Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
perfetto grazie
alla fine l ho risolto cosi:
$lim_(x->0) [sin7x]/[tan3x] = lim_(x->0) [sin7x]/[x]*[x]/[tan3x] = lim_(x->0) [sin7x]/[x]*([tan3x]/[x])^-1 = lim_(x->0) 7*3^-1 =7/3$
alla fine l ho risolto cosi:
$lim_(x->0) [sin7x]/[tan3x] = lim_(x->0) [sin7x]/[x]*[x]/[tan3x] = lim_(x->0) [sin7x]/[x]*([tan3x]/[x])^-1 = lim_(x->0) 7*3^-1 =7/3$
ciao a tutti dopo un po di pausa per via del lavoro finalmente ho un po di tempo per continuare con i limiti 
ne ho fatti un po e sono andati bene ma ora sono incappato in questo
nel senso che
$lim_(x->+oo) sin(2x)/(3x)$
questo mi sembra strano ... perche il $sin(2x)$ con $x->+oo$ non è calcolabile... nel senso che la funzione $sinx$ è ciclica .... quindi questo limite come si fa a risolvere ? perche seppur la trasformo algebricamente quel $sin(2x)$ rimarrà sempre indefinito....
quindi è possibile che non sia calcolabile?
grazie infinite
ne ho fatti un po e sono andati bene ma ora sono incappato in questo
nel senso che
$lim_(x->+oo) sin(2x)/(3x)$
questo mi sembra strano ... perche il $sin(2x)$ con $x->+oo$ non è calcolabile... nel senso che la funzione $sinx$ è ciclica .... quindi questo limite come si fa a risolvere ? perche seppur la trasformo algebricamente quel $sin(2x)$ rimarrà sempre indefinito....
quindi è possibile che non sia calcolabile?
grazie infinite
Il numeratore assume solo valori finiti, mentre il denominatore tende ad infinito, quindi la frazione tende a zero.
Puoi anche vederlo così: il denominatore è positivo e $-1<=sin2x<=1$, quindi
$(-1)/(3x)<=(sin2x)/(3x)<=1/(3x)$
Poiché primo ed ultimo membro tendono a zero, per il teorema del confronto lo fa anche la tua funzione.
Puoi anche vederlo così: il denominatore è positivo e $-1<=sin2x<=1$, quindi
$(-1)/(3x)<=(sin2x)/(3x)<=1/(3x)$
Poiché primo ed ultimo membro tendono a zero, per il teorema del confronto lo fa anche la tua funzione.
verissimo, grazie mille ... questa andava proprio ragionata ...è che io mi fisso sulle regole e poi dopo tendo a non pensarci su troppo...
infatti la precedente che era questa:
$lim_(x->0) [x-sin(3x)]/[x-sin(9x)]$
l'ho fatta senza problemi:
$lim_(x->0) [x(1 -sin(3x)/x)]/[x( 1 -sin(9x)/x)] = (-2)/-8 = 1/4$
infatti la precedente che era questa:
$lim_(x->0) [x-sin(3x)]/[x-sin(9x)]$
l'ho fatta senza problemi:
$lim_(x->0) [x(1 -sin(3x)/x)]/[x( 1 -sin(9x)/x)] = (-2)/-8 = 1/4$
Se vuoi, prova a risolvere questo limite, vediamo come ragioni e procedi (non è difficile):
$lim_(x->2)(x^2-4)/(ln(x-1))$
$lim_(x->2)(x^2-4)/(ln(x-1))$
sto pensando al dominio di questa funzione:
$[1 ; +oo[$
è continua.... ma a $x=2$ ha un buco ...
sto pensando a come poterla trasformare algebricamente ...
(il mio punto debole)
devo trovare un modo per come scrivere $ln(x-1)$ in un altro modo
sopra ho $(x+2)(x-2)$ ma sotto sto cercando di riscriverlo in un altro modo
$[1 ; +oo[$
è continua.... ma a $x=2$ ha un buco ...
sto pensando a come poterla trasformare algebricamente ...
(il mio punto debole)
devo trovare un modo per come scrivere $ln(x-1)$ in un altro modo
sopra ho $(x+2)(x-2)$ ma sotto sto cercando di riscriverlo in un altro modo
Piccolissimo hint:
Inoltre una precisazione, il dominio non include $1$.
