Ha come direttrice la retta $ y=-17/4 $ e passa per $ A(2,0);B(1,5) $
Non sto riuscendo ad impostare il sistema, c'e' la direttrice, avente equazione $ -17/4=(1/(4a)-Delta/(4a)) $ , che non sto capendo come utilizzarla!
Determinare l'equazione della parabola che:
a) Ha come direttrice la retta $ y=-17/4 $ e passa per $ A(2,0);B(1,5) $
Non sto riuscendo ad impostare il sistema, c'e' la direttrice, avente equazione $ -17/4=(1/(4a)-Delta/(4a)) $ , che non sto capendo come utilizzarla!
"Bad90":
Esercizio 7
Determinare l'equazione della parabola che:
a) Ha come direttrice la retta $ y=-17/4 $ e passa per $ A(2,0);B(1,5) $
....
Devi scrivere un sistema:
${(0=4a+2b+c, [text(passaggio per ) A]), (5=a+b+c, [text(passaggio per ) B]), (-1/(4a)-Delta/(4a)=-17/4, [text(direttrice ) y=-17/4]):}->{(0=4a+2b+c), (5=a+b+c), ((-1-b^2+4ac)/(4a)=-17/4):}$
Ok, ma per l la terza equazione ad un certo punto avro':
$ -1-b^2+4ac=-17a $
E nelle sostituzione con $ a $ e $ b $ , sto trovando problemi!
$ -1-b^2+4ac=-17a $
E nelle sostituzione con $ a $ e $ b $ , sto trovando problemi!
Se sottrai la seconda equazione dalla prima ottieni
$3a+b=-5$,
da cui
$b=-3a-5$.
Dalla prima ricavi
$c=-4a-2b=-4a-2(-3a-5)=2a+10$.
Quindi puoi sostituire nella terza equazione $b$ e $c$ in funzione di $a$:
$1+b^2-4ac=17a-> 1+(-3a-5)^2-4a(2a+10)=17a->$
$1+9a^2+30a+25-8a^2-40a=17a->a^2-27a+26=0->$
$(a-1)(a-26)=0->{(a=1), (b=-8), (c=12):}, {(a=26), (b=-83), (c=62):}$.
$3a+b=-5$,
da cui
$b=-3a-5$.
Dalla prima ricavi
$c=-4a-2b=-4a-2(-3a-5)=2a+10$.
Quindi puoi sostituire nella terza equazione $b$ e $c$ in funzione di $a$:
$1+b^2-4ac=17a-> 1+(-3a-5)^2-4a(2a+10)=17a->$
$1+9a^2+30a+25-8a^2-40a=17a->a^2-27a+26=0->$
$(a-1)(a-26)=0->{(a=1), (b=-8), (c=12):}, {(a=26), (b=-83), (c=62):}$.
"chiaraotta":
Se sottrai la seconda equazione dalla prima ottieni
${(a=1), (b=-8), (c=12):}, {(a=26), (b=-83), (c=62):}$.
Io sono arrivato alla conclusione un pò troppo lunga:
$ { ( c=(20-2b)/3 ),( a=(-b-5)/3 ),( b^2+91b+664=0 ):} $
Dalla terza equazione, ho ricavato le due $ b $ , soluzione dell'equazione di secondo grado, $ b_1=-8 $ e $ b_2=-83 $ , in quel caso mi sono chiesto se ci fossero due parabole, e quindi sostituendo i valori sono riuscito a darmi una risposta, ho ottenuto la prima equazione:
$ y_1=x^2-8x+12 $
$ y_2=26x^2-83x+62 $
Sono contento di essere arrivato alla soluzione, ma sarò più contento quando ci metterò poco tempo
Grazie mille chiarotta!
Esercizio 8
Determinare l'equazione della parabola che:
a) Ha come direttrice la retta $ y=-1/4 $ e passa per $ A(2,1);B(1,0) $
Ho impostato il sistema e mi sono trovato con un quadrato e non so come comportarmi:
$ ((1-4a-c)/2)^2 $
Come posso risolverlo?
Posso fare in questo modo?
$ ((1+16a^2+c^2)/4) $
Resta il fatto che non sto riuscendo a risolverla, ho impostato il seguente schema:
$ { ( a=(1+c)/2 ),( b=(-3c-1)/2 ),( 1/4-1/(4a)-(b^2+4ac)/(4a)=0 ):} $
Che mi porta al seguente sistema
$ { ( a=(1+c)/2 ),( b=(-3c-1)/2 ),( 14c^2-17c+3=0 ):} $
Ma l'errore penso sia nella terza equazione $ 14c^2-17c+3=0 $ , sto sbagliando qualcosa! Da questa disequazione riesco ad ottenere $ c_1=1 $ che mi da una giusta parabola $ y=x^2-2x+1 $ , ma la $ c_2=3/14 $ e con questa ho dei problemi!
