Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
ok perfetto grazie mille allora lo scrivo sempre e faccio prima 
ciao a tutti finalmente abbiamo iniziato con l'analisi delle funzioni attraverso i limiti,
la nostra prof ci ha dato una serie da svolgere;
i primi 2 della serie li ho fatti senza problemi il terzo mi fa pensare ma non riesco a trovare soluzione:
$lim_(x->4) [x^2-x-17]/[2x-8]$
a primo acchito avevo pensato a ruffini... cioe di dividere numeratore e denominatore ma in questo caso non funziona perchè $4$ è divisibile solo al denominatore ma non al numeratore... quindi non saprei bene come procedere ... forse potrei comunque iniziare da qui:
$lim_(x->4) [x^2-x-17]/[2(x-4)]$
ma poi? non ne ho proprio idea
grazie
la nostra prof ci ha dato una serie da svolgere;
i primi 2 della serie li ho fatti senza problemi il terzo mi fa pensare ma non riesco a trovare soluzione:
$lim_(x->4) [x^2-x-17]/[2x-8]$
a primo acchito avevo pensato a ruffini... cioe di dividere numeratore e denominatore ma in questo caso non funziona perchè $4$ è divisibile solo al denominatore ma non al numeratore... quindi non saprei bene come procedere ... forse potrei comunque iniziare da qui:
$lim_(x->4) [x^2-x-17]/[2(x-4)]$
ma poi? non ne ho proprio idea
grazie
Ciao, il denominatore tende a zero ma il numeratore no (tende a $-5$) quindi la frazione tende a $\infty$. 
sono proprio uno stupido!
chiaramente $a/0 =+-oo$
in questo caso $-oo$
grazie mille
chiaramente $a/0 =+-oo$
in questo caso $-oo$
grazie mille
"giogiomogio":
in questo caso $-oo$
Attenzione perchè non è detto! Infatti il numeratore è comunque negativo ma il denominatore cambia segno se $x \to 4^{-}$ oppure $x \to 4^{+}$. Quindi dovresti scrivere solo $\infty$.
scusami cosa significa $4^+$ e $4^-$ ?
grazie
grazie
"giogiomogio":
scusami cosa significa $4^+$ e $4^-$ ?
grazie
Significa che ti puoi avvicinare a $4$ arrivando "da destra", cioè con valori maggiori di $4$, o "da sinistra", cioè con valori minori.
hai ragione scusami,
infatti puo essere $3.999999$ oppure $4.000001$
cambia il segno al denominatore grazie
infatti puo essere $3.999999$ oppure $4.000001$
cambia il segno al denominatore
grazie
"giogiomogio":
hai ragione scusami,
infatti puo essere $3.999999$ oppure $4.000001$
cambia il segno al denominatore
Giusto.
il fatto di avvicinarsi da destra o da sinistra al valore varrebbe anche se fosse stato
$x->+oo$
in questo caso posso comunque avvicinarmi a $oo$ sia da sinistra che da destra o solo da sinistra?
$x->+oo$
in questo caso posso comunque avvicinarmi a $oo$ sia da sinistra che da destra o solo da sinistra?
Non so se ho capito la domanda, comunque a $+\infty$ ti avvicini solo da sinistra visto che, per definizione, non esiste nulla alla sua destra. Analogamente per $-\infty$. Non ha alcun senso scrivere $x \to +\infty^{+}$.
sisi l'hai capita perfettamente, grazie
stavo provando a risolvere questa:
$lim_(x->2) [3-sqrt(5x-1)]/[sqrt(7x+2) - 4]$
qui avevo pensato di moltiplicare il tutto per $3+sqrt(5x-1)$ al denominatore e al numeratore ottenendo:
$lim_(x->2) [3-sqrt(5x-1)]/[sqrt(7x+2) - 4] = lim_(x->2) [3-sqrt(5x-1)]/[sqrt(7x+2) - 4]*[3+sqrt(5x-1)]/[3+sqrt(5x-1)] = lim_(x->2) [10-5x]/[(sqrt(7x+2)-4)*(3+sqrt(5x-1))] $
e qui speravo di poter semplificare qualcosa ... il fatto è cosa ??
mannaggia secondo te fino a qua ho fatto giusto?
