Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
a proposito di valore assoluto ne ho trovata una a pennello che è identica all altra dove pero $x->-oo$
$lim_(x->-oo) [sqrt(x^2+3)+2]/[x+5] = $
$lim_(x->-oo) [|x|(sqrt(1+3/x^2)+2/x)]/[x(1+5/x)] = -1$
qui il valore di $x$ al nominatore sarà sicuramente positivo mentre quello al denominatore sicuramente negativo...
per tanto nella semplificazione mi dovrò portare dietro il segno meno quindi il risultato sarà $-1$
$lim_(x->-oo) [sqrt(x^2+3)+2]/[x+5] = $
$lim_(x->-oo) [|x|(sqrt(1+3/x^2)+2/x)]/[x(1+5/x)] = -1$
qui il valore di $x$ al nominatore sarà sicuramente positivo mentre quello al denominatore sicuramente negativo...
per tanto nella semplificazione mi dovrò portare dietro il segno meno quindi il risultato sarà $-1$
Il risultato è corretto, comunque puoi sostituire $|x|$ con $-x$, infatti la definizione di valore assoluto è$$
|x| = \begin{cases}
x, & x \ge 0\\
-x, & x < 0
\end{cases}
$$e qui saremo certamente nel secondo caso, visto che $x \to -\infty$.
|x| = \begin{cases}
x, & x \ge 0\\
-x, & x < 0
\end{cases}
$$e qui saremo certamente nel secondo caso, visto che $x \to -\infty$.
eh si pensandoci se fosse $x=-3$ il valore assoluto di $x$ è $3$
infatti quel meno davanti ad $x$ porterebbe per tutte le $x$ negative il segno positivo.
tipo:
$x=-3->|x|=3->-x=3->-(-3)=3$
infatti quel meno davanti ad $x$ porterebbe per tutte le $x$ negative il segno positivo.
tipo:
$x=-3->|x|=3->-x=3->-(-3)=3$
adesso sono iniziate quelle trigonometriche ...
la primissima è:
$lim_(x->0) [sin(7x)]/[tan(3x)]$
la prima cosa che ho notato è stata quella di arrivare ad una forma indeterimanta ossia $[0,0]$ se sostituisco con $0$
quindi ho provato a portarmi in una forma determinata ma non vedo che si puo fare molto ... forse l'unica cosa è questa:
$lim_(x->0) [sin(7x)]/[tan(3x)] = lim_(x->0) [sin(7x)]/[sin(3x)/cos(3x)] = lim_(x->0) [sin(7x)*cos(3x)]/[sin(3x)] $
ma poi non posso piu fare molto ...
la primissima è:
$lim_(x->0) [sin(7x)]/[tan(3x)]$
la prima cosa che ho notato è stata quella di arrivare ad una forma indeterimanta ossia $[0,0]$ se sostituisco con $0$
quindi ho provato a portarmi in una forma determinata ma non vedo che si puo fare molto ... forse l'unica cosa è questa:
$lim_(x->0) [sin(7x)]/[tan(3x)] = lim_(x->0) [sin(7x)]/[sin(3x)/cos(3x)] = lim_(x->0) [sin(7x)*cos(3x)]/[sin(3x)] $
ma poi non posso piu fare molto ...
Limiti notevoli... prova a moltiplicare e dividere prima per $7x$ e poi per $3x$ 
Oppure anche solo moltiplicare e dividere per $x$ che è anche più facile.
Oppure anche solo moltiplicare e dividere per $x$ che è anche più facile.
forse il limite notevole di cui ti riferisci è questo ?
$(n*sin(1/n)) = 1$ ?
perche io sono riuscito a scriverla cosi
$lim_(x->0) [1/(7x)*sin(1/(1/(7x)))]/[1/(7x)*tan(3x)]$
quindi al numeratore dovrebbe fare 1 no ???
$(n*sin(1/n)) = 1$ ?
perche io sono riuscito a scriverla cosi
$lim_(x->0) [1/(7x)*sin(1/(1/(7x)))]/[1/(7x)*tan(3x)]$
quindi al numeratore dovrebbe fare 1 no ???