Inoltre una precisazione, il dominio non include $1$.
conosco questo $ln(1+x)/x = 1$ dove $x->0$
qua pero tende a 2
qua pero tende a 2
Non ti viene in mente nessun modo per ricondurti esattamente a quel limite notevole?
no non mi viene in mente niente ...
volendo lo posso trasformare come dici tu ma nn capisco se $x->2$ come mi riconduco al quel limite notevole se vale per $x->0$
volendo lo posso trasformare come dici tu ma nn capisco se $x->2$ come mi riconduco al quel limite notevole se vale per $x->0$
Se fai una sostituzione che è $x = t+2$, allora dato che $x->2$ segue che $t -> 0$ (perché $t = x-2$). Così ti è più chiaro? Fatto ciò si semplifica la prima frazione $1/1$ e ti resta solo l'altro limite, e quindi il risultato finale è $4$.
ora si grazie
ma era abbastanza aggressivo come limite
cmq grazie
ora sto provando a risolvere questo:
$lim_(x->-1) [sqrt((1-x^2)(x+1))]/[x+1]$
e l'ho svolto in questo modo:
$lim_(x->-1) [sqrt((1-x^2)(x+1))]/[x+1] = lim_(x->-1) [(1-x^2)(x+1)]/(x+1)^2 = lim_(x->-1) [(1-x^2)(x+1)]/[(x+1)(x+1)] = lim_(x->-1) [(1-x^2)]/[x+1] = $
$ = lim_(x->-1)[(x+1)(-x+1)]/[(x+1)*1] = lim_(x->-1)[(-x+1)]/[1] = $
$2$ se $x->-1^+$
$-2$ se $x->-1^-$
quindi il limite non c'è ... perche ho 2 valori differenti ma perche
e ci sono stato dietro 3 ore non ottengo $+-sqrt(2)$ ma ben si $+-2$
ma era abbastanza aggressivo come limite
cmq grazie
ora sto provando a risolvere questo:
$lim_(x->-1) [sqrt((1-x^2)(x+1))]/[x+1]$
e l'ho svolto in questo modo:
$lim_(x->-1) [sqrt((1-x^2)(x+1))]/[x+1] = lim_(x->-1) [(1-x^2)(x+1)]/(x+1)^2 = lim_(x->-1) [(1-x^2)(x+1)]/[(x+1)(x+1)] = lim_(x->-1) [(1-x^2)]/[x+1] = $
$ = lim_(x->-1)[(x+1)(-x+1)]/[(x+1)*1] = lim_(x->-1)[(-x+1)]/[1] = $
$2$ se $x->-1^+$
$-2$ se $x->-1^-$
quindi il limite non c'è ... perche ho 2 valori differenti ma perche
e ci sono stato dietro 3 ore non ottengo $+-sqrt(2)$ ma ben si $+-2$
Questo perché il primo passaggio, dove hai elevato al quadrato numeratore e denominatore della frazione è errato (ricorda che $a/b ne a^2/b^2$ )
(Comunque, quel limite di prima è parte di un limite molto più lungo, non te l'ho proposto tutto altrimenti ci mettevi troppo tempo a capire il procedimento
)
(Comunque, quel limite di prima è parte di un limite molto più lungo, non te l'ho proposto tutto altrimenti ci mettevi troppo tempo a capire il procedimento
)
hai ragione e mi scuso per l'errore colossale,
il limite di prima, cmq, per me non era facile
ad ogni modo ho provato a risolverlo cosi:
$ lim_(x->-1) [sqrt((1-x^2)(x+1))]/[x+1] = lim [sqrt(1-x^2)]/1*[sqrt(x+1)]/[x+1] = lim [sqrt(1-x^2)]/1*[sqrt(x+1)]/[x+1]*[sqrt(x+1)]/[sqrt(x+1)]= $
$= lim [sqrt(1-x^2)]/1*[(x+1)]/[(x+1)*sqrt(x+1)]=lim [sqrt(1-x^2)]/[sqrt(x+1)] =$
divido sopra e sotto per $(x+1)$
$=lim [sqrt((1-x))]/[sqrt(1)]= +-sqrt(2)$
ora puo andare?
thx
il limite di prima, cmq, per me non era facile
ad ogni modo ho provato a risolverlo cosi:
$ lim_(x->-1) [sqrt((1-x^2)(x+1))]/[x+1] = lim [sqrt(1-x^2)]/1*[sqrt(x+1)]/[x+1] = lim [sqrt(1-x^2)]/1*[sqrt(x+1)]/[x+1]*[sqrt(x+1)]/[sqrt(x+1)]= $
$= lim [sqrt(1-x^2)]/1*[(x+1)]/[(x+1)*sqrt(x+1)]=lim [sqrt(1-x^2)]/[sqrt(x+1)] =$
divido sopra e sotto per $(x+1)$
$=lim [sqrt((1-x))]/[sqrt(1)]= +-sqrt(2)$
ora puo andare?