grazie
stavo provando a risolvere questa:
$lim_(x->2) [3-sqrt(5x-1)]/[sqrt(7x+2) - 4]$
qui avevo pensato di moltiplicare il tutto per $3+sqrt(5x-1)$ al denominatore e al numeratore ottenendo:
$lim_(x->2) [3-sqrt(5x-1)]/[sqrt(7x+2) - 4] = lim_(x->2) [3-sqrt(5x-1)]/[sqrt(7x+2) - 4]*[3+sqrt(5x-1)]/[3+sqrt(5x-1)] = lim_(x->2) [10-5x]/[(sqrt(7x+2)-4)*(3+sqrt(5x-1))] $
e qui speravo di poter semplificare qualcosa ... il fatto è cosa ??
mannaggia secondo te fino a qua ho fatto giusto?
grazie
Adesso continui moltiplicando sopra e sotto per $(sqrt(7x+2)+4)$ e ottieni$$
\lim_{x->2} \frac{(10-5x)(\sqrt{7x+2}+4)}{(7x-14)(3+\sqrt{5x-1})}
$$Raccogli un $5$ da sopra e un $7$ da sotto, semplifichi (introducendo un segno $-$) e il limite non è più indeterminato.
\lim_{x->2} \frac{(10-5x)(\sqrt{7x+2}+4)}{(7x-14)(3+\sqrt{5x-1})}
$$Raccogli un $5$ da sopra e un $7$ da sotto, semplifichi (introducendo un segno $-$) e il limite non è più indeterminato.
grazie mille... dovevo farlo anche al denominatore ... ovvio
ma per essere precisi ... quando raccolgo quale delle 2 forme è piu corretta ?
questa:
$\lim_{x->2} \frac{-5(x-2)(\sqrt{7x+2}+4)}{7(x-2)(3+\sqrt{5x-1})}$
oppure questa:
$\lim_{x->2} \frac{[-5(x-2)](\sqrt{7x+2}+4)}{[7(x-2)](3+\sqrt{5x-1})}$
cioe con l'introduzione delle parentesi quadre che indicano che è tutto quello racchiuso in esse che moltiplica la prossima parentesi...
oppure si possono tralasciare?
il dubbio mi è sorto perche se sciogliessi quello che ho appena raccolto uscirebbe qualcosa del tipo:
$a-b*(...)$ che è diverso dal dire $(a-b)*(...)$
grazie
ma per essere precisi ... quando raccolgo quale delle 2 forme è piu corretta ?
questa:
$\lim_{x->2} \frac{-5(x-2)(\sqrt{7x+2}+4)}{7(x-2)(3+\sqrt{5x-1})}$
oppure questa:
$\lim_{x->2} \frac{[-5(x-2)](\sqrt{7x+2}+4)}{[7(x-2)](3+\sqrt{5x-1})}$
cioe con l'introduzione delle parentesi quadre che indicano che è tutto quello racchiuso in esse che moltiplica la prossima parentesi...
oppure si possono tralasciare?
il dubbio mi è sorto perche se sciogliessi quello che ho appena raccolto uscirebbe qualcosa del tipo:
$a-b*(...)$ che è diverso dal dire $(a-b)*(...)$
grazie
In realtà non c'è alcuna differenza, basta capire che si tratta sempre di prodotti. Quindi puoi anche scrivere $(-5)(x-2)$ ma spesso la prima parentesi viene omessa.
Tutto questo ovviamente vale se il segno $-$ è "al primo posto", altrimenti potrebbe confondersi con una sottrazione e diventa obbligatorio l'utilizzo delle parentesi.
