Limiti
Salve ragazzi, tutto bene?
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
ho iniziato da poco a fare i limiti e mi son messo subito sotto con qualche esercizio ... ve ne metto una a caso di quelle che ho svolto cosi almeno potreste dirmi se il risultato e i procedimenti sono corretti. in tal caso avrei una domanda da farvi che mi viene costantemente in quasi tutti gli esercizi di questo tipo che sto facendo. ma prima vorrei assicurarmi se il ragionamento e il risultato è corretto.
$lim_(n -> +oo ) $ $(n-sqrt(n^2-4n))$
procedo con i passaggi che ho fatto:
$rArr$ $(n-sqrt(n^2-4n))*[n+sqrt(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[n^2-(n^2-4n)]/[n+sqrt(n^2-4n)]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2(1-[4]/[n])]$ $rArr$
$rArr$ $[4n]/[n+sqrt(n^2)]$ $rArr$ $[4n]/[n+n]$ $rArr$ $2$
Secondo voi i passaggi ed il risultato è corretto ? (magari ci sono modi piu veloci) ma leggendo la teoria) sono arrivato a queste conclusioni. Se in caso ho fatto tutto correttamente poi avrei una domanda che mi sorge spessisimo nel risolvere questi esercizi.
Grazie mille
ciao
Risposte
salve a tutti sto provando a risolvere questo:
$lim_(n->+oo)(sqrt(n^2+n) - sqrt(n^2-1))$
la prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di immaginare:
$sqrt(n^2+n)=a$
$sqrt(n^2-1)=b$
in questo modo posso dire che il limite a la seguente struttura:
$(a-b)$
di conseguenza per levarmi di torno le radici al nominatore (le radici di $a$ e di $b$)
potrei fare $(a-b)*(a+b)$ in modo da ottenere $a^2-b^2$
procedo con quello che ho appena detto:
$lim_(n->+oo)$$(sqrt(n^2+n) - sqrt(n^2-1))*[(sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1))]/[(sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1))]$
e ottengo
$lim_(n->+oo)$ $[(n^2+n) - (n^2-1)]/[sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1)]$
quindi
$lim_(n->+oo)$ $[n+1]/[sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1)]$
di conseguenza
$lim_(n->+oo)$ $[n+1]/[sqrt(n^2(1+[1]/[n]))+sqrt(n^2(1-[1]/[n^2]))]$
procedendo:
$lim_(n->+oo)$ $[n+1]/[sqrt(n^2(1+[1]/[n]))+sqrt(n^2(1-[1]/[n^2]))]$
procedendo:
$lim_(n->+oo)$ $[n*(1+[1]/[n])]/[n*sqrt((1+[1]/[n]))+n*sqrt((1-[1]/[n^2]))]$
con il passaggio al limite ottengo
$lim_(n->+oo)$ $[n*(1+[1]/[n])]/[n*sqrt((1+[1]/[n]))+n*sqrt((1-[1]/[n^2]))]=[1]/[2]$
che ve ne pare?
Grazie
$lim_(n->+oo)(sqrt(n^2+n) - sqrt(n^2-1))$
la prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di immaginare:
$sqrt(n^2+n)=a$
$sqrt(n^2-1)=b$
in questo modo posso dire che il limite a la seguente struttura:
$(a-b)$
di conseguenza per levarmi di torno le radici al nominatore (le radici di $a$ e di $b$)
potrei fare $(a-b)*(a+b)$ in modo da ottenere $a^2-b^2$
procedo con quello che ho appena detto:
$lim_(n->+oo)$$(sqrt(n^2+n) - sqrt(n^2-1))*[(sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1))]/[(sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1))]$
e ottengo
$lim_(n->+oo)$ $[(n^2+n) - (n^2-1)]/[sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1)]$
quindi
$lim_(n->+oo)$ $[n+1]/[sqrt(n^2+n)+sqrt(n^2-1)]$
di conseguenza
$lim_(n->+oo)$ $[n+1]/[sqrt(n^2(1+[1]/[n]))+sqrt(n^2(1-[1]/[n^2]))]$
procedendo:
$lim_(n->+oo)$ $[n+1]/[sqrt(n^2(1+[1]/[n]))+sqrt(n^2(1-[1]/[n^2]))]$
procedendo:
$lim_(n->+oo)$ $[n*(1+[1]/[n])]/[n*sqrt((1+[1]/[n]))+n*sqrt((1-[1]/[n^2]))]$
con il passaggio al limite ottengo
$lim_(n->+oo)$ $[n*(1+[1]/[n])]/[n*sqrt((1+[1]/[n]))+n*sqrt((1-[1]/[n^2]))]=[1]/[2]$
che ve ne pare?
