Limite in forma indeterminata

[Nukenin]

Ciao!

Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.

$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$

Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:

$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$

Fatto ciò mi son bloccato...

[Nukenin]

Sono in difficoltà con questo limite:

$lim_ (x->0) (sqrt(1+x) log(x+2)-log2)/arctan(x/2)$

Come procedere?

[quantunquemente]

incominciamo col dire che con qualche calcolo l'argomento del limite può essere scritto nella forma
$(ln2cdot(sqrt(1+x)-1)+sqrt(1+x)ln(1+x/2))/(arctg(x/2))$
$arctgx/2 ~ x/2$
adesso,spezza la frazione in 2 addendi ed hai praticamente finito se conosci i limiti notevoli

[Nukenin]

In realtà il mio problema sta proprio nel raggiungere la forma da te scritta. Quali proprietà/calcoli hai utilizzato?

[xAle2]

Edit: Ho scritto una scemenza.

[giammaria2]

Che brutto errore!
$log(x+2)!=log2logx$

Il calcolo giusto è
$log(x+2)=log[2(x/2+1)]=log2+log(x/2+1)$
col quale il numeratore diventa
$sqrt(1+x)[log2+log(1+x/2)]-log2=$
$=sqrt(1+x)log2+sqrt(1+x)log(1+x/2)-log2$
Mettendo ora in evidenza $log2$ fra il primo e l'ultimo addendo ottieni la formula di qualunquemente.

[Nukenin]

Grazie per i suggerimenti. Ho risolto.

$ lim_ (x->0) (sqrt(1+x)log2+sqrt(1+x)log(1+x/2)-log2)/arctan(x/2) $

$ =lim_ (x->0) (log2(sqrt(1+x)-1)+sqrt(1+x)log(1+x/2))/(arctan(x/2)) $

$ =lim_ (x->0) (log2((sqrt(1+x)-1)/x) x + sqrt(1+x)log((1+x/2)/(x/2))x/2)/(arctan(x/2)/(x/2)*(x/2)$

A questo punto ho che $(sqrt(1+x)-1)/x ->1/2$, $log((1+x/2)/(x/2)) -> 1$ e $arctan(x/2)/(x/2) -> 1$, ottenendo:

$ =lim_ (x->0) (log2(x/2)+sqrt(1+x)*1*x/2)/(1*(x/2))$

$ =lim_ (x->0) (log2(x/2))/(x/2)+(sqrt(1+x)*(x/2))/(x/2) = log2+1$

[Nukenin]

Altra f.i.: $lim_ (x->1) (3-(8+x)/3)(2x)/(2x-2)$

Ho provato nel seguente modo (a quanto pare errato), con l'intento di semplificare il numeratore del primo termine con il denominatore del secondo tramite raccoglimento, ma i segni sono diversi:

$=lim_(x->1) (1+x)/3 (2x)/(2x-2)$

$=lim_(x->1) (x(1/x+1))/3 (2x)/((2x)(1-1/x))$

Non mi sovviene altro...

[andar9896]

Quando moltiplichi per 3 diventa
$9-(8+x)=x-1$

[Nukenin]

"andar9896":Quando moltiplichi per 3 diventa
$9-(8+x)=x-1$

*$1-x$?

Quindi:
$ =lim_(x->1) (1-x)/3 (2x)/(2x-2) $

$ =lim_(x->1) (x(1/x-1))/3 (2x)/((-2x)(-1+1/x)) $

$ =lim_(x->1) 1/3 2/(-2) =-1/3$

[andar9896]

Sì scusa $1-x$ comunque è corretto

[Nukenin]

Ennesimo limite . Non conosco il risultato, ma, mediante un "risolutore" online, dovrebbe essere uguale a $sqrt(5/6)$.

$lim_ (x->0) ((2^x+5^x)/(3^x+4^x))^(1/x)$

Trasformo la funzione in un'esponenziale in base $e$:

$=$[size=140]$e^(lim_ (x->0)1/xlog((2^x+5^x)/(3^x+4^x)))$[/size]

$=$[size=140]$e^(lim_ (x->0)1/xlog[((2^x+5^x)/(3^x+4^x)-1)+1]$[/size]

$=$[size=140]$e^(lim_ (x->0)1/xlog[((2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))+1]$[/size]

$=$[size=140]$e^(lim_ (x->0)1/xlog[(((2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))+1)/((2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x))](2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x)$[/size] $->$ applicando il limite notevole $lim_ (x->0) log (x+1)/x=1$ al logaritmo, ottengo:

$=$[size=140]$e^(lim_ (x->0)1/x * (2^x+5^x-3^x-4^x)/(3^x+4^x)$[/size]

A questo punto ho una f.i. [size=85]$0/0$[/size] che ho difficoltà nell'eliminare...

