Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
sto porvando a fare questo:
$\lim_{x \to -\infty} (\frac{2^x+3^x}{2})^(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} \cdot \ln(\frac{2^x+3^x}{2})=
\frac{\ln(\frac{2^x+3^x}{2})}{x}_{[\frac{-\infty}{-\infty}]}=$
$=\frac{1}{\frac{2^x+3^x}{2}} \cdot \frac{\ln 2 \cdot 2^x +\ln 3 \cdot 3^x}{2} = \frac{\ln 2 \cdot 2^x +\ln 3 \cdot 3^x}{2^x+3^x}_{[\frac{0}{0}]} =$
$=\frac{\ln 2\cdot(2^x\cdot \ln 2) + \ln 3\cdot(3^x\cdot \ln 3)}{2^x \cdot \ln 2 + 3^x \cdot \ln 3}$
fino a qui dovrebbe essere tutto giusto ma adesso dovrei riuscire a semplificare un bel po quanto ottenuto ... oppure secondo voi dovrei ancora continuare a derivare? grazie
$\lim_{x \to -\infty} (\frac{2^x+3^x}{2})^(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} \cdot \ln(\frac{2^x+3^x}{2})=
\frac{\ln(\frac{2^x+3^x}{2})}{x}_{[\frac{-\infty}{-\infty}]}=$
$=\frac{1}{\frac{2^x+3^x}{2}} \cdot \frac{\ln 2 \cdot 2^x +\ln 3 \cdot 3^x}{2} = \frac{\ln 2 \cdot 2^x +\ln 3 \cdot 3^x}{2^x+3^x}_{[\frac{0}{0}]} =$
$=\frac{\ln 2\cdot(2^x\cdot \ln 2) + \ln 3\cdot(3^x\cdot \ln 3)}{2^x \cdot \ln 2 + 3^x \cdot \ln 3}$
fino a qui dovrebbe essere tutto giusto ma adesso dovrei riuscire a semplificare un bel po quanto ottenuto ... oppure secondo voi dovrei ancora continuare a derivare? grazie
Io preferirei fare una piccola semplificazione, invece, prima di derivare:
$lim_{x -> -infty}((2^x+3^x)/2)^(1/x)=(lim_{x -> -infty}(2^x+3^x)^(1/x))/(lim_{x -> -infty}2^(1/x)) = lim_{x -> -infty}(2^x+3^x)^(1/x)$
Questa minuscola semplificazione non è effettivamente necessaria, ma personalmente preferisco così.
Andando avanti:
[size=150]$lim_{x -> -infty}(2^x+3^x)^(1/x)=e^(lim_{x -> -infty}(ln(2^x+3^x))/x)=e^((lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x))$[/size]
Lavoriamo solo sul limite $lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x)$. Qui decisamente sconsiglio di usare De l'Hopital: basta dividere numeratore e denominatore per $2^x$:
$lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x)= lim_{x -> -infty}(ln2 + (3/2)^x ln 3)/(1+(3/2)^x)=(ln2+0ln3)/(1+0)=ln(2)$
Sostituiamo:
[size=150]$e^((lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x)))=e^ln2=2$[/size].
$lim_{x -> -infty}((2^x+3^x)/2)^(1/x)=(lim_{x -> -infty}(2^x+3^x)^(1/x))/(lim_{x -> -infty}2^(1/x)) = lim_{x -> -infty}(2^x+3^x)^(1/x)$
Questa minuscola semplificazione non è effettivamente necessaria, ma personalmente preferisco così.
Andando avanti:
[size=150]$lim_{x -> -infty}(2^x+3^x)^(1/x)=e^(lim_{x -> -infty}(ln(2^x+3^x))/x)=e^((lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x))$[/size]
Lavoriamo solo sul limite $lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x)$. Qui decisamente sconsiglio di usare De l'Hopital: basta dividere numeratore e denominatore per $2^x$:
$lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x)= lim_{x -> -infty}(ln2 + (3/2)^x ln 3)/(1+(3/2)^x)=(ln2+0ln3)/(1+0)=ln(2)$
Sostituiamo:
[size=150]$e^((lim_{x -> -infty}(2^x ln2 + 3^x ln 3)/(2^x+3^x)))=e^ln2=2$[/size].
grazie mille
mannaggia sto bisticcciando con questo limite:
guardate che cosa succede, (voglio utilizzare solo de hopital).