Grazie
Magari potevi aggiungere a questo:
$lim_(n->+oo)(n(1+1/n))/(nsqrt((1+1/n))+nsqrt((1-1/n^2)))$
l'ultimo passaggio per mettere in evidenza:
$lim_(n->+oo)(n(1+1/n))/(n(sqrt(1+1/n)+sqrt(1-1/n^2)))=1/2$
Per quanto riguarda il primo limite sta bene
$lim_(n->+oo)(n(1+1/n))/(nsqrt((1+1/n))+nsqrt((1-1/n^2)))$
l'ultimo passaggio per mettere in evidenza:
$lim_(n->+oo)(n(1+1/n))/(n(sqrt(1+1/n)+sqrt(1-1/n^2)))=1/2$
Per quanto riguarda il primo limite sta bene
hai ragione non l ho proprio visto
pero sto migliorando piano piano.
grazie mille per le dritte
ad ogni modo avevo immaginato a mente che le $n$ diventassero degli $1$
prossimamente inserisco altri esercizi
pero sto migliorando piano piano.
grazie mille per le dritte
ad ogni modo avevo immaginato a mente che le $n$ diventassero degli $1$
prossimamente inserisco altri esercizi
Buongiorno, in questo momento mi trovo sul treno in viaggio verso zurigo
Qui ho un po di tempo per fare qualche esercizio.
Ne carico subito uno che ho trovato in rete:
$lim_(n->+oo) [3n^2-5n]/[5n^3+2n-6]$
Vi mostro il mio metodo risolutivo:
$lim_(n->+oo) [n^3([3]/[n]-[5]/[n^2])]/[n^3(5+[2]/[n^2]-[6]/[n^3])]$
$lim_(n->+oo) [[3]/[n]-[5]/[n^2]]/[5+[2]/[n^2]-[6]/[n^3]] = 0$
Qui ho un po di tempo per fare qualche esercizio.
Ne carico subito uno che ho trovato in rete:
$lim_(n->+oo) [3n^2-5n]/[5n^3+2n-6]$
Vi mostro il mio metodo risolutivo:
$lim_(n->+oo) [n^3([3]/[n]-[5]/[n^2])]/[n^3(5+[2]/[n^2]-[6]/[n^3])]$
$lim_(n->+oo) [[3]/[n]-[5]/[n^2]]/[5+[2]/[n^2]-[6]/[n^3]] = 0$
Ciao, sì è esatto. In ogni caso si poteva concludere subito osservando che $n \to \infty$ e che il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore, quindi domina il denominatore che porta la frazione a $0$.
Comunque il limite si risolve in blocco cioè da questo:
$lim_(n->+oo) (n^3(3/n-5/n^2))/(n^3(5+2/n^2-6/n^3))$ semplifichi $n^3$ gli altri termini tendono a $0$ e concludi che il limite fa $0$ ma non $lim_(n->+oo) (3/n-5/n^2)/(5+2/n^2-6/n^3)$
$lim_(n->+oo) (n^3(3/n-5/n^2))/(n^3(5+2/n^2-6/n^3))$ semplifichi $n^3$ gli altri termini tendono a $0$ e concludi che il limite fa $0$ ma non $lim_(n->+oo) (3/n-5/n^2)/(5+2/n^2-6/n^3)$
"anonymous_c5d2a1":
Comunque il limite si risolve in blocco cioè da questo:
$lim_(n->+oo) (n^3(3/n-5/n^2))/(n^3(5+2/n^2-6/n^3))$ semplifichi $n^3$ gli altri termini tendono a $0$ e concludi che il limite fa $0$ ma non $lim_(n->+oo) (3/n-5/n^2)/(5+2/n^2-6/n^3)$
Se guardi molti miei altri post dico a tutti che i limiti non si risolvono a pezzi ma che si passa al limite una sola volta. In questo caso però credo che il passaggio effettuato da giogiomogio sia corretto perchè è una semplificazione che coinvolge solo la funzione e non il concetto di limite. Cioè ha sostituito la funzione con una cosa equivalente ma non ha calcolato alcun limite.
