Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
"giogiomogio":
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ?
Ciao, il risultato è corretto mentre nei passaggi c'è qualcosa di non molto rigoroso. In particolare non puoi "buttare via" la parentesi \( \left( 1 - \dfrac{4}{n} \right) \) ma devi portartela fino in fondo e passare al limite una sola volta, tutto insieme.
Inoltre hai detto che
\[
\sqrt{n^2} = n
\]Attenzione: in questo caso è vero perchè $n \to +\infty$ mentre nel caso $n \to -\infty$ dovrai dire
\[
\sqrt{n^2} = -n
\]
ciao,
per adesso stiamo facendo i limiti dove $n \to +\infty$ gli altri casi ancora non li abbiamo visti.
per quanto riguarda la parentesi \( \left( 1 - \dfrac{4}{n} \right) \), da quel che ho letto $[4]/[n]$ tende a $0$
quindi nel mio caso risulterebbe $n^2*(1-0)$ di conseguenza $n^2$
che dici ?
grazie mille
per adesso stiamo facendo i limiti dove $n \to +\infty$ gli altri casi ancora non li abbiamo visti.
per quanto riguarda la parentesi \( \left( 1 - \dfrac{4}{n} \right) \), da quel che ho letto $[4]/[n]$ tende a $0$
quindi nel mio caso risulterebbe $n^2*(1-0)$ di conseguenza $n^2$
che dici ?
grazie mille
"giogiomogio":
per quanto riguarda la parentesi \( \left( 1 - \dfrac{4}{n} \right) \), da quel che ho letto $[4]/[n]$ tende a $0$
quindi nel mio caso risulterebbe $n^2*(1-0)$ di conseguenza $n^2$
che dici ?
Certo, questo è assolutamente vero, ma infatti dici che "$[4]/[n]$ tende a $0$". Quindi stai di fatto calcolando un limite nel limite e questo non si dovrebbe fare. Ti dovresti portare dietro la parentesi fino in fondo e passare al limite una sola volta.
Quindi il modo formalmente corretto di procedere era
\[
... = \lim_{n \to \infty}{\frac{4n}{n + n \sqrt{1- \dfrac{4}{n}}}} = \lim_{n \to \infty}{\frac{4n}{n \left( 1 + \sqrt{1- \dfrac{4}{n}} \right) }} = 2.
\]
ok perfetto, e grazie per la dritta.
ora volevo fare una domanda che mi sorge molto spesso mentre faccio questi esercizi:
se guardo $lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
potrei subito dire che: $(n-sqrt(n^2*(1-[4]/[n])))$
quindi
$(n-n*sqrt((1-[4]/[n])))$
e fin qua è corretto ...
ma guarda cosa succede adesso:
se $[4]/[n]$ tende a $0$ ... posso scrivere
$(n-n*sqrt((1-0)))$
quindi
$(n-n*sqrt(1))$
che dovrebbe fare
$n-n$
ma che al posto di $2$ fa $0$
cioe io non capisco perche non posso risolvere subito in maniera diretta.......... ma prima devo fare determinati passaggi ....
ora volevo fare una domanda che mi sorge molto spesso mentre faccio questi esercizi:
se guardo $lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
potrei subito dire che: $(n-sqrt(n^2*(1-[4]/[n])))$
quindi
$(n-n*sqrt((1-[4]/[n])))$
e fin qua è corretto ...
ma guarda cosa succede adesso:
se $[4]/[n]$ tende a $0$ ... posso scrivere
$(n-n*sqrt((1-0)))$
quindi
$(n-n*sqrt(1))$
che dovrebbe fare
$n-n$
ma che al posto di $2$ fa $0$
cioe io non capisco perche non posso risolvere subito in maniera diretta.......... ma prima devo fare determinati passaggi ....
"giogiomogio":
se $[4]/[n]$ tende a $0$ ... posso scrivere
$(n-n*sqrt((1-0)))$
E' proprio questo il punto... non puoi passare al limite e sostituire quella parentesi con $1$!
Seguendo questa strada puoi dire
\[
... = n \left( 1- \sqrt{1- \frac{4}{n}}
\right)
\]e quando passi al limite hai la forma indeterminata $[0 \cdot \infty]$ quindi non hai risolto. Allora il modo giusto sarà un altro, in particolare quello che hai seguito prima.
perfetto grazie, quindi se ho capito bene: quando dici passare al limite significa fare quello che facevo io con il $[4]/[n]$ giusto?
solo che il mio errore era quello di fare il passaggio al limite troppo anticipatamente... mentre in realta devo portamelo dietro fino alla fine... in modo tale da farlo solo una volta. a quel punto controllo se ottengo una forma determinata o indeterminata, e, in caso... cambio strada.
ho capito bene?
grazie mille
solo che il mio errore era quello di fare il passaggio al limite troppo anticipatamente... mentre in realta devo portamelo dietro fino alla fine... in modo tale da farlo solo una volta. a quel punto controllo se ottengo una forma determinata o indeterminata, e, in caso... cambio strada.
ho capito bene?
grazie mille
"giogiomogio":
il mio errore era quello di fare il passaggio al limite troppo anticipatamente... mentre in realta devo portamelo dietro fino alla fine... in modo tale da farlo solo una volta. a quel punto controllo se ottengo una forma determinata o indeterminata, e, in caso... cambio strada.
ho capito bene?
