Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
infatti poi mi chiede per $0^-$
ma non capisco dov'e' il punto (nella risoluzione precedente) dove effettivamente mi viene a cambiare il segno.
perche $sinx/x$ rimane a $1$ mentre $log_3(e)$ anche lui non cambia segno...
aspetta forse ho capito il segno cambia proprio qui $sinx/x$ in quanto in realtà è $|sinx|/x$
possibile?
ma non capisco dov'e' il punto (nella risoluzione precedente) dove effettivamente mi viene a cambiare il segno.
perche $sinx/x$ rimane a $1$ mentre $log_3(e)$ anche lui non cambia segno...
aspetta forse ho capito il segno cambia proprio qui $sinx/x$ in quanto in realtà è $|sinx|/x$
possibile?
No, è semplicemente la x al denominatore che fa cambiare di segno. Pensa per esempio a $lim_(x->0^-)1/x$.
si ma scusami se avessimo una situazione del genere $sin(-0.0001)/-0.0001$
risultato: $1$
se invece abbiamo $|sin(-0.0001)|/-0.0001 $
risultato: $-1$
numeratore positivo
denominatore negativo
quindi meno
nel caso di prima erano entrambi negativi
quindi positivo
risultato: $1$
se invece abbiamo $|sin(-0.0001)|/-0.0001 $
risultato: $-1$
numeratore positivo
denominatore negativo
quindi meno
nel caso di prima erano entrambi negativi
quindi positivo
"Pianoth":
No, è semplicemente la x al denominatore che fa cambiare di segno. Pensa per esempio a $lim_(x->0^-)1/x$.
infatti io cosa ho detto?
ciao a tutti
sto continuando con i limiti prima di iniziare con le derivate.
stavo provando a risolvere questo:
$lim_(x->0^+) (log_7(sin3x) - log_7 sqrt(x))$
ho provato a risolverlo cosi:
$lim_(x->0^+) (log_7(sin3x) - log_7 sqrt(x)) = lim_(x->0^+) (log_7(sin3x)/ sqrt(x)) = lim_(x->0^+) (log_7 (sin3x)/x * x/sqrt(x)) $
e qui non so continuare ...
nel primo termine ho un limite notevole che mi darebbe $3$ ma il problema è quell $x/sqrt(x)$ che non riesco a togliermi di torno...
qualche consiglio?
grazie
sto continuando con i limiti prima di iniziare con le derivate.
stavo provando a risolvere questo:
$lim_(x->0^+) (log_7(sin3x) - log_7 sqrt(x))$
ho provato a risolverlo cosi:
$lim_(x->0^+) (log_7(sin3x) - log_7 sqrt(x)) = lim_(x->0^+) (log_7(sin3x)/ sqrt(x)) = lim_(x->0^+) (log_7 (sin3x)/x * x/sqrt(x)) $
e qui non so continuare ...
nel primo termine ho un limite notevole che mi darebbe $3$ ma il problema è quell $x/sqrt(x)$ che non riesco a togliermi di torno...
qualche consiglio?
grazie
Innanzitutto devi mettere meglio le parentesi: ti trovi a dover calcolare $$
\lim_{x \to 0^{+}} \left[ \log_7 \left(\frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x}}
\right)\right]
$$ A questo punto puoi pensare che $$ x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$$ quindi $$\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$$ Riesci a concludere da qui?
\lim_{x \to 0^{+}} \left[ \log_7 \left(\frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x}}
\right)\right]
$$ A questo punto puoi pensare che $$ x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$$ quindi $$\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$$ Riesci a concludere da qui?
ci provo 
$lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x)/x * x/sqrt(x))] = lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x)/x * sqrt(x))] = lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x) * sqrt(x)/x)] = $
$=lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x) * 1/sqrt(x))] = +oo$
cosa ne pensi?
$lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x)/x * x/sqrt(x))] = lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x)/x * sqrt(x))] = lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x) * sqrt(x)/x)] = $
$=lim_(x->0^+) [(log_7 (sin3x) * 1/sqrt(x))] = +oo$
cosa ne pensi?
In realtà è più semplice. Quando arrivi a $$
\lim_{x \to 0^{+}} \left[\log_7 \left( \frac{\sin 3x}{x} \cdot \sqrt{x}
\right)\right]
$$ puoi dire che l'argomento del logaritmo tende a $3 * 0 = 0$ e quindi il logaritmo tende a $-oo$.
\lim_{x \to 0^{+}} \left[\log_7 \left( \frac{\sin 3x}{x} \cdot \sqrt{x}
\right)\right]
$$ puoi dire che l'argomento del logaritmo tende a $3 * 0 = 0$ e quindi il logaritmo tende a $-oo$.
hai ragione mi sono confuso con la forma indeterminata,
pensavo che $sin(3x)/x*sqrt(x) = 3*0^+ $
quindi $log_7(0^+)$ fosse impossibile da fare.... e invece no, no se stiamo parlando di limiti... infatti la funzione tende a $-oo$ avvicinandoci da $0^+$
pensavo che $sin(3x)/x*sqrt(x) = 3*0^+ $
quindi $log_7(0^+)$ fosse impossibile da fare.... e invece no, no se stiamo parlando di limiti... infatti la funzione tende a $-oo$ avvicinandoci da $0^+$
Giusto! 
ottimo 
prima di andare a letto ne faccio subito un altra:
$lim_(x->-pi) [cosx+1]/[sinx] = lim_(x->-pi) 1/tanx + [1]/[sinx] = ...$
avendo $x->-pi$ non posso sfruttare nessun limite notevole (almeno per le mie conoscenze di base)
quindi posso solo lavorare con delle manipolazioni algebrica... l'unica a cui mi sono condotto è quella che ho scritto qualche riga sopra.