Dici che non si poteva fare?
Penso anche io che sia corretto perche ho solo sostituito la funzione con un qualcosa di equivalente. Alla fine é proprio per questa ragione che ho fatto la messa in evidenza... ossia per avere un qualcosa di equivalente ma piu semplificato. Quell $n^3$ va vista come un $1$
Magari qualcuno riesce comunque a darci una risposta definitiva.
Intanto grazie
Magari qualcuno riesce comunque a darci una risposta definitiva.
Intanto grazie
Non capisco il dubbio: giogiomogio ha solo semplificato una frazione ed è sempre lecito semplificare per qualcosa diverso da zero.
Chi ha buona manualità con i limiti (quindi per ora lo sconsiglio a giogiomogio) spesso abbrevia i calcoli con la regola "Nel limite di una frazione in cui numeratore e denominatore tendono entrambi ad infinito si può considerare per entrambi il solo infinito di ordine maggiore (ovvio, supponendo che non ce ne siano due con somma del tipo $0*oo$)". La regola si dimostra mettendo in evidenza quel termine; nel nostro caso, la sua applicazione dà
$=lim_(n->+oo)(3n^2)/(5n^3)=lim_(n->+oo)3/(5n)=+oo$
Ho scritto anche il passaggio intermedio, spesso fatto a mente.
Chi ha buona manualità con i limiti (quindi per ora lo sconsiglio a giogiomogio) spesso abbrevia i calcoli con la regola "Nel limite di una frazione in cui numeratore e denominatore tendono entrambi ad infinito si può considerare per entrambi il solo infinito di ordine maggiore (ovvio, supponendo che non ce ne siano due con somma del tipo $0*oo$)". La regola si dimostra mettendo in evidenza quel termine; nel nostro caso, la sua applicazione dà
$=lim_(n->+oo)(3n^2)/(5n^3)=lim_(n->+oo)3/(5n)=+oo$
Ho scritto anche il passaggio intermedio, spesso fatto a mente.
Giammaria grazie per l intervento.
Penso che dalla fretta hai messo $+oo$ al posto di $0$
Penso che dalla fretta hai messo $+oo$ al posto di $0$
Proprio così, scusa.
@giammaria di che anzi ... grazie mille per le dritte.
