Limite in forma indeterminata
Ciao!
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Risposte
Praticamente ti sei fermato un micron prima della soluzione 
. Semplifica e tieni conto che x tende a $sqrt2 $ da destra...
P.S. micron ( o micromètro) = $10^{-6}m$= un milionesimo di metro !
. Semplifica e tieni conto che x tende a $sqrt2 $ da destra...P.S. micron ( o micromètro) = $10^{-6}m$= un milionesimo di metro !
Che sbadato! 
Infatti, dopo aver semplificato, ottengo: [size=85]$(2sqrt2)/0^+$[/size], il cui risultato, con uno zero sempre più piccolo, tenderà a $+infty$, giusto?
Infatti, dopo aver semplificato, ottengo: [size=85]$(2sqrt2)/0^+$[/size], il cui risultato, con uno zero sempre più piccolo, tenderà a $+infty$, giusto?
Giusto !
Altro limite:
$\lim_{x \to \0} 1/x-3/(x^3-3x^2+3x)$
Il risultato è [size=85]$-1$[/size].
Il problema che ho riscontrato è lo scomporre il denominatore del secondo membro.
Ho provato a mettere in evidenza $x$, così facendo però, ottengo un termine di 2°grado che non posso scomporre, in quanto non ha soluzioni reali.
Come consigliate di procedere?
$\lim_{x \to \0} 1/x-3/(x^3-3x^2+3x)$
Il risultato è [size=85]$-1$[/size].
Il problema che ho riscontrato è lo scomporre il denominatore del secondo membro.
Ho provato a mettere in evidenza $x$, così facendo però, ottengo un termine di 2°grado che non posso scomporre, in quanto non ha soluzioni reali.
Come consigliate di procedere?
semplice :devi fare i calcoli(m.c.m.)
Il m.c.m. è stata la prima cosa a cui ho pensato, ma non è proprio $x^3-3x^2+3x$ il m.c.m.?
Rimane lì e non posso semplificarlo...
Rimane lì e non posso semplificarlo...
$1/x-frac{3}{x(x^2-3x+3)}$
così è più chiaro ?
così è più chiaro ?
"Nukenin":
Altro limite:
$\lim_{x \to \0} 1/x-3/(x^3-3x^2+3x)$
Il risultato è [size=85]$-1$[/size].
Il problema che ho riscontrato è lo scomporre il denominatore del secondo membro.
Ho provato a mettere in evidenza $x$, così facendo però, ottengo un termine di 2°grado che non posso scomporre, in quanto non ha soluzioni reali.
Come consigliate di procedere?
E se lo vedi così:
$\lim_(x->0)1/x-3/(x^3-3x^2+3x)$
$\lim_(x->0)1/x-3/(x(x^2-3x+3))$
$\lim_(x->0)(x^2-3x+3-3)/(x(x^2-3x+3))$. Continua tu ora.
$\lim_(x->0)(x(x-3))/(x(x^2-3x+3))$
$\lim_(x->0)(x(0-3))/(x(0-0+3))$
$\lim_(x->0)(x(-3))/(x(+3))$
$\lim_(x->0)(-3x)/(3x)$, poiché numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, il limite è uguale al rapporto tra i coefficienti, cioè [size=85]$-1$[/size].
Scusate se cado in queste banalità
$\lim_(x->0)(x(0-3))/(x(0-0+3))$
$\lim_(x->0)(x(-3))/(x(+3))$
$\lim_(x->0)(-3x)/(3x)$, poiché numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, il limite è uguale al rapporto tra i coefficienti, cioè [size=85]$-1$[/size].
Scusate se cado in queste banalità
un'ultima osservazione
il 2° ed il 3° passaggio non sono formalmente corretti :lo zero o si sostituisce a tutte le x o a nessuna
è opportuno sostituire lo zero alla fine ,dopo aver fatto tutte le semplificazioni del caso
il 2° ed il 3° passaggio non sono formalmente corretti :lo zero o si sostituisce a tutte le x o a nessuna
è opportuno sostituire lo zero alla fine ,dopo aver fatto tutte le semplificazioni del caso
"raf85":
un'ultima osservazione
il 2° ed il 3° passaggio non sono formalmente corretti :lo zero o si sostituisce a tutte le x o a nessuna
è opportuno sostituire lo zero alla fine ,dopo aver fatto tutte le semplificazioni del caso
Scusa raf85, potresti scrivere la maniera corretta? Io ho sempre scritto così...
$lim_{x \to 0}frac{x(x-3)}{x(x^2-3x+3)}=lim_{x \to 0}frac{x-3}{x^2-3x+3}=frac{0-3}{0+3}=-1$
Posto questo limite e la sua risoluzione:
$lim_(x ->0) (6x^2-5x)/(3x^2-5x)$
$lim_(x ->0) (x(6x-5))/(x(3x-5)$ $=$ $lim_(x ->0) (6x-5)/(3x-5)$ $=$ $(0-5)/(0-5) = 1$
Questo limite non è risolvibile sfruttando il fatto che abbiamo infiniti dello stesso ordine? In tal caso il risultato sarebbe [size=85]$2$[/size]. È errato il mio ragionamento? Se così fosse devo rivedermi la teoria...
