Limite in forma indeterminata
Ciao!
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Risposte
Bene, ora mi è tutto chiaro. Ty.
Meglio così. Se hai altri dubbi chiedi pure.
$lim_(x->0) ((root(5)(1+5x^2)-1)^2)/(25x^2)$
Non riesco a ridurre il limite in modo tale da applicare il limite notevole $lim_(x->0)((1+x)^(a)-1)/x=a$
Non riesco a ridurre il limite in modo tale da applicare il limite notevole $lim_(x->0)((1+x)^(a)-1)/x=a$
Ciao, puoi scrivere $$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[5]{1+5x^2}-1}{5x}\right)^2 = \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sqrt[5]{1+5x^2}-1}{5x^2}\right)^2\ x^2$$ e ora ci siamo.
Non sapendo come razionalizzare i radicali di questo limite (che ho riportato anche in questa discussione), chiedo aiuto a voi.
$lim_(x->+oo) (root(3)(9x^3-6x+2))/(sqrt(3x^2+3)+sqrt(5x^2+12))$
$lim_(x->+oo) (root(3)(9x^3-6x+2))/(sqrt(3x^2+3)+sqrt(5x^2+12))$
Ciao, non serve razionalizzare. Puoi raccogliere $x^3$ dentro alla radice sopra e $x^2$ dentro alle radici sotto, quindi porti fuori e semplifichi. Ottieni $$\frac{\sqrt[3]{9+\ldots}}{\sqrt{3+\ldots}+\sqrt{5+\ldots}}$$ Quando passi al limite hai $$\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$ perché tutti gli altri termini tendono a $0$.
Qualche suggerimento per eliminare la f.i. di questo limite?
$lim_(x->pi)[cos (x/4) - sin (x/4)]tan (x/2)$
$lim_(x->pi)[cos (x/4) - sin (x/4)]tan (x/2)$
io moltiplicherei e dividerei per $ cos (x/4)+sen(x/4)$ e darei un occhiata alla formula di duplicazione del coseno
Non me ne vogliate ma non riesco a proseguire 
Seguendo il suggerimento di raf85, sono a questo punto:
$lim_(x>pi) cos (2x/4)/(cos (x/4) - sen (x/4))tan (x/2)$
Seguendo il suggerimento di raf85, sono a questo punto:
$lim_(x>pi) cos (2x/4)/(cos (x/4) - sen (x/4))tan (x/2)$
in verità è
$lim_{x \to pi}frac{cos(x/2)}{cos(x/4)+sen(x/4)}tg(x/2)=lim_{x \to pi}frac{sen(x/2)}{cos(pi/4)+sen(pi/4)}$
$lim_{x \to pi}frac{cos(x/2)}{cos(x/4)+sen(x/4)}tg(x/2)=lim_{x \to pi}frac{sen(x/2)}{cos(pi/4)+sen(pi/4)}$
$[cos (x/4) - sin (x/4)]tan (x/2)=$
$cos(x/2)/(cos (x/4) + sin (x/4)) sin(x/2)/cos(x/2)=$
$sin(x/2)/(cos (x/4) + sin (x/4))$.
Da cui
$lim_(x->pi)[cos (x/4) - sin (x/4)]tan (x/2)=$
$lim_(x->pi)sin(x/2)/(cos (x/4) + sin (x/4))=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2$
$cos(x/2)/(cos (x/4) + sin (x/4)) sin(x/2)/cos(x/2)=$
$sin(x/2)/(cos (x/4) + sin (x/4))$.
Da cui
$lim_(x->pi)[cos (x/4) - sin (x/4)]tan (x/2)=$
$lim_(x->pi)sin(x/2)/(cos (x/4) + sin (x/4))=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2$
Posto un limite simile al precedente e come ho iniziato a risolverlo. Il risultato corretto è $1$.