ecco qua ne ho trovato un altro "interessante"
$lim_(n->+oo) ([n(n+2)]/[n+1] - [n^3]/[n^2+1])$
Prima avevo provato a risolvere il primo blocco e poi l'altro ma ho raggiunto una forma indeterminata, allora ho cambiato strada sciogliendo la prima parentesi e poi facendo il denominatore comune ed ho ottenuto:
$lim_(n->+oo) ([n^2+2n]/[n+1] - [n^3]/[n^2+1])$
$lim_(n->+oo) ([(n^2+1)(n^2+2n)]/[(n^2+1)(n+1)] - [(n+1)(n^3)]/[(n+1)(n^2+1)])$
$lim_(n->+oo) ([(n^4+2n^3+n^2+2n)]/[(n^3+n^2+n+1)] - [(n^4+n^3)]/[(n^3+n^2+n+1)])$
adesso sciolgo le parentesi ed unisco i 2 blocchi:
$lim_(n->+oo) ([n^4+2n^3+n^2+2n - n^4 -n^3]/[n^3+n^2+n+1])$
al denominatore rimane:
$lim_(n->+oo) ([n^3+n^2+2n ]/[n^3+n^2+n+1])$
metto in evidenza $n^3$ e ottengo
$lim_(n->+oo) ([n^3(1+[1]/[n]+[2]/[n^2])]/[n^3(1 + [1]/[n] + [1]/[n^2] + [1]/[n^3])])$
semplifico:
$lim_(n->+oo) ([1+[1]/[n]+[2]/[n^2]]/[1 + [1]/[n] + [1]/[n^2] + [1]/[n^3]])$
faccio il passaggio al limite:
$lim_(n->+oo) ([1+[1]/[n]+[2]/[n^2]]/[1 + [1]/[n] + [1]/[n^2] + [1]/[n^3]]) = 1$
ecco qua ne ho trovato un altro "interessante"
$lim_(n->+oo) ([n(n+2)]/[n+1] - [n^3]/[n^2+1])$
Prima avevo provato a risolvere il primo blocco e poi l'altro ma ho raggiunto una forma indeterminata, allora ho cambiato strada sciogliendo la prima parentesi e poi facendo il denominatore comune ed ho ottenuto:
$lim_(n->+oo) ([n^2+2n]/[n+1] - [n^3]/[n^2+1])$
$lim_(n->+oo) ([(n^2+1)(n^2+2n)]/[(n^2+1)(n+1)] - [(n+1)(n^3)]/[(n+1)(n^2+1)])$
$lim_(n->+oo) ([(n^4+2n^3+n^2+2n)]/[(n^3+n^2+n+1)] - [(n^4+n^3)]/[(n^3+n^2+n+1)])$
adesso sciolgo le parentesi ed unisco i 2 blocchi:
$lim_(n->+oo) ([n^4+2n^3+n^2+2n - n^4 -n^3]/[n^3+n^2+n+1])$
al denominatore rimane:
$lim_(n->+oo) ([n^3+n^2+2n ]/[n^3+n^2+n+1])$
metto in evidenza $n^3$ e ottengo
$lim_(n->+oo) ([n^3(1+[1]/[n]+[2]/[n^2])]/[n^3(1 + [1]/[n] + [1]/[n^2] + [1]/[n^3])])$
semplifico:
$lim_(n->+oo) ([1+[1]/[n]+[2]/[n^2]]/[1 + [1]/[n] + [1]/[n^2] + [1]/[n^3]])$
faccio il passaggio al limite:
$lim_(n->+oo) ([1+[1]/[n]+[2]/[n^2]]/[1 + [1]/[n] + [1]/[n^2] + [1]/[n^3]]) = 1$
Non ho controllato i calcoli, ma il metodo è quello giusto. Un consiglio per il futuro: quando si tratta solo di semplici calcoli algebrici, non perdere tempo a trascriverli tutti: basta indicare il risultato da te ottenuto. Se non è giusto, qualcuno te ne avviserà e se non trovi da solo il tuo errore potrai postarli allora.
ok 
Avevo lasciato un po in sospeso questo topic perche ho dovuto studiare altre cose ...
ho trovato un altro limite mica male da risolvere (mica male per me ovviamente) voi siete troppo forti
$lim_(n->+oo)=([2n-3]/[5n+1])^([n^2+3n]/[2n^2-5])$
come l'ho risolto:
$lim_(n->+oo)=([2n-3]/[5n+1])^([n^2+3n]/[2n^2-5]) =lim_(n->+oo) ([n(2-[3]/[n])]/[n(5+[1]/[n])])^([n^2(1+[3]/[n])]/[n^2(2-[5]/[n^2])]) =lim_(n->+oo) ([2-[3]/[n]]/[5+[1]/[n]])^([1+[3]/[n]]/[2-[5]/[n^2]]) = sqrt([2]/[5])$
ho trovato un altro limite mica male da risolvere (mica male per me ovviamente) voi siete troppo forti
$lim_(n->+oo)=([2n-3]/[5n+1])^([n^2+3n]/[2n^2-5])$
come l'ho risolto:
$lim_(n->+oo)=([2n-3]/[5n+1])^([n^2+3n]/[2n^2-5]) =lim_(n->+oo) ([n(2-[3]/[n])]/[n(5+[1]/[n])])^([n^2(1+[3]/[n])]/[n^2(2-[5]/[n^2])]) =lim_(n->+oo) ([2-[3]/[n]]/[5+[1]/[n]])^([1+[3]/[n]]/[2-[5]/[n^2]]) = sqrt([2]/[5])$
Giusto il concetto ma non la forma: $lim_(n->+oo)$ va scritto ovunque e non deve esserci l'uguale subito dopo.
