Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
1
Quando dici che sbaglio come l'ho scritto ti posso dare ragione solo in parte...
avrei dovuto scrivere
$ln(a) = ...$
in questo modo ottengo
$ln(a)=0$
$a=1$
2 minuti e metto tutti i passaggi
Quando dici che sbaglio come l'ho scritto ti posso dare ragione solo in parte...
avrei dovuto scrivere
$ln(a) = ...$
in questo modo ottengo
$ln(a)=0$
$a=1$
2 minuti e metto tutti i passaggi
Ok, allora stiamo dicendo la stessa cosa. Il limite iniziale di $f(x)^g(x)$ tende a 1 in quanto l'esponente di $e^(g(x)lnf(x))$ tende a 0.
Se non ho sbagliato i conti hai dimenticato un ininfluente segno meno nel numeratore della derivata seconda.
Io ho solo "contestato" il fatto che dalla tua spiegazione ho inteso che per te $(1-cosx)^sinx=sinxln(1-cosx)$, ma non è così in quanto manca l'esponenziale. Tutto qua, se per te è chiaro così siamo tutti felici
Se non ho sbagliato i conti hai dimenticato un ininfluente segno meno nel numeratore della derivata seconda.
Io ho solo "contestato" il fatto che dalla tua spiegazione ho inteso che per te $(1-cosx)^sinx=sinxln(1-cosx)$, ma non è così in quanto manca l'esponenziale. Tutto qua, se per te è chiaro così siamo tutti felici
guarda brum,
se mi puoi dare un occhio a quanto scritto e sei d'accordo con me sono ancora piu felice
$A = \lim_{x \to 0} (1 - \cos x)^{\sin x}$
$ln(A) = lim_(x->0) \frac{\ln(1-\cos x)}{\frac{1}{\sin x}}_{[\frac{0}{0}]}= \lim_{x \to 0} -\frac{\frac{\sin x}{1 - \cos x}}{\frac{\cos x}{\sin^2 x}}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{(1-\cos x)\cdot(\cos x)}_{[\frac{0}{0}]}=$
$=\lim_{x \to 0} \frac{(3\sin^2 x)\cdot (\cos x)}{(\sin x)\cdot(2\cos x -1)}=\lim_{x \to 0} \frac{3\sin x \cdot \cos x}{2\cos x -1}=\frac{0}{1}=0$
quindi
$ln(A)=0$
$A=e^0=1$
dove $A$ è, ovviamente, il risultato
se mi puoi dare un occhio a quanto scritto e sei d'accordo con me sono ancora piu felice
$A = \lim_{x \to 0} (1 - \cos x)^{\sin x}$
$ln(A) = lim_(x->0) \frac{\ln(1-\cos x)}{\frac{1}{\sin x}}_{[\frac{0}{0}]}= \lim_{x \to 0} -\frac{\frac{\sin x}{1 - \cos x}}{\frac{\cos x}{\sin^2 x}}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 x}{(1-\cos x)\cdot(\cos x)}_{[\frac{0}{0}]}=$
$=\lim_{x \to 0} \frac{(3\sin^2 x)\cdot (\cos x)}{(\sin x)\cdot(2\cos x -1)}=\lim_{x \to 0} \frac{3\sin x \cdot \cos x}{2\cos x -1}=\frac{0}{1}=0$
quindi
$ln(A)=0$
$A=e^0=1$
dove $A$ è, ovviamente, il risultato
Lasciando ad altri la sostanza, faccio due piccole critiche sulla forma.
- $sinx^3$ significa $sin(x^3)$, mentre tu intendevi $(sinx)^3$. Puoi evitare la parentesi scrivendo $sin^3x$;
- la scritta $lim_(x->0)$ va ripetuta in ogni passaggio. Nel forum puoi risparmiare un po' di tempo scrivendola veramente solo la prima volta e poi copiandola ovunque alla fine.
- $sinx^3$ significa $sin(x^3)$, mentre tu intendevi $(sinx)^3$. Puoi evitare la parentesi scrivendo $sin^3x$;
- la scritta $lim_(x->0)$ va ripetuta in ogni passaggio. Nel forum puoi risparmiare un po' di tempo scrivendola veramente solo la prima volta e poi copiandola ovunque alla fine.
Guarda, io non mi trovo molto a mio agio con il tuo metodo, mi sembra poco chiaro! Peró parlo per me, ma l'esercizio è tuo! 
"giammaria":
Lasciando ad altri la sostanza, faccio due piccole critiche sulla forma.
ho sistemato grazie mille.
"burm87":
Guarda, io non mi trovo molto a mio agio con il tuo metodo, mi sembra poco chiaro! Peró parlo per me, ma l'esercizio è tuo!