$lim_(x->-oo) [x]/[sqrt(1+x^2)] = lim [1]/([2x]/[2*sqrt(x^2+1) )] = lim [1]/([x]/[sqrt(x^2+1) )] = lim [sqrt(x^2+1)]/[x]$
e gia qua la cosa mi puzza ... fin qua ho fatto giusto?
poi se continuo con de hopital... guardate che succede:
anzi l'avrete gia capito:
ritorno ad avere:
$lim [x]/[sqrt(1+x^2)]$
sono entrato in un ciclo... che si itera ogni volta... ma non capisco dove incappo....
guardate che cosa succede, (voglio utilizzare solo de hopital).
$lim_(x->-oo) [x]/[sqrt(1+x^2)] = lim [1]/([2x]/[2*sqrt(x^2+1) )] = lim [1]/([x]/[sqrt(x^2+1) )] = lim [sqrt(x^2+1)]/[x]$
e gia qua la cosa mi puzza ... fin qua ho fatto giusto?
poi se continuo con de hopital... guardate che succede:
anzi l'avrete gia capito:
ritorno ad avere:
$lim [x]/[sqrt(1+x^2)]$
sono entrato in un ciclo... che si itera ogni volta... ma non capisco dove incappo....
Prima porta sotto la radice la $x$ al numeratore, poi applica la regola di De L'Hopital.
potrei scriverla cosi $[-sqrt(x^2)]/[sqrt(x^2+1)]$
ma poi? se da qui inizio ad applicare de l'hopital ottengo:
$[[-1]/[2sqrt(x^2)]*2x]/[sqrt(1+x^2)] = [-[x]/[sqrt(x^2)]]/[sqrt(1+x^2)] = [-[x]/[sqrt(x^2)]]/([1]/[2*sqrt(1+x^2)]*2x)=[-[x]/[sqrt(x^2)]]/([x]/[sqrt(1+x^2)])$
fino a qua e' corretto?
perche non vedo tanto in questa forma il risultato $-1$ per via di quel $1+$ dentro la radice quadra
ma poi? se da qui inizio ad applicare de l'hopital ottengo:
$[[-1]/[2sqrt(x^2)]*2x]/[sqrt(1+x^2)] = [-[x]/[sqrt(x^2)]]/[sqrt(1+x^2)] = [-[x]/[sqrt(x^2)]]/([1]/[2*sqrt(1+x^2)]*2x)=[-[x]/[sqrt(x^2)]]/([x]/[sqrt(1+x^2)])$
fino a qua e' corretto?
perche non vedo tanto in questa forma il risultato $-1$ per via di quel $1+$ dentro la radice quadra
Ma no, intendevo nella stessa radice del denominatore!
$x/sqrt(1+x^2)=-sqrt(x^2/(1+x^2))$ e poi puoi fare così:
$lim_{x -> -infty}-sqrt(x^2/(1+x^2))=-sqrt(lim_{x -> -infty}x^2/(1+x^2))$ e ORA applichi De l'Hopital (e finisci subito). In realtà non ce n'è neanche bisogno.
$x/sqrt(1+x^2)=-sqrt(x^2/(1+x^2))$ e poi puoi fare così:
$lim_{x -> -infty}-sqrt(x^2/(1+x^2))=-sqrt(lim_{x -> -infty}x^2/(1+x^2))$ e ORA applichi De l'Hopital (e finisci subito). In realtà non ce n'è neanche bisogno.
grazie,
ero abituato a usare l'ultima uguaglianza al contrario tipo $ln(lim_(x->0) x )= lim_(x->0) ln(x)$
ero abituato a usare l'ultima uguaglianza al contrario tipo $ln(lim_(x->0) x )= lim_(x->0) ln(x)$
sono riuscito a farne altri 3 e sono andati via lisci... tranne l'ultimo ma poi avevo capito il mio errore.