Grazie mille!
Determinare l'equazione della parabola che:
a) Ha come direttrice la retta $ y=-1/4 $ e passa per $ A(2,1);B(1,0) $
Ho impostato il sistema e mi sono trovato con un quadrato e non so come comportarmi:
$ ((1-4a-c)/2)^2 $
Come posso risolverlo?
Posso fare in questo modo?
$ ((1+16a^2+c^2)/4) $
Resta il fatto che non sto riuscendo a risolverla, ho impostato il seguente schema:
$ { ( a=(1+c)/2 ),( b=(-3c-1)/2 ),( 1/4-1/(4a)-(b^2+4ac)/(4a)=0 ):} $
Che mi porta al seguente sistema
$ { ( a=(1+c)/2 ),( b=(-3c-1)/2 ),( 14c^2-17c+3=0 ):} $
Ma l'errore penso sia nella terza equazione $ 14c^2-17c+3=0 $ , sto sbagliando qualcosa!
Da questa disequazione riesco ad ottenere $ c_1=1 $ che mi da una giusta parabola $ y=x^2-2x+1 $ , ma la $ c_2=3/14 $ e con questa ho dei problemi! Grazie mille!
"Bad90":
Esercizio 8
Determinare l'equazione della parabola che:
a) Ha come direttrice la retta $ y=-1/4 $ e passa per $ A(2,1);B(1,0) $
...
Il sistema che corrisponde alle condizioni date è:
${(1=4a+2b+c, [text(passaggio per ) A]), (0=a+b+c, [text(passaggio per ) B]), (-1/(4a)-Delta/(4a)=-1/4, [text(direttrice ) y=-1/4]):}->{(1=4a+2b+c), (0=a+b+c), (1+b^2-4ac=a):}$
Se sottrai la seconda dalla prima ottieni
$3a+b=1->b=1-3a$.
Dalla seconda puoi ricavare
$c=-a-b=-a-(1-3a)=2a-1$.
Sostituendo nella terza $b$ e $c$ in funzione di $a$ si ha:
$1+b^2-4ac=a->1+(1-3a)^2-4a(2a-1)=a->$
$1+1-6a+9a^2-8a^2+4a=a->a^2 -3a +2=0->$
$(a-1)(a-2)=0->{(a=1), (b=-2), (c=1):}, {(a=2), (b=-5), (c=3):}$.
Allora penso proprio che devo abituarmi ad utilizzare il metodo di chiaraotta, è semplice e rapido!
Grazie mille!
Grazie mille!
Già in altri esercizi ho visto che spesso nei sistemi tu non applichi quelle che io chiamo "regole di convenienza": non c'è obbligo di usarle ma rendono i calcoli più rapidi. Penso ti possa essere utile leggerne alcune:
- scrivi le equazioni nell'ordine dalla più facile alla più difficile. Le equazioni di primo grado sono ovviamente più facili delle altre; a parità di grado sono più facili quelle con poche incognite; ad ulteriore parità scegli i coefficienti più semplici;
- in equazioni di primo grado, ricava per prima l'incognita con coefficiente più facile; l'ideale è il coefficiente 1 o -1;
- se due o più equazioni sono di primo grado ed altre no, comincia a ricavare più incognite che puoi da quelle di primo grado e solo dopo affronta le altre: se tu lo avessi veramente fatto avresti espresso il tuo $(1-4a-c)^2$ in funzione di una sola lettera e i calcoli si sarebbero semplificati;
- nelle parabole molto spesso conviene ricavare prima $c$ e poi $b$ lasciando per ultima $a$; se non ci sono motivi particolari per un altro comportamento segui quest'ordine.
Ripassiamo poi un'altra regola (vera, non di convenienza): il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi termini più i doppi prodotti di ogni termine per ognuno dei successivi. Quindi
$(1-4a-c)^2=1+16a^2+c^2-8a-2c+8ac$
- scrivi le equazioni nell'ordine dalla più facile alla più difficile. Le equazioni di primo grado sono ovviamente più facili delle altre; a parità di grado sono più facili quelle con poche incognite; ad ulteriore parità scegli i coefficienti più semplici;
- in equazioni di primo grado, ricava per prima l'incognita con coefficiente più facile; l'ideale è il coefficiente 1 o -1;
- se due o più equazioni sono di primo grado ed altre no, comincia a ricavare più incognite che puoi da quelle di primo grado e solo dopo affronta le altre: se tu lo avessi veramente fatto avresti espresso il tuo $(1-4a-c)^2$ in funzione di una sola lettera e i calcoli si sarebbero semplificati;
- nelle parabole molto spesso conviene ricavare prima $c$ e poi $b$ lasciando per ultima $a$; se non ci sono motivi particolari per un altro comportamento segui quest'ordine.