Certo figurati ... il mondo è bello perchè e vario, ma da quel che ti posso dire a me hanno insegnato cosi ...
sto provando a fare questo limite
$lim_(x->pi/2) (tan(x/2))^tanx$
la prima cosa che faccio è quello di manipolarlo per portarlo in una forma utilizzabile con de hopitale ossia:
$lim_(x->pi/2) [ln(tan(x/2))]/[(tanx)^-1] = ln(A)$
OSS: io cerco $A$ la mia docente mi ha mostrato questo metodo purtroppo non ne conosco altri quindi vorrei continuare ad usare questo.
a questo punto derivo e ottengo:
OSS 2: per la derivata di $tanx$ ho scelto questa forma: $1/(cos^2x)$
$[[1]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)]]/[-[1]/[tan^2(x)*cos^2(x)]]$
che posso anche scrivere come:
$-[tan^2(x)*cos^2(x)]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)]$
e qui iniziano le magagne:
al numeratore ottengo $oo*0$
al denominatore ottengo $1$
allora torno alla forma precedente ossia:
$[[1]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)]]/[[1]/[tan^2(x)*cos^2(x)]]$
pero anche qui otterrei: $[[1]/[1]]/[[1]/[0*oo]]$
quindi $tan^2(x)*cos^2(x)$ lo giro e lo trasofrmo in $[tan^2(x)]/[1/[cos^2(x)]]$
a questo punto se faccio il passaggio al limite di tutto ottengo: $0$
quindi $ln(A) = 0$
$A = e^0 = 1$
ma è sbagliato...
non so proprio dove sbaglio o cosa non va ... perche i calcoli mi sembrano giusti
potete darmi una dritta?
grazie
$lim_(x->pi/2) (tan(x/2))^tanx$
la prima cosa che faccio è quello di manipolarlo per portarlo in una forma utilizzabile con de hopitale ossia:
$lim_(x->pi/2) [ln(tan(x/2))]/[(tanx)^-1] = ln(A)$
OSS: io cerco $A$ la mia docente mi ha mostrato questo metodo purtroppo non ne conosco altri quindi vorrei continuare ad usare questo.
a questo punto derivo e ottengo:
OSS 2: per la derivata di $tanx$ ho scelto questa forma: $1/(cos^2x)$
$[[1]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)]]/[-[1]/[tan^2(x)*cos^2(x)]]$
che posso anche scrivere come:
$-[tan^2(x)*cos^2(x)]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)]$
e qui iniziano le magagne:
al numeratore ottengo $oo*0$
al denominatore ottengo $1$
allora torno alla forma precedente ossia:
$[[1]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)]]/[[1]/[tan^2(x)*cos^2(x)]]$
pero anche qui otterrei: $[[1]/[1]]/[[1]/[0*oo]]$
quindi $tan^2(x)*cos^2(x)$ lo giro e lo trasofrmo in $[tan^2(x)]/[1/[cos^2(x)]]$
a questo punto se faccio il passaggio al limite di tutto ottengo: $0$
quindi $ln(A) = 0$
$A = e^0 = 1$
ma è sbagliato...
non so proprio dove sbaglio o cosa non va ... perche i calcoli mi sembrano giusti
potete darmi una dritta?
grazie
"giogiomogio":
che posso anche scrivere come:
$ [tan^2(x)*cos^2(x)]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)] $
e qui iniziano le magagne:
al numeratore ottengo $ oo*0 $
al denominatore ottengo $ 1 $
Non ho letto tutto bene, ma credo che basti:
$tan^2x * cos^2x=(sin^2x)/(cos^2x)*cos^2x=sin^2x$ che per $x->pi/2$ tende a 1
grazie per il prezioso aiuto quindi
$[tan^2(x)*cos^2(x)]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)] =[sin^2(x)]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)$
pero ora ottengo
al numeratore $1$
al denominatore $1$
quindi $1$
quindi
$ln(A) = 1$
$A = e^1 = e$
ma non e' corretto dovrebbe uscirmi $1/e$
edito
ho capito l'errore avevo dimenticato il $-$ che avevo portato fuori dalla frazione
quindi esce $ln(A) = -1$
$A=e^-1=1/e$
$[tan^2(x)*cos^2(x)]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)] =[sin^2(x)]/[2tan(x/2)*cos^2(x/2)$
pero ora ottengo
al numeratore $1$
al denominatore $1$
quindi $1$
quindi
$ln(A) = 1$
$A = e^1 = e$
ma non e' corretto dovrebbe uscirmi $1/e$
edito
ho capito l'errore avevo dimenticato il $-$ che avevo portato fuori dalla frazione
quindi esce $ln(A) = -1$
$A=e^-1=1/e$
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