thx
adesso sto provando a risolvere questo
$lim_(x->0^+)=[log_3(1+|sinx|)]/x$
qui in pratica si vede subito che tende a $+oo$ perchè al numeratore avremo sempre valori finiti mentre al denominatore abbiamo $0^+$ di conseguenza ci troviamo sempre con una forma del tipo $a/0^+=+oo$
però vorrei risolverlo algebricamente, e qui non so perche ma ottengo sempre forme indeterminate, ho preso 2 strade totalmente diverse la prima mi ha portato (sfruttando il limite notevole $log_a(x) = -oo$) alla forma indeterminata di $-oo+oo$
la seconda ho sfruttato il limite notevole di $(1+k/x)^x=e^k$ che mi ha portato ancora una volta alla forma indeterminata di $0/0^+$
secondo voi quale strada dovrei prendere a questo punto?
grazie
$lim_(x->0^+)=[log_3(1+|sinx|)]/x$
qui in pratica si vede subito che tende a $+oo$ perchè al numeratore avremo sempre valori finiti mentre al denominatore abbiamo $0^+$ di conseguenza ci troviamo sempre con una forma del tipo $a/0^+=+oo$
però vorrei risolverlo algebricamente, e qui non so perche ma ottengo sempre forme indeterminate, ho preso 2 strade totalmente diverse la prima mi ha portato (sfruttando il limite notevole $log_a(x) = -oo$) alla forma indeterminata di $-oo+oo$
la seconda ho sfruttato il limite notevole di $(1+k/x)^x=e^k$ che mi ha portato ancora una volta alla forma indeterminata di $0/0^+$
secondo voi quale strada dovrei prendere a questo punto?
grazie
Intanto precisiamo: il numeratore tende a $log_3 1=0$, quindi non puoi dire che il risultato è infinito.
Quello che ti serve è $lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=e$ ed i primi passaggi sono
$=lim_(x->0^+)[(sinx)/x*1/sinx*log_3(1+sinx)]=lim_(x->0^+)(sinx)/x*lim_(x->0^+)[log_3(1+sinx)^(1/sinx)]=...$
Quello che ti serve è $lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=e$ ed i primi passaggi sono
$=lim_(x->0^+)[(sinx)/x*1/sinx*log_3(1+sinx)]=lim_(x->0^+)(sinx)/x*lim_(x->0^+)[log_3(1+sinx)^(1/sinx)]=...$
edito quello che ho scritto prima ... provo a risolverlo
$sinx/x$ con $x->0$ dovrebbe fare $1$
quindi avremmo
$1*log_3(e)$
possibile?
$sinx/x$ con $x->0$ dovrebbe fare $1$
quindi avremmo
$1*log_3(e)$
possibile?
Sì, è così. Lo puoi scrivere meglio portando a base $e$; diventa $1/ln3$.
"giammaria":
Sì, è così. Lo puoi scrivere meglio portando a base $e$; diventa $1/ln3$.
ok grazie ma se disegno il grafico ... avvicinandomi a $0^-$ a cosa dovrebbe tendere $x$ ?
in piu volevo anche chiederti:
l'avrei potuto risolvere anche attraverso questo limite notevole vero?:
$lim_(x->0)[log_a(1+x)]/[x] = 1/ln_(a)$
Ti sbagli, sul grafico risulta effettivamente che il limite è pari a $1/ln(3)$:
[asvg]width=100;
height=100;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("log(1+abs(sin(x)))/(x*log(3))");[/asvg]
Comunque sì in teoria puoi usare anche quel limite notevole, ma fai attenzione, perché se l'esercizio fosse leggermente diverso, ovvero $x->0^-$ il limite diventa $-1/ln(3)$...
(inoltre si può facilmente concludere che il limite per $x->0$ non è definito in questo caso)
[asvg]width=100;
height=100;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("log(1+abs(sin(x)))/(x*log(3))");[/asvg]
Comunque sì in teoria puoi usare anche quel limite notevole, ma fai attenzione, perché se l'esercizio fosse leggermente diverso, ovvero $x->0^-$ il limite diventa $-1/ln(3)$...
(inoltre si può facilmente concludere che il limite per $x->0$ non è definito in questo caso)
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