Limite in forma indeterminata
Ciao!
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Risposte
Ciao,
è sufficiente moltiplicare sopra e sotto per $$\sqrt{x}+1$$
è sufficiente moltiplicare sopra e sotto per $$\sqrt{x}+1$$
Vien fuori un bel casino: 
$lim_(x->1) (sen(x-1)(sqrt(x-1)+1) (sqrt(x)+1))/(x-1)$
$lim_(x->1) (sen(x-1)(sqrt(x-1)+1) (sqrt(x)+1))/(x-1)$
Perché? 
Se $x -> 1$ allora $$\frac{\sin(x-1)}{x-1}\to 1$$ e il resto non è indeterminato.
Alla fine il risultato è $2$.
Se $x -> 1$ allora $$\frac{\sin(x-1)}{x-1}\to 1$$ e il resto non è indeterminato.
Alla fine il risultato è $2$.
Non riesco a eliminare la forma indeterminata di questo limite:
$lim_(x->2) (sqrt(x-1)-sqrt(3x-5))/(x^2-4)$
Ho provato a moltiplicare e dividere num. e den. per $sqrt(x-1)+sqrt(3x-5)$ e scrivere il den. come differenza di quadrati, ma non semplifico comunque nessun termine...
$lim_(x->2) (sqrt(x-1)-sqrt(3x-5))/(x^2-4)$
Ho provato a moltiplicare e dividere num. e den. per $sqrt(x-1)+sqrt(3x-5)$ e scrivere il den. come differenza di quadrati, ma non semplifico comunque nessun termine...
"Nukenin":
Non riesco a eliminare la forma indeterminata di questo limite:
$lim_(x->2) (sqrt(x-1)-sqrt(3x-5))/(x^2-4)$
Ho provato a moltiplicare e dividere num. e den. per $sqrt(x-1)+sqrt(3x-5)$ e scrivere il den. come differenza di quadrati, ma non semplifico comunque nessun termine...
$lim_(x->2) (sqrt(x-1)-sqrt(3x-5))/(x^2-4)*(sqrt(x-1)+sqrt(3x-5))/(sqrt(x-1)+sqrt(3x-5))$
$lim_(x->2) (x-1-3x+5)/((x^2-4)(sqrt(x-1)+sqrt(3x-5)))$
Dove è il problema?
Che è ancora $0/0$?
Esattamente.
Sicuro? Prova a fare i calcoli e a ricordare che $-2x+4$ si può scomporre in fattori $-2(x-2)$. In questo modo la forma indeterminata se ne va o no?
Risolto, grazie @anonymous_c5d2a1 
.
Semplifico il fattore $x-2$ che mi hai indicato con il fattore $x-2$ al denominatore, quest'ultimo ottenuto scrivendo $x^2-4$ come differenza di quadrati.
.Semplifico il fattore $x-2$ che mi hai indicato con il fattore $x-2$ al denominatore, quest'ultimo ottenuto scrivendo $x^2-4$ come differenza di quadrati.
Di niente, alcune volte sfuggono i passaggi.
Questo è lo svolgimento di un limite fatto dal mio prof.:
$lim_(x->+oo) x^2(sqrt((x^2+5)/(x^2+1))-1)$
Ha scritto $(x^2+5)/(x^2+1)$ come $1+4/(x^2+1)$. Inoltre ha moltiplicato e diviso per $4/(x^2+1)$, ottenendo:
$lim_(x->+oo) x^2[((1+4/(x^2+1))^(1/2)-1)/(4/(x^2+1))]*4/(x^2+1)$
Ha detto che il termine tra parentesi quadre tende a $1/2$, e conclude il limite ultimando i calcoli.
Ma questo non è vero soltanto quando abbiamo un limite per $x->0$ ?
Infatti, il limite notevole applicato è questo: $lim_(x->0) ((1+x)^a-1)/x = a$
Chiaritemi la questione please
$lim_(x->+oo) x^2(sqrt((x^2+5)/(x^2+1))-1)$
Ha scritto $(x^2+5)/(x^2+1)$ come $1+4/(x^2+1)$. Inoltre ha moltiplicato e diviso per $4/(x^2+1)$, ottenendo:
$lim_(x->+oo) x^2[((1+4/(x^2+1))^(1/2)-1)/(4/(x^2+1))]*4/(x^2+1)$
Ha detto che il termine tra parentesi quadre tende a $1/2$, e conclude il limite ultimando i calcoli.
Ma questo non è vero soltanto quando abbiamo un limite per $x->0$ ?
Infatti, il limite notevole applicato è questo: $lim_(x->0) ((1+x)^a-1)/x = a$
Chiaritemi la questione please
"Nukenin":
Questo è lo svolgimento di un limite fatto dal mio prof.:
$lim_(x->+oo) x^2(sqrt((x^2-5)/(x^2+1)-1))$
Ha scritto $(x^2-5)/(x^2+1)$ come $1+4/(x^2+1)$. Inoltre ha moltiplicato e diviso per $4/(x^2+1)$, ottenendo:
$lim_(x->+oo) x^2[((1+4/(x^2+1))^(1/2)-1)/(4/(x^2+1))]*4/(x^2+1)$
Ha detto che il termine tra parentesi quadre tende a $1/2$, e conclude il limite ultimando i calcoli.
Ma questo non è vero soltanto quando abbiamo un limite per $x->0$ ?
Infatti, il limite notevole applicato è questo: $lim_(x->0) ((1+x)^a-1)/x = a$
Chiaritemi la questione please
Per caso il limite è questo?
$lim_(x->+oo) x^2(sqrt((x^2+5)/(x^2+1))-1)$
Sì, ho sbagliato io nel trascriverlo.
Ora modifico.
Edit: modificato.
Ora modifico.
Edit: modificato.
Attenzione perchè il $-1$ è dentro o fuori la radice?
Sorry, ho corretto da una parte e sbagliato dall'altra.
Riscrivo per chiarezza:
$lim_(x->+oo) x^2(sqrt((x^2+5)/(x^2+1))-1)$
Riscrivo per chiarezza:
$lim_(x->+oo) x^2(sqrt((x^2+5)/(x^2+1))-1)$
Quindi il problema dove sta, nel tuo limite? Il tuo prof ha moltiplicato e diviso per le stesse quantità per ricondursi al limite notevole $lim_(f(x)->0)([1+f(x)]^a-1)/f(x)$. Chiaro?
Però la $x->+oo$ e non a $0$ come nel limite notevole.
E se $x->+oo$ $4/(x^2+1)$ dove tende?
A [size=85]$0$[/size].
Penso di aver capito il mio errore, dammene però conferma: in pratica, ho considerato soltanto $x$ intesa come variabile e non $4/(x^2+1)$. Quest'ultimo termine è la $x$ del limite notevole che è stato applicato.
Penso di aver capito il mio errore, dammene però conferma: in pratica, ho considerato soltanto $x$ intesa come variabile e non $4/(x^2+1)$. Quest'ultimo termine è la $x$ del limite notevole che è stato applicato.
Guarda la differenza $lim_(x->0)((1+x)^a-1)/x=a$ e $lim_(f(x)->0)([1+f(x)]^a-1)/f(x)=a$. Tu sei nel secondo caso.
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