Ne ho fatto un altro, secondo me il piu tosto fino adesso... ci ho pensato un po ma poi alla fine l ho trovata la soluzione!
mi piace la matematica perche mi fa pensare ogni tanto anche per giorni interi e poi alla fine o con l'aiuto vostro o da solo (come in questo caso) trovo la soluzione. e a quel punto è come se i numeri mi dessero una pacca sulle spalle e mi dicessero: "bravo" (indipendentemente se sono portato o meno per questa materia, a me piace perche mi metto in gioco ogni volta)
hehehe ma adesso basta divagare troppo ... vi mostro il limite che mi ha fatto sudare per circa 40 minuti ...
$lim_(n->+oo) ([2n+4]/[2n+1])^(3n-4) = lim_(n->+oo) ([2n+1]/[2n+1] + [3]/[2n+1])^(3n-4) = $
$= lim_(n->+oo) (1 + [1]/([2n+1]/[3]))^(3n-4) = lim_(n->+oo) [(1 + [1]/([2n+1]/[3]))^([2n+1]/[3])]^([3]/[2n+1]*3n-4) = $
$= lim_(n->+oo) [(1 + [1]/([2n+1]/[3]))^([2n+1]/[3])]^([n*(9-[12]/[n])]/[n(2+[1]/[n])]) = e^( [9]/[2]) $
mi piace la matematica perche mi fa pensare ogni tanto anche per giorni interi e poi alla fine o con l'aiuto vostro o da solo (come in questo caso) trovo la soluzione. e a quel punto è come se i numeri mi dessero una pacca sulle spalle e mi dicessero: "bravo" (indipendentemente se sono portato o meno per questa materia, a me piace perche mi metto in gioco ogni volta)
hehehe ma adesso basta divagare troppo ... vi mostro il limite che mi ha fatto sudare per circa 40 minuti ...
$lim_(n->+oo) ([2n+4]/[2n+1])^(3n-4) = lim_(n->+oo) ([2n+1]/[2n+1] + [3]/[2n+1])^(3n-4) = $
$= lim_(n->+oo) (1 + [1]/([2n+1]/[3]))^(3n-4) = lim_(n->+oo) [(1 + [1]/([2n+1]/[3]))^([2n+1]/[3])]^([3]/[2n+1]*3n-4) = $
$= lim_(n->+oo) [(1 + [1]/([2n+1]/[3]))^([2n+1]/[3])]^([n*(9-[12]/[n])]/[n(2+[1]/[n])]) = e^( [9]/[2]) $
Giusto.
grazie, una domanda:
va bene se dopo il primo uguale scrivo solo $lim$ ? è concesso? dopotutto $lim_(n->+oo)$ l'ho gia sotto inteso all inizio ....
va bene se dopo il primo uguale scrivo solo $lim$ ? è concesso? dopotutto $lim_(n->+oo)$ l'ho gia sotto inteso all inizio ....
No, non è concesso perché puoi aver fatto qualche operazione che cambia la tendenza. Naturalmente puoi farlo nei tuoi calcoli in brutta (molti scrivono $->$ al posto di $=lim_(n->...)$) ma non è una buona abitudine.
Quando, in questo forum, ritengo di doverlo scrivere molte volte, risparmio un po' di tempo scrivendolo solo la prima volta e lasciando in bianco le altre; alla fine lo copio da quella prima volta e lo incollo ovunque serve.
Quando, in questo forum, ritengo di doverlo scrivere molte volte, risparmio un po' di tempo scrivendolo solo la prima volta e lasciando in bianco le altre; alla fine lo copio da quella prima volta e lo incollo ovunque serve.
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