"minomic":
Oppure anche solo moltiplicare e dividere per $x$ che è anche più facile.
non ti seguo ... in che senso moltiplicare e dividere per $x$ ?
"giogiomogio":
ok grazie mille e buono a sapersi
stavo provando a fare questo nuovo limite ... a prima vista mi è sembrato facilissimo ma in realta non è cosi...
te lo mostro
$lim_(x->+oo)[sqrt(x^2+3)+2]/[x+5] =$
$lim [x^2+7]/[(x+5)(sqrt(x^2+3)-2)] =$
$lim [x^2+7]/[(x+5)(xsqrt(1+3/x^2)-2)] =$
qui ho pensato di mettere in evidenza sopra e sotto $x^2$ ottenendo:
$lim [x^2(1+7/x^2)]/[[x^2(1/x+5/x^2)] * [x^2(1/[x] sqrt(1+3/x^2)-2/x^2)]] =$
penso di essermi complicato la vita perche è sbagliato quel che ho fatto perche ottengo sembre forme indeterminate al denominatore ... ma altre soluzioni non ne ho trovate.
o meglio:
penso che il primo passaggio cioe quello di moltiplicare per $sqrt(x^2+3)-2$ al denominatore e numeratore sia corretto ... poi dopo ho fatto qualche errore ma non riesco a capire dove ...
Per essere precisi $lim_(x->+oo)(sqrt(x^2+3)+2)/(x+5)$ razionalizzando non diventa $lim_(x->+oo)(x^2+7)/((x+5)(sqrt(x^2+3)-2))$ ma $lim_(x->+oo)(x^2-1)/((x+5)(sqrt(x^2+3)-2))$
Quello che intendevo era scrivere$$
\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 7x}{x} \cdot \frac{x}{\tan 3x}\right)
$$A questo punto, per i limiti notevoli la prima frazione tende a $7$ mentre la seconda tende a $1/3$ quindi il risultato è $7/3$.
Altrimenti potevi scrivere$$
\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 7x}{7x}\cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{7x}{3x}\right)
$$Ora, per i limiti notevoli, la prima frazione tende a $1$, la seconda tende a $1$ mentre la terza è ovviamente $7/3$, quindi il risultato è ancora $7/3$.
\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 7x}{x} \cdot \frac{x}{\tan 3x}\right)
$$A questo punto, per i limiti notevoli la prima frazione tende a $7$ mentre la seconda tende a $1/3$ quindi il risultato è $7/3$.
Altrimenti potevi scrivere$$
\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 7x}{7x}\cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{7x}{3x}\right)
$$Ora, per i limiti notevoli, la prima frazione tende a $1$, la seconda tende a $1$ mentre la terza è ovviamente $7/3$, quindi il risultato è ancora $7/3$.
grazie per la risposta,
il problema è che non so di quali limiti notevoli ti stai riferendo ...
sembrerebbe che semplfichi tirando via la $x$ e il $sin$ e nell'altra la $x$ e la $tan$
mi diresti di quali limite notevole ti stai riferendo?
grazie mille
il problema è che non so di quali limiti notevoli ti stai riferendo ...
sembrerebbe che semplfichi tirando via la $x$ e il $sin$ e nell'altra la $x$ e la $tan$
mi diresti di quali limite notevole ti stai riferendo?
grazie mille
I limiti sono:
$lim_(x->0)sinx/x=1$
$lim_(x->0)tanx/x=1$
Sono due tra i tanti limiti notevoli che si studiano alle suole superiori.
$lim_(x->0)sinx/x=1$
$lim_(x->0)tanx/x=1$
Sono due tra i tanti limiti notevoli che si studiano alle suole superiori.
"anonymous_c5d2a1":
I limiti sono:
$lim_(x->0)sinx/x=1$
$lim_(x->0)tanx/x=1$
Sono due tra i tanti limiti notevoli che si studiano alle suole superiori.