Tutto questo ovviamente vale se il segno $-$ è "al primo posto", altrimenti potrebbe confondersi con una sottrazione e diventa obbligatorio l'utilizzo delle parentesi.
ok grazie mille e buono a sapersi
stavo provando a fare questo nuovo limite ... a prima vista mi è sembrato facilissimo ma in realta non è cosi...
te lo mostro
$lim_(x->+oo)[sqrt(x^2+3)+2]/[x+5] =$
$lim [x^2+7]/[(x+5)(sqrt(x^2+3)-2)] =$
$lim [x^2+7]/[(x+5)(xsqrt(1+3/x^2)-2)] =$
qui ho pensato di mettere in evidenza sopra e sotto $x^2$ ottenendo:
$lim [x^2(1+7/x^2)]/[[x^2(1/x+5/x^2)] * [x^2(1/[x] sqrt(1+3/x^2)-2/x^2)]] =$
penso di essermi complicato la vita perche è sbagliato quel che ho fatto perche ottengo sembre forme indeterminate al denominatore ... ma altre soluzioni non ne ho trovate.
o meglio:
penso che il primo passaggio cioe quello di moltiplicare per $sqrt(x^2+3)-2$ al denominatore e numeratore sia corretto ... poi dopo ho fatto qualche errore ma non riesco a capire dove ...
stavo provando a fare questo nuovo limite ... a prima vista mi è sembrato facilissimo ma in realta non è cosi...
te lo mostro
$lim_(x->+oo)[sqrt(x^2+3)+2]/[x+5] =$
$lim [x^2+7]/[(x+5)(sqrt(x^2+3)-2)] =$
$lim [x^2+7]/[(x+5)(xsqrt(1+3/x^2)-2)] =$
qui ho pensato di mettere in evidenza sopra e sotto $x^2$ ottenendo:
$lim [x^2(1+7/x^2)]/[[x^2(1/x+5/x^2)] * [x^2(1/[x] sqrt(1+3/x^2)-2/x^2)]] =$
penso di essermi complicato la vita perche è sbagliato quel che ho fatto perche ottengo sembre forme indeterminate al denominatore ... ma altre soluzioni non ne ho trovate.
o meglio:
penso che il primo passaggio cioe quello di moltiplicare per $sqrt(x^2+3)-2$ al denominatore e numeratore sia corretto ... poi dopo ho fatto qualche errore ma non riesco a capire dove ...
Ciao, qui scegliamo una strada diversa. Per comodità scrivo solo la funzione senza riscrivere $\lim_{x \to +\infty}$ visto che non farò cambi di variabile.$$
\frac{\sqrt{x^2(1+\frac{3}{x^2})}+2}{x+5} = \frac{x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+2}{x+5} = \frac{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}} + \frac{2}{x} \right)}{x(1+\frac{5}{x})}
$$Da qui dovresti saper proseguire.
PS. Quando ho tirato fuori la $x$ dalla radice avrei dovuto mettere il valore assoluto ma non l'ho fatto perchè $x \to +\infty$ quindi sarà sicuramente positiva.
\frac{\sqrt{x^2(1+\frac{3}{x^2})}+2}{x+5} = \frac{x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+2}{x+5} = \frac{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}} + \frac{2}{x} \right)}{x(1+\frac{5}{x})}
$$Da qui dovresti saper proseguire.
PS. Quando ho tirato fuori la $x$ dalla radice avrei dovuto mettere il valore assoluto ma non l'ho fatto perchè $x \to +\infty$ quindi sarà sicuramente positiva.
grazie mille da il punto in cui ti sei fermato faccio il passaggio al limite e ottengo $1$
ma una domanda:
come fai a sapere ogni volta qual'e' la strada migliore da prendere?
mi fregano quasi sempre in questa nuova serie di limiti che sto facendo ...
veramente sempre ... argh
ma una domanda:
come fai a sapere ogni volta qual'e' la strada migliore da prendere?
mi fregano quasi sempre in questa nuova serie di limiti che sto facendo ...
veramente sempre ... argh
"giogiomogio":
grazie mille da il punto in cui ti sei fermato faccio il passaggio al limite e ottengo $1$
ma una domanda:
come fai a sapere ogni volta qual'e' la strada migliore da prendere?
mi fregano quasi sempre in questa nuova serie di limiti che sto facendo ...
veramente sempre ... argh
Il risultato è giusto!
Per quanto riguarda il metodo da utilizzare uno ci fa l'occhio con un po' di esperienza!
Poi a volte si va anche a tentativi, si vede che non si arriva da nessuna parte e si ricomincia...
perche io mi sto allenando parecchio con i limiti ma non ottengo grandissimi risultati
avro fatto sino ad ora una 50ina di esercizi cosi
avro fatto sino ad ora una 50ina di esercizi cosi
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