$lim_(x->pi/4) (1-tan x) tan 2x$
Ho scritto le tangenti come rapporto di $sin/cos$:
$lim_(x->pi/4) (1-sinx/(cos x)) (sin 2x)/(cos 2x)$,
e il termine fuori parentesi tonde con le formule di duplicazione, sia al num. che al den.:
$lim_(x->pi/4) (1-(sinx)/(cos x)) (2sinx cosx)/(cos^2x-sin^2x)$
A questo punto ho semplificato $cosx$ e stop
$lim_(x->pi/4) (1-tan x) tan 2x$
Ho scritto le tangenti come rapporto di $sin/cos$:
$lim_(x->pi/4) (1-sinx/(cos x)) (sin 2x)/(cos 2x)$,
e il termine fuori parentesi tonde con le formule di duplicazione, sia al num. che al den.:
$lim_(x->pi/4) (1-(sinx)/(cos x)) (2sinx cosx)/(cos^2x-sin^2x)$
A questo punto ho semplificato $cosx$ e stop
"Nukenin":
Posto un limite simile al precedente e come ho iniziato a risolverlo. Il risultato corretto è $1$.
$lim_(x->pi/4) (1-tan x) tan 2x$
Ho scritto le tangenti come rapporto di $sin/cos$:
$lim_(x->pi/4) (1-sinx/(cos x)) (sin 2x)/(cos 2x)$,
e il termine fuori parentesi tonde con le formule di duplicazione, sia al num. che al den.:
$lim_(x->pi/4) (1-(sinx)/(cos x)) (2sinx cosx)/(cos^2x-sin^2x)$
A questo punto ho semplificato $cosx$ e stop
Prova così:
$lim_(x->pi/4) (cosx-sinx)/(cosx)*(2sinxcosx)/((cosx-sinx)(cosx+sinx))$
È corretta la risoluzione di questo limite?
$lim_(x->+oo) log(x+1)-log(x-1)$
=$lim_(x->+oo) log x(1+1/x)-log x(1-1/x)$
=$lim_(x->+oo) log x - log x $
=$lim_(x->+oo) 0 = 0$
Quel $log x - log x$ non è una f.i. $+oo-oo$ ?
$lim_(x->+oo) log(x+1)-log(x-1)$
=$lim_(x->+oo) log x(1+1/x)-log x(1-1/x)$
=$lim_(x->+oo) log x - log x $
=$lim_(x->+oo) 0 = 0$
Quel $log x - log x$ non è una f.i. $+oo-oo$ ?
$lim_(x->+oo) log(x+1)-log(x-1)=$
$lim_(x->+oo) log((x+1)/(x-1))=$
$log( lim_(x->+oo) (x+1)/(x-1))=log1=0$
$lim_(x->+oo) log((x+1)/(x-1))=$
$log( lim_(x->+oo) (x+1)/(x-1))=log1=0$
"Nukenin":
$lim_(x->pi/4) (1-tan x) tan 2x$
Ti consiglio di usare la formula di duplicazione della tangente e poi la scomposizione in fattori della differenza fra due quadrati.
Riporto lo svolgimento di un limite tratto dal mio libro:
$lim_ (x->+oo) 5/x^3 log(x^3-3+sin2x)$ =
= $lim_ (x->+oo) 5/x^3 log[x^3(1-3/x^3+sin (2x)/x^3)]$ =
= $lim_(x->+oo) 5[logx^3/x^3 + log(1+(sin2x-3)/x^3)/x^3] = 15$
Non mi è chiaro cosa è stato fatto tra il secondo e il terzo passaggio.
$lim_ (x->+oo) 5/x^3 log(x^3-3+sin2x)$ =
= $lim_ (x->+oo) 5/x^3 log[x^3(1-3/x^3+sin (2x)/x^3)]$ =
= $lim_(x->+oo) 5[logx^3/x^3 + log(1+(sin2x-3)/x^3)/x^3] = 15$
Non mi è chiaro cosa è stato fatto tra il secondo e il terzo passaggio.
Ciao, il log di un prodotto è pari alla somma dei log, quindi $$\log\left[x^3\left(1-\frac{3}{x^3}+\frac{\sin 2x}{x^3}\right)\right] = \log x^3+\log\left(1-\frac{3}{x^3}+\frac{\sin 2x}{x^3}\right)$$
Comunque il risultato è sbagliato: quel limite fa $0$.
Grazie minomic per l'immediata risposta.
In effetti non ho trascritto l'ultimo passaggio dove svolgeva il limite dell'altro logaritmo: $lim_ (x->+oo) log x/x^3 =0$
In effetti non ho trascritto l'ultimo passaggio dove svolgeva il limite dell'altro logaritmo: $lim_ (x->+oo) log x/x^3 =0$
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