Limite in forma indeterminata
Ciao!
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Risposte
Grazie a francicko per la spiegazione, chiarissimo.
Anche questo è un caso simile al precedente?
$lim_ (x->0) (arctg log(1+x^2))/(log(1+arctg^2x))$
Riconducendosi ai limiti notevoli sia al num. che al den., si ottiene:
$lim_ (x->0) (arctg x^2)/(arctg^2x) ->$[size=85] $0/0$[/size]
Anche questo è un caso simile al precedente?
$lim_ (x->0) (arctg log(1+x^2))/(log(1+arctg^2x))$
Riconducendosi ai limiti notevoli sia al num. che al den., si ottiene:
$lim_ (x->0) (arctg x^2)/(arctg^2x) ->$[size=85] $0/0$[/size]
No questo non e' un caso simile al precedente, in quanto non hai differenze di infinitesimi, tipo $x-sinx $ , oppure $x-tanx $, $x-arctgx $ , $sinx-tanx$, ecc. ecc. dove vengono coinvolti termini successivi;
Quello che hai ottenuto con i limiti notevoli e' giusto, devi continuare , moltiplicando e dividendo per $x^2$, ottieni:
$lim_(x->0) (x^2×arctg (x^2))/(x^2×arctg^2 (x )) $ $=lim_(x->0)(arctg (x^2))/x^2×lim_(x->0)x/(arctgx)×lim_(x->0)x/(arctgx)$,
a questo punto hai un prodotto di limiti notevoli che danno $1$, pertanto il risultato del limite e'$1$.
Quello che hai ottenuto con i limiti notevoli e' giusto, devi continuare , moltiplicando e dividendo per $x^2$, ottieni:
$lim_(x->0) (x^2×arctg (x^2))/(x^2×arctg^2 (x )) $ $=lim_(x->0)(arctg (x^2))/x^2×lim_(x->0)x/(arctgx)×lim_(x->0)x/(arctgx)$,
a questo punto hai un prodotto di limiti notevoli che danno $1$, pertanto il risultato del limite e'$1$.
$lim_(x->0) (5tanx+senxcosx)/(log(2e^x-1)+3sen^2(2x))$
Quindi dato che $cos0=1$possiamo riscrivere il limite come $lim_(x->0)(5tanx+sinx)/(log(2e^x-1)+3sin^2(2x))$ ed usando gli asintotici (limiti notevoli) avremo ancora $tanx~x $, $sinx~x$, $sin^2(2x)~4x^2$, $e^x~(1+x) $, e quindi $2e^x~2+2x$, sostituendo si ha :
$lim_(x->0)(5x+x)/(log (2+2x-1)+4x^2)=lim_(x->0)(6x)/(log(1+2x)+4x^2) $
ma $log (1+2x)~2x $, $4x^2$ e' un infinitesimo trascurabile a denominatore per cui si ha:
$lim_(x->0)(6x)/(2x)=3$, che e' il risultato esatto del limite proposto.
$lim_(x->0)(5x+x)/(log (2+2x-1)+4x^2)=lim_(x->0)(6x)/(log(1+2x)+4x^2) $
ma $log (1+2x)~2x $, $4x^2$ e' un infinitesimo trascurabile a denominatore per cui si ha:
$lim_(x->0)(6x)/(2x)=3$, che e' il risultato esatto del limite proposto.
$lim_(x->-oo) sqrt(3+9x^2)/(1-3x) =1$
Io l'ho risolto così trovandomi però come risultato $-1$:
=$lim_(x->-oo)(x(sqrt(3/(x^2)+9)))/(x(1/x-3)) $
=$lim_(x->-oo)(xsqrt9)/(-3x)$
=$lim_(x->-oo)(3x)/(-3x) =-1$
Cosa sbaglio?
Io l'ho risolto così trovandomi però come risultato $-1$:
=$lim_(x->-oo)(x(sqrt(3/(x^2)+9)))/(x(1/x-3)) $
=$lim_(x->-oo)(xsqrt9)/(-3x)$
=$lim_(x->-oo)(3x)/(-3x) =-1$
Cosa sbaglio?
La $x$ è negativa, dunque puoi portarla fuori dalla radice solo mettendoci un segno $-$ davanti.
Chiudo. A me il necroposting dà i brividi.
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