Esatto, ed è da notare che valgono anche i reciproci, ad esempio$$
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1.
$$
Aggiungo un link dove puoi trovare tutti i principali limiti notevoli: http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevole
grazie mille ragazzi
ma c'è solo una cosa che non mi torna...
perche
$lim_(x->0) (sin7x)/x = 7$
se
$lim_(x->0) sinx/x =1$ ?
è sbagliato scriverlo cosi in questo modo:
$lim_(x->0) (sinkx)/x =k$ ?
dove se $k=1$ posso tralasciarlo e quindi rimane solo $sinx/x = 1$ e infatti $k=1$ solo che non si vede
ma c'è solo una cosa che non mi torna...
perche
$lim_(x->0) (sin7x)/x = 7$
se
$lim_(x->0) sinx/x =1$ ?
è sbagliato scriverlo cosi in questo modo:
$lim_(x->0) (sinkx)/x =k$ ?
dove se $k=1$ posso tralasciarlo e quindi rimane solo $sinx/x = 1$ e infatti $k=1$ solo che non si vede
Ciao, a quel link di wikipedia che ti ho dato prima c'è la dimostrazione comunque te la riporto brevemente:$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx}
$$Con un cambio di variabile $y = kx$ ottieni subito che il limite fa $1$, quindi il risultato finale è $k\cdot 1 = k$.
\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx}
$$Con un cambio di variabile $y = kx$ ottieni subito che il limite fa $1$, quindi il risultato finale è $k\cdot 1 = k$.
pefetto quindi nel caso di prima avevo:
$lim_(x->0) (sin7x)/x = 7*lim_(x->0) (sinx)/x = 7*1$
questa cosa non la sapevo proprio e ancora non me l'hanno spiegata... grazie mille per il link,
gia stampato e appiccicato sul muro
$lim_(x->0) (sin7x)/x = 7*lim_(x->0) (sinx)/x = 7*1$
questa cosa non la sapevo proprio e ancora non me l'hanno spiegata... grazie mille per il link,
gia stampato e appiccicato sul muro
"giogiomogio":
pefetto quindi nel caso di prima avevo:
$lim_(x->0) (sin7x)/x = 7*lim_(x->0) (sinx)/x = 7*1$
questa cosa non la sapevo proprio e ancora non me l'hanno spiegata... grazie mille per il link,
gia stampato e appiccicato sul muro
Attenzione perchè scrivere così è errato! Quel $7$ non può uscire dalla funzione seno.
O scrivi direttamente che il limite fa $7$ per il limite notevole $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k$$ oppure scrivi$$
7\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} = 7\cdot 1 = 7
$$
In realtà se vuoi essere preciso consideri $lim_(x->0)(sin7x)/(7x)7=7$
Infatti puoi collegarti al $lim_(f(x)->0)(sinf(x))/f(x)=1$
Infatti puoi collegarti al $lim_(f(x)->0)(sinf(x))/f(x)=1$
ok grazie
ma
$lim_(x->0) (sin7x)/(7x) = 1$
perche la $x$ sul $sin$ e quella al denominatore sono uguali giusto?
nel senso che
se:
$lim_(x->0) (sinx)/x = 1$
allora
$lim_(x->0) (sinn)/n = 1$
in questo caso $n=7x$ al numeratore
e $n=7x$ al denominatore
quindi la $n$ sopra e sotto è uguale
e di conseguenza fa $1$
poi fuori dal limite c'è il $7$ che moltiplica per $1$
posso anche vederlo cosi?
ma
$lim_(x->0) (sin7x)/(7x) = 1$
perche la $x$ sul $sin$ e quella al denominatore sono uguali giusto?
nel senso che
se:
$lim_(x->0) (sinx)/x = 1$
allora
$lim_(x->0) (sinn)/n = 1$
in questo caso $n=7x$ al numeratore
e $n=7x$ al denominatore
quindi la $n$ sopra e sotto è uguale
e di conseguenza fa $1$
poi fuori dal limite c'è il $7$ che moltiplica per $1$
posso anche vederlo cosi?
Sì esatto, l'importante è che quello che c'è sopra sia uguale a quello che c'è sotto e che tenda a zero.
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