Ripassiamo poi un'altra regola (vera, non di convenienza): il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati dei suoi termini più i doppi prodotti di ogni termine per ognuno dei successivi. Quindi
$(1-4a-c)^2=1+16a^2+c^2-8a-2c+8ac$
Ho utilizzato gli step che mi hai detto, prima risolvere c poi b e poi a, sono riuscito a risolvere tranquillamente l' esercizio!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Nelle intersezioni rette con parabole, si hanno le seguenti equazioni:
Retta $ y=mx+q $
Parabola $ y=ax^2+bx+c $
Il testo dice che la loro intersezione data dal sistema delle due equazioni, porta a:
$ ax^2+(b-m)x+(c-q)=0 $
Non sto riuscendo a replicare i passaggi che portano alla equazione dell'intersezione!
Come fa ad ottenere quella equazione risultante?
Grazie mille!
Retta $ y=mx+q $
Parabola $ y=ax^2+bx+c $
Il testo dice che la loro intersezione data dal sistema delle due equazioni, porta a:
$ ax^2+(b-m)x+(c-q)=0 $
Non sto riuscendo a replicare i passaggi che portano alla equazione dell'intersezione!
Come fa ad ottenere quella equazione risultante?
Grazie mille!
Nel sistema
${(y=ax^2+bx+c), (y=mx+q):}$
fai la differenza membro a membro:
$y-y=ax^2+bx+c-(mx+q)->0=ax^2+(b-m)x+(c-q)$.
${(y=ax^2+bx+c), (y=mx+q):}$
fai la differenza membro a membro:
$y-y=ax^2+bx+c-(mx+q)->0=ax^2+(b-m)x+(c-q)$.
Perfetto, adesso ho capito!
Grazie !
Grazie !
Esercizio 9
Determinare la parabola di equazione $ y=ax^2+bx+c $ che soddisfa le condizioni indicate.
a) Ha il vertice nell'origine e passa per $ P(-1/2,-1) $ .
Non ho avuto problemi nel risolverlo, ma mo chiedo il perche' nel mettere a sistema le tre equazioni, si preferisce prendere la formula della $ x=-b/(2a) $ del vertice, per ricavare il valore di $ b $ !
Per una questione di facilita' nei calcoli?
Perche' proprio attingere dalle formule del vertice?
Grazie.
Determinare la parabola di equazione $ y=ax^2+bx+c $ che soddisfa le condizioni indicate.
a) Ha il vertice nell'origine e passa per $ P(-1/2,-1) $ .
Non ho avuto problemi nel risolverlo, ma mo chiedo il perche' nel mettere a sistema le tre equazioni, si preferisce prendere la formula della $ x=-b/(2a) $ del vertice, per ricavare il valore di $ b $ !
Per una questione di facilita' nei calcoli?
Perche' proprio attingere dalle formule del vertice?
Grazie.
Se la parabola passa per l'origine, ha $c=0$.
Se in più ha il vertice nell'origine, $-b/(2a)=0->b=0$.
Quindi una parabola con vertice nell'origine ha equazione del tipo $y=ax^2$.
Nel caso specifico la parabola passa per $P(-1/2, -1)$ e quindi $-1=a(-1/2)^2->-1=1/4a->a=-4$.
Perciò l'equazione è $y=-4x^2$.
Se in più ha il vertice nell'origine, $-b/(2a)=0->b=0$.
Quindi una parabola con vertice nell'origine ha equazione del tipo $y=ax^2$.
Nel caso specifico la parabola passa per $P(-1/2, -1)$ e quindi $-1=a(-1/2)^2->-1=1/4a->a=-4$.
Perciò l'equazione è $y=-4x^2$.
Adesso ho le idee molto piu' chiare sul perche' della mia domanda!
Grazie
Grazie
Esercizio 10
Determinare la parabola di equazione $ y=ax^2+bx+c $ che soddisfa le condizioni indicate.
a) Ha il vertice nel punto $V(2,4)$ e passa per $P(-1,13)$
Imposto il seguente sistema:
$ { ( a-b+c=13 ),( 4a+2b+c=4 ),( ? ):} $
Quale equazione devo utilizzare per completare il sistema
Voglio capire a cosa devo fare riferimento per completare il sistema!
Determinare la parabola di equazione $ y=ax^2+bx+c $ che soddisfa le condizioni indicate.
a) Ha il vertice nel punto $V(2,4)$ e passa per $P(-1,13)$
Imposto il seguente sistema:
$ { ( a-b+c=13 ),( 4a+2b+c=4 ),( ? ):} $
Quale equazione devo utilizzare per completare il sistema
Voglio capire a cosa devo fare riferimento per completare il sistema!
Come ti ho detto prima, il vertice ha coordinate $(-b/(2a), - Delta/(4a))$.
Quindi, quando ti viene dato il vertice, tu possiedi due informazioni, non una sola.
Quindi, quando ti viene dato il vertice, tu possiedi due informazioni, non una sola.
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