[francicko]

Secondo la mia opinione per risolvere la forma indeterminata a cui sei arrivato bisogna ricorrere all'asintotico $(1+x)^(alpha)$ $~(1+alphax)$, con $alpha$ $inR$, pertanto sostituendo avremo limite per $x->0$ :
$(1+xlog2+1+xlog5-1-xlog3-1+xlog4)/(x(1+xlog3+1+xlog4))$
$=x(log2+log5-log3-log4)/(x (2+xlog3+xlog4))$ $=x(log2+log5-log3-log4)/(2x(1+x(log3)/2+x(log4)/2))$ semplificando ed applicando le note proprietà sui logaritmi avremo ancora:
$=(log10-log12)/(2(1+x(log3)/2+x (log4)/2))=$ $(log (10/12))/(2(1+x(log3)/2+x(log4)/2)$ $=(log (5/6))/(2(1+x (log3)/2+x (log4)/2) $ risolvendo il limite si ha $(log (5/6))/2 $, ritornando al limite iniziale risultera $e^((log (5/6))/2)=e^(log (sqrt (5/6)))=sqrt (5/6) $, in alternativa c'e' hopital, che pero comporta il calcolo di qualche derivata, spero di essermi spiegato chiaramente

[giammaria2]

Le formule asintotiche sono poco note a livello di media superiore; aggiungo quindi una soluzione che, pur analoga a quella di francicko, non ne fa uso ed applica invece il limite fondamentale
$lim_(x->0)(a^x-1)/x=lna$

Comincio col notare che il $3^x+4^x$ a denominatore tende a $2$ e quindi il limite è $e^(1/2A)$ con
$A=lim_(x->0)(2^x+5^x-3^x-4^x)/x=$

$=lim_(x->0)((2^x-1)+1+(5^x-1)+1-(3^x-1)-1-(4^x-1)-1)/x=$

$=lim_(x->0)((2^x-1)/x+(5^x-1)/x-(3^x-1)/x-(4^x-1)/x)=$

$=ln2+ln5-ln3-ln4=ln frac(2*5) (3*4)=ln frac5 6$

e poi concludi come sopra.

[Nukenin]

Questo è lo svolgimento di un limite tratto dal mio libro. Mi sono sorti alcuni dubbi e volevo chiarirmeli.

$lim_ (x->+oo) 5/x^3 log(x^3-3+sin2x)$

$=lim_ (x->+oo) 5/x^3 log[x^3(1-3/x^3+sin (2x)/x^3)]$

$=lim_(x->+oo) 5[logx^3/x^3 + log(1+(sin2x-3)/x^3)/x^3] $

$=15 lim_(x->+oo) logx/x^3=0$



1) Come ottiene $15 lim_(x->+oo) logx/x^3=0$ ?

2) Non possiamo concludere il limite già a questo passaggio $->$ $lim_(x->+oo) 5[logx^3/x^3 + log(1+(sin2x-3)/x^3)/x^3] $ sapendo che le potenze ai denominatori tenderanno a $0$ più velocemente dei logaritmi presenti al numeratore?

[andar9896]

Usando la priprietà dei logaritmi $log(x^3)=3logx$ ... dopo questo possiamo dire che il limite fa 0

[Nukenin]

Un suggerimento per eliminare la f.i. di questo limite?

Il risultato è $-sqrt3$.

$lim_ (x->(pi/3)) (cosx-cos(pi/3))/(sinx-sin(pi/3))$

Ho provato (credo sbagliando) sia con il cambio di variabile dopo aver messo in evidenza $cos$ e $sin$, sia scrivendo il $sin$ al denominatore come $sqrt(1-cos^2x)$ per poi condurmi al limite notevole.

[francicko]

Per eliminare il fattore che da l' indeterminazione ti devi ricondurre a dei prodotti, in questo caso userei le note formule di
Prostaferesi. Ti troverai a semplificare un fattore $sin ((x-(pi/3))/2)$, presente a numeratore ed a denominatore, dopodiché otterrai facilmente $(-sin (pi/3))/(cos ((pi)/3)) $, e calcolando avrai ancora $(-sqrt (3)/2)/(1/2 )=-sqrt (3) $, prova!

[Nukenin]

Grazie per la dritta.

Ma dopo aver semplificato $ sin ((x-(pi/3))/2) $ al numeratore e al denominatore rimango con:

$(-2sin(x+pi/3)/2)/(2cos(x+pi/3)/2)$ quindi $(-sin(x+pi/3))/(cos(x+pi/3))$ e non con $ (-sin (pi/3))/(cos ((pi)/3)) $ come da te indicato.

O mi sbaglio?

[francicko]

E' $(-2sin((x+pi/3)/2))/(2cos((x+pi/3)/2))$, semplificando e sostituendo $pi/3$ ad $x$ si ha: $(-sin((2pi/3)/2))/(cos((2pi/3)/2))=(-sin(pi/3))/(cos(pi/3))=(-sqrt(3)/2)/(1/2)=-sqrt(3)$

[Nukenin]

Sto sclerando con questa f.i.,

$lim_ (x->pi/4) (cosx-cos(pi/4))/(x-pi/4)$