il fatto e' che mi porta alla forma indeterminata di $+oo -oo$ oppure a $-oo+oo$ dipende da dove mi avvicino...
eppure non c'è molto altro da fare ...
prima di andare a letto ne faccio subito un altra:
$lim_(x->-pi) [cosx+1]/[sinx] = lim_(x->-pi) 1/tanx + [1]/[sinx] = ...$
avendo $x->-pi$ non posso sfruttare nessun limite notevole (almeno per le mie conoscenze di base)
quindi posso solo lavorare con delle manipolazioni algebrica... l'unica a cui mi sono condotto è quella che ho scritto qualche riga sopra.
il fatto e' che mi porta alla forma indeterminata di $+oo -oo$ oppure a $-oo+oo$ dipende da dove mi avvicino...
eppure non c'è molto altro da fare ...
La prima cosa che verrebbe in mente a me è di fare una sostituzione, ma così a occhio mi sembra che complichi le cose... Una cosa che sicuro funziona invece è usare il noto prodotto notevole $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ da cui ottieni $(a+b) = (a^2-b^2)/(a-b)$...
Quindi, se $a = cos(x)$ e $b = 1$...
Quindi, se $a = cos(x)$ e $b = 1$...
Primo metodo
$=lim_(x->-pi)(1+cosx)/(senx)*(1-cosx)/(1-cosx)=lim_(x->-pi)(1-cos^2x)/(senx*(1-cosx))=$
$=lim_(x->-pi)(sen^2x)/(senx*(1-cosx))=lim_(x->-pi)(senx)/(1-cosx)=...$
Secondo metodo
Fai un cambiamento di variabile in modo che quella nuova tenda a zero, cioè $x=u-pi$. Ottieni
$=lim_(u->0)(1+cos(u-pi))/(sen(u-pi))=lim_(u->0)(1-cosu)/(-sen u)=...$
$=lim_(x->-pi)(1+cosx)/(senx)*(1-cosx)/(1-cosx)=lim_(x->-pi)(1-cos^2x)/(senx*(1-cosx))=$
$=lim_(x->-pi)(sen^2x)/(senx*(1-cosx))=lim_(x->-pi)(senx)/(1-cosx)=...$
Secondo metodo
Fai un cambiamento di variabile in modo che quella nuova tenda a zero, cioè $x=u-pi$. Ottieni
$=lim_(u->0)(1+cos(u-pi))/(sen(u-pi))=lim_(u->0)(1-cosu)/(-sen u)=...$
grazie mille
Continuo ancora con un po di limiti mediante le regole di de L’Hôpital
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x^2-1}_{[\frac{0}{0}]}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2x}=
\frac{\frac{\sqrt{x+1}}{2x+2}}{2x}=\frac{\sqrt{x+1}}{4x^2+4x}=\frac{\sqrt{2}}{8}$
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x^2-1}_{[\frac{0}{0}]}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2x}=
\frac{\frac{\sqrt{x+1}}{2x+2}}{2x}=\frac{\sqrt{x+1}}{4x^2+4x}=\frac{\sqrt{2}}{8}$
Sì è corretto. In realtà potevi fermarti anche prima: $$
\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2x} = \frac{1}{4\sqrt{x+1}} \to \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}
$$
\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2x} = \frac{1}{4\sqrt{x+1}} \to \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}
$$
O anche
$lim_(x ->1)(sqrt(x+1)-sqrt(2))/(x^2-1)=lim_(x ->1)((sqrt(x+1)-sqrt(2))/(x^2-1)*(sqrt(x+1)+sqrt(2))/(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=$
$lim_(x ->1)(x+1-2)/((x^2-1)(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=lim_(x ->1)(x-1)/((x-1)(x+1)(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=lim_(x ->1)1/((x+1)(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=$
$1/((1+1)(sqrt(1+1)+sqrt(2)))=1/(2*2sqrt(2))=sqrt(2)/8$
$lim_(x ->1)(sqrt(x+1)-sqrt(2))/(x^2-1)=lim_(x ->1)((sqrt(x+1)-sqrt(2))/(x^2-1)*(sqrt(x+1)+sqrt(2))/(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=$
$lim_(x ->1)(x+1-2)/((x^2-1)(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=lim_(x ->1)(x-1)/((x-1)(x+1)(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=lim_(x ->1)1/((x+1)(sqrt(x+1)+sqrt(2)))=$
$1/((1+1)(sqrt(1+1)+sqrt(2)))=1/(2*2sqrt(2))=sqrt(2)/8$
@chiarotta
grazie per il tuo intervento;
questo metodo si funziona perfettamente, ma l'avevo gia utilizzato nelle pagine precedenti senza usare appunto le regole de L’Hôpital.
si nota chiaramente quanto si risparmi tempo
grazie per il tuo intervento;
questo metodo si funziona perfettamente, ma l'avevo gia utilizzato nelle pagine precedenti senza usare appunto le regole de L’Hôpital.
si nota chiaramente quanto si risparmi tempo
eccone un altro:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\ln(1+x)}_{[\frac{0}{0}]}=\frac{\cos x}{\frac{1}{1+x}}=\cos x +x\cos x=
\cos x(1+x)=1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\ln(1+x)}_{[\frac{0}{0}]}=\frac{\cos x}{\frac{1}{1+x}}=\cos x +x\cos x=
\cos x(1+x)=1$
Tutto corretto.
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