$lim_(x ->0) (6x^2-5x)/(3x^2-5x)$
$lim_(x ->0) (x(6x-5))/(x(3x-5)$ $=$ $lim_(x ->0) (6x-5)/(3x-5)$ $=$ $(0-5)/(0-5) = 1$
Questo limite non è risolvibile sfruttando il fatto che abbiamo infiniti dello stesso ordine? In tal caso il risultato sarebbe [size=85]$2$[/size]. È errato il mio ragionamento? Se così fosse devo rivedermi la teoria...
La x tende a zero e trascina a zero anche numeratore e denominatore, non parlerei proprio di infiniti in questo caso.
Ciao, posto un'altro limite e come ho provato a risolverlo, senza successo. 
Il limite è:
$lim_(x->-1) (x^4+x^3+2x^2+3x+1)/(2x^2+x-1)$
Il risultato corretto è [size=85]$2/3$[/size].
Ho applicato Ruffini al numeratore e denominatore in modo tale da semplificare il termine in comune [size=85]$(x-1)$[/size].
$lim_(x->-1) ((x-1) (x^3+2x^2+4x+7)+8)/((x-1)(2x+3)+2)$ =
= $lim_(x->-1) (x^3+2x^2+4x+15)/(2x+5)$ = $12/3$ = $4$
Oltre a questa "risoluzione", ho provato anche con diverse $x$ in evidenza: niente da fare.
Suggerimenti su qualche altro metodo risolutivo?
Il limite è:
$lim_(x->-1) (x^4+x^3+2x^2+3x+1)/(2x^2+x-1)$
Il risultato corretto è [size=85]$2/3$[/size].
Ho applicato Ruffini al numeratore e denominatore in modo tale da semplificare il termine in comune [size=85]$(x-1)$[/size].
$lim_(x->-1) ((x-1) (x^3+2x^2+4x+7)+8)/((x-1)(2x+3)+2)$ =
= $lim_(x->-1) (x^3+2x^2+4x+15)/(2x+5)$ = $12/3$ = $4$
Oltre a questa "risoluzione", ho provato anche con diverse $x$ in evidenza: niente da fare.
Suggerimenti su qualche altro metodo risolutivo?
Se entrambi si annullano per $x=-1$ significa che il fattore comune è $x+1$ e non $x-1$.
"Nukenin":
Ciao, posto un'altro limite e come ho provato a risolverlo, senza successo.
Il limite è:
$lim_(x->-1) (x^4+x^3+2x^2+3x+1)/(2x^2+x-1)$
Il risultato corretto è [size=85]$2/3$[/size].
Ho applicato Ruffini al numeratore e denominatore in modo tale da semplificare il termine in comune [size=85]$(x-1)$[/size].
$lim_(x->-1) ((x-1) (x^3+2x^2+4x+7)+8)/((x-1)(2x+3)+2)$ =
= $lim_(x->-1) (x^3+2x^2+4x+15)/(2x+5)$ = $12/3$ = $4$
Oltre a questa "risoluzione", ho provato anche con diverse $x$ in evidenza: niente da fare.
Suggerimenti su qualche altro metodo risolutivo?
La scomposizione con Ruffini non è esatta, infatti ottieni:
$lim_(x->-1)((x+1)(x^3+2x+1))/((x+1)(2x-1))$. Ora puoi togliere la forma di indeterminazione.
Grazie ad entrambi.
In pratica ho malamente applicato la regola di Ruffini.
L'ho ripetuta e rifatto il limite, tutto OK.
In pratica ho malamente applicato la regola di Ruffini.
L'ho ripetuta e rifatto il limite, tutto OK.
Altro limite:
$lim_(x->-5)$ [size=150]$e^((x+5)/(x^2-25))$[/size]
Il risultato corretto è: $1/(root(10)(e))$
Posto il mio svolgimento:
$lim_(x->-5)$[size=150]$e^((x+5)/((x+5)(x-5))$[/size] = $lim_(x->-5)$[size=150]$e^(1/(x-5))$[/size] = [size=150]$e^(1/(-10))$[/size]
$lim_(x->-5)$ [size=150]$e^((x+5)/(x^2-25))$[/size]
Il risultato corretto è: $1/(root(10)(e))$
Posto il mio svolgimento:
$lim_(x->-5)$[size=150]$e^((x+5)/((x+5)(x-5))$[/size] = $lim_(x->-5)$[size=150]$e^(1/(x-5))$[/size] = [size=150]$e^(1/(-10))$[/size]
E infatti è la stessa cosa! 
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