Sì direi che adesso ci siamo!
grazie ancora, prossimamente in questo topic mettero dentro qualche esercizio che sto pescando qua e la purtroppo non ho le soluzioni... se potrai dargli un occhio mi faresti un grosso favore.
grazie ancora
ciuaz
grazie ancora
ciuaz
"giogiomogio":
grazie ancora, prossimamente in questo topic mettero dentro qualche esercizio che sto pescando qua e la purtroppo non ho le soluzioni... se potrai dargli un occhio mi faresti un grosso favore.
grazie ancora
ciuaz
Certamente!
grazie mille,
una piccola cosa:
quando ottengo $[0 \cdot \infty]$ ho una forma indeterminata ma, ci sono alcuni casi dove se per caso ottengo appunto $[0 \cdot \infty]$ posso comunque avere una soluzione ?
esempio:
$lim_(n -> +oo )$ $(n*sin([1]/[n]))=1$ pur avendo la seguente forma $[0 \cdot \infty]$
quindi se ho capito bene ci sono alcune eccezzioni ... e queste sono i limiti notevoli ...
quindi se trovo una forma indeterminata prima devo anche controllare se la struttura di quello che ho ottenuto è riconducibile ad un limite notevole.
quello che voglio dire è che se ho tra le mani una forma indeterminata ma la struttura del limite che mi ha portato a tale forma segue a pennello la struttura di un limite notevole ... vorra dire che la soluzione c'è e sarà la soluzione del limite notevole corrispondente...
spero di aver detto giusto
grazie
una piccola cosa:
quando ottengo $[0 \cdot \infty]$ ho una forma indeterminata ma, ci sono alcuni casi dove se per caso ottengo appunto $[0 \cdot \infty]$ posso comunque avere una soluzione ?
esempio:
$lim_(n -> +oo )$ $(n*sin([1]/[n]))=1$ pur avendo la seguente forma $[0 \cdot \infty]$
quindi se ho capito bene ci sono alcune eccezzioni ... e queste sono i limiti notevoli ...
quindi se trovo una forma indeterminata prima devo anche controllare se la struttura di quello che ho ottenuto è riconducibile ad un limite notevole.
quello che voglio dire è che se ho tra le mani una forma indeterminata ma la struttura del limite che mi ha portato a tale forma segue a pennello la struttura di un limite notevole ... vorra dire che la soluzione c'è e sarà la soluzione del limite notevole corrispondente...
spero di aver detto giusto
grazie
Questo limite $lim_(n->+oo )[n*sin(1/n)]$ vedilo come $lim_(n->+oo )[sin(1/n)/(1/n)]$
Come dice @anonymous_c5d2a1 scrivendo il limite in quel modo abbiamo un rapporto tra il seno di una quantità che tende a zero e la stessa quantità, quindi il risultato fa $1$. In simboli
\[
\lim_{\star \to 0}{\frac{\sin \star}{\star}} = 1
\]dove in questo caso era \( \star = \dfrac{1}{n} \) che tendeva a zero poichè \( n \to \infty \).
\[
\lim_{\star \to 0}{\frac{\sin \star}{\star}} = 1
\]dove in questo caso era \( \star = \dfrac{1}{n} \) che tendeva a zero poichè \( n \to \infty \).
"giogiomogio":
quando ottengo $[0 \cdot \infty]$ ho una forma indeterminata ma, ci sono alcuni casi dove se per caso ottengo appunto $[0 \cdot \infty]$ posso comunque avere una soluzione ?
Ho l'impressione che tu stia confondendo "forma indeterminata" e "il limite non esiste". Avere una forma indeterminata significa che non c'è una regoletta per dire subito il risultato; è però molto probabile che questo risultato esista e per trovarlo non sempre occorre ricorrere ai limiti notevoli. Ad esempio
$lim_(x->3)(x^2-3x)/(x^2-9)$
è della forma indeterminata $0/0$ ma lo risolvi facendo
$=lim_(x->3)(x(x-3))/((x-3)(x+3))=3/(3+3)=1/2$
@giammaria
Io so che se durante la risoluzione di un limite ottengo una forma indeterminata devo utilizzare un altra strada per risolverlo ma, in alcuni casi posso accorgermi che la struttura é riconducibile ad un limite notevole e quindi mi basta seguirla per avere la soluzione.