Purtroppo non posso pubblicarli perchè c'è scritto che e' vietata la riproduzione allora ho cambiato sito
ora sto provando a fare questo $lim_(x->0) (1/x + 1/(1-e^x))$ sempre con de Hopital non riesco a trovare un modo per raggiungere una forma indeterminata del tipo $0/0$ o $(+-oo)/(+-oo)$
in qualsiasi modo che la giro ottengo o $oo - oo$ o la forma determinata $oo$ ma è sbagliata... perche ho controllato sul grafico:
vi spiego i miei passaggi:
allora innanzi tutto l'ho girata in questo modo:
$[1+x(1-e^x)^-1]/[x]$
poi se faccio il passaggio al limite ottengo $oo$ ma e' sbagliato ....
secondo voi dove sbaglio?
Purtroppo non posso pubblicarli perchè c'è scritto che e' vietata la riproduzione allora ho cambiato sito
ora sto provando a fare questo $lim_(x->0) (1/x + 1/(1-e^x))$ sempre con de Hopital non riesco a trovare un modo per raggiungere una forma indeterminata del tipo $0/0$ o $(+-oo)/(+-oo)$
in qualsiasi modo che la giro ottengo o $oo - oo$ o la forma determinata $oo$ ma è sbagliata... perche ho controllato sul grafico:
vi spiego i miei passaggi:
allora innanzi tutto l'ho girata in questo modo:
$[1+x(1-e^x)^-1]/[x]$
poi se faccio il passaggio al limite ottengo $oo$ ma e' sbagliato ....
secondo voi dove sbaglio?
Non ti basta fare denominatore comune?
$(1-e^x+x)/(x*(1-e^x))$
$(1-e^x+x)/(x*(1-e^x))$
Grazie
$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{1}{1-e^x})=\frac{1-e^x+x}{x\cdot(1-e^x)}_{[\frac{0}{0}]}=
\frac{-e^x+1}{1-e^x -x e^x}_{[\frac{0}{0}]}=\frac{-e^x}{-e^x-(e^x+xe^x)}
=\frac{-e^x}{e^x(-1-1-x)}=\frac{1}{2}$
A me non usciva perche avevo messo come denominatore comune dopo aver girato il secondo termine $x$
$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} + \frac{1}{1-e^x})=\frac{1-e^x+x}{x\cdot(1-e^x)}_{[\frac{0}{0}]}=
\frac{-e^x+1}{1-e^x -x e^x}_{[\frac{0}{0}]}=\frac{-e^x}{-e^x-(e^x+xe^x)}
=\frac{-e^x}{e^x(-1-1-x)}=\frac{1}{2}$
A me non usciva perche avevo messo come denominatore comune dopo aver girato il secondo termine $x$
ho svolto anche questo, dovrebbe essere giusto ma preferirei avere una conferma se possibile:
$lim_(x->0^+)(1/x +1/(1-2^x))$
prima di tutto ho fatto denominatore comune ed ho ottenuto:
$[1-2^x+x]/(x(1-2^x))$ in questo modo ottengo la forma indeterminata $0/0$
derivando ottengo:
$[1-2^xln(2)]/[-2^x-2^x*xln(2)+1]$
qui ho deciso di dividere per $2^x$ e ottengo:
$[[1]/[2^x]-ln(2)]/[-1-xln(2)+[1]/[2^x]]$
facendo il passaggio del limite ottengo:
$[1-ln(2)]/[-1+1]=[a]/[0^-]=-oo$
OSSERVAZIONE:
al denominatore ottengo $0^-$ perchè $1/2^x$ con $x->0^+$ sarà leggermente più piccolo di $1$ e di conseguenza avrò al denominatore $0^-$ ossia un numero sicuramente negativo. Questo porta ad avere $-oo$
secondo voi sono giusti i miei calcoli e la mia osservazione?
Grazie e buona notte.