Come avevo detto inserisco di seguito un esercizio per vedere se sto procedendo in maniera corretta:
$lim_(n->+oo)([n-3]/[n])^n$
Questi sono i miei passaggi:
$([n*(1-[3]/[n])]/[n*(1)])^n => 1^n $ il problema è che $1^(+oo)$ é una forma indeterminata quindi non saprei quale altra strada prendere
Io so che se durante la risoluzione di un limite ottengo una forma indeterminata devo utilizzare un altra strada per risolverlo ma, in alcuni casi posso accorgermi che la struttura é riconducibile ad un limite notevole e quindi mi basta seguirla per avere la soluzione.
Come avevo detto inserisco di seguito un esercizio per vedere se sto procedendo in maniera corretta:
$lim_(n->+oo)([n-3]/[n])^n$
Questi sono i miei passaggi:
$([n*(1-[3]/[n])]/[n*(1)])^n => 1^n $ il problema è che $1^(+oo)$ é una forma indeterminata quindi non saprei quale altra strada prendere
Puoi fare come hai fatto tu oppure, più rapidamente,
$=lim_(n->+oo)(n/n-3/n)^n=lim_(n->+oo)(1-3/n)^n$
ma di qui dovresti saper proseguire; se non l'hai studiato come conseguenza del secondo limite fondamentale, fai la sostituzione $3/n=1/x$. L'ho scritta tenendo conto di quello che si vuole avere; sarebbe stato più ragionevole scrivere $n=3x$
$=lim_(n->+oo)(n/n-3/n)^n=lim_(n->+oo)(1-3/n)^n$
ma di qui dovresti saper proseguire; se non l'hai studiato come conseguenza del secondo limite fondamentale, fai la sostituzione $3/n=1/x$. L'ho scritta tenendo conto di quello che si vuole avere; sarebbe stato più ragionevole scrivere $n=3x$
Mai sentito parlarne, abbiamo fatto solo 2 lezioni su i limiti....
Quello che intendi tu é questo ?
$[(1-[1]/[n/3])^([n]/[3])]^3$
Perche seno non ho capito perche sostituire esoprattutto perche quel tipo di sostituzione
Quello che intendi tu é questo ?
$[(1-[1]/[n/3])^([n]/[3])]^3$
Perche seno non ho capito perche sostituire esoprattutto perche quel tipo di sostituzione
Sì, così va bene; in futuro studierai anche il metodo di sostituzione e capirai cosa intendevo.
Ok grazie
Ma quando arrivo qui non so piu che fare.....
Ma quando arrivo qui non so piu che fare.....
Riprendendo quanto diceva giammaria sappiamo che$$
\lim_{n \to \infty} {\left(1+\frac{k}{n}\right)^n} = e^{k}
$$quindi applicandolo al tuo limite abbiamo$$
\lim_{n \to \infty} {\left(1-\frac{3}{n}\right)^n} = ...
$$
\lim_{n \to \infty} {\left(1+\frac{k}{n}\right)^n} = e^{k}
$$quindi applicandolo al tuo limite abbiamo$$
\lim_{n \to \infty} {\left(1-\frac{3}{n}\right)^n} = ...
$$
Se prendo in considerazione questo:
Posso dire che il risultato é:
$ e^(-1*3)$ ?
Grazie
Nel mentre ho svolto anche questo:
$lim_(n->+oo) ([1+5n]/[5n])^([n]/[3])$
$([5n]/[5n] + [1]/[5n])^([n]/[3]) => (1 + [1]/[5n])^([n]/[3]) => [(1+[1]/[5n])^(5n)]^([1]/[15]) => [e]^([1]/[15]) => e^([1]/[15])$
Quindi:
$lim_(n->+oo) ([1+5n]/[5n])^([n]/[3]) = e^([1]/[15])$
"giogiomogio":
$[(1-[1]/[n/3])^([n]/[3])]^3$
Posso dire che il risultato é:
$ e^(-1*3)$ ?
Grazie
Nel mentre ho svolto anche questo:
$lim_(n->+oo) ([1+5n]/[5n])^([n]/[3])$
$([5n]/[5n] + [1]/[5n])^([n]/[3]) => (1 + [1]/[5n])^([n]/[3]) => [(1+[1]/[5n])^(5n)]^([1]/[15]) => [e]^([1]/[15]) => e^([1]/[15])$
Quindi:
$lim_(n->+oo) ([1+5n]/[5n])^([n]/[3]) = e^([1]/[15])$
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