A domani
$lim_(x->0^+)(1/x +1/(1-2^x))$
prima di tutto ho fatto denominatore comune ed ho ottenuto:
$[1-2^x+x]/(x(1-2^x))$ in questo modo ottengo la forma indeterminata $0/0$
derivando ottengo:
$[1-2^xln(2)]/[-2^x-2^x*xln(2)+1]$
qui ho deciso di dividere per $2^x$ e ottengo:
$[[1]/[2^x]-ln(2)]/[-1-xln(2)+[1]/[2^x]]$
facendo il passaggio del limite ottengo:
$[1-ln(2)]/[-1+1]=[a]/[0^-]=-oo$
OSSERVAZIONE:
al denominatore ottengo $0^-$ perchè $1/2^x$ con $x->0^+$ sarà leggermente più piccolo di $1$ e di conseguenza avrò al denominatore $0^-$ ossia un numero sicuramente negativo. Questo porta ad avere $-oo$
secondo voi sono giusti i miei calcoli e la mia osservazione?
Grazie e buona notte.
A domani
ne sto facendo un altro
$lim_(x->0) (1-cosx)^sinx$
in pratica l'ho prima portato in una forma indeterminata che mi ha permesso di usare de hopital.
ossia
$[ln(1-cosx)]/([1]/[sinx])$
poi derivando una volta sono giunto a:
$(sinx/(1-cosx))/(-cosx/sinx^2) = -sinx^3/((1-cosx)*(cosx))$
adesso volevo chiedervi:
secondo voi mi conviene derivare ancora ?
grazie
$lim_(x->0) (1-cosx)^sinx$
in pratica l'ho prima portato in una forma indeterminata che mi ha permesso di usare de hopital.
ossia
$[ln(1-cosx)]/([1]/[sinx])$
poi derivando una volta sono giunto a:
$(sinx/(1-cosx))/(-cosx/sinx^2) = -sinx^3/((1-cosx)*(cosx))$
adesso volevo chiedervi:
secondo voi mi conviene derivare ancora ?
grazie
Però se non sbaglio quello che tu hai scritto non è del tutto corretto.
Tu stai dicendo che $(1-cosx)^sinx=sinxln(1-cosx)$, ma non credo sia vero. Dovrebbe invece essere $(1-cosx)^sinx=e^(sinxln(1-cosx))$. Giusto?
Comunque per rispondere alla tua domanda, si, ti conviene derivare ancora. Derivata la tua funzione ne otterrai una che per $x->0$ tenderà a 0. Il limite totale tenderà quindi correttamente a 1.
Tu stai dicendo che $(1-cosx)^sinx=sinxln(1-cosx)$, ma non credo sia vero. Dovrebbe invece essere $(1-cosx)^sinx=e^(sinxln(1-cosx))$. Giusto?
Comunque per rispondere alla tua domanda, si, ti conviene derivare ancora. Derivata la tua funzione ne otterrai una che per $x->0$ tenderà a 0. Il limite totale tenderà quindi correttamente a 1.
si ma è la stessa cosa
non è una dimostrazione rigorosa ma ci provo:
$lim_(x->0) ... = A$
allora posso dire
$ln(lim_(x->0) ...) = ln(A)$
quindi
$lim_(x->0) ln(...) = ln(A)$
non è una dimostrazione rigorosa ma ci provo:
$lim_(x->0) ... = A$
allora posso dire
$ln(lim_(x->0) ...) = ln(A)$
quindi
$lim_(x->0) ln(...) = ln(A)$
"giogiomogio":
si ma è la stessa cosa
No, in quanto il limite della funzione come l'hai scritta tu tende a 0 (se non metti l'esponenziale), il limite iniziale invece tende a 1 (in quanto il suo esponente tende a 0).
se vuoi ti mostro la teoria della mia prof lei usa esattamente come faccio io
"burm87":
No, in quanto il limite della funzione come l'hai scritta tu tende a 0 (se non metti l'esponenziale), il limite iniziale invece tende a 1 (in quanto il suo esponente tende a 0).
si tende a zero
ma $ln(A)=0$
$A=e^0$
$A=1$
ti torna?
cmq derivando ancorao ottengo $\frac(3sinx*cosx)(2cosx-1) = 0/1 = 0$
quindi
$ln(a) = 0$
$a=e^0=1$
quindi
$ln(a) = 0$
$a=e^0=1$
A me tornava fin dall'inizio.
Quindi il risultato di questo limite qua sopra qual è?
"giogiomogio":
ne sto facendo un altro
$lim_(x->0) (1-cosx)^sinx$
Quindi il risultato di questo limite qua sopra qual è?
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