Limite in forma indeterminata
Ciao!
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Bisogna risolvere il limite senza l'applicazione di de l'Hopital, ma servendosi solo di scomposizioni.
Il limite è in forma indeterminata [size=85]$0/0$[/size]. Il risultato è $+infty$.
$\lim_{x \to \sqrt2^+} (x^2-2)/(x^2-2sqrt2 x +2)$
Ho scomposto il numeratore come prodotto di somma per differenza, e il denominatore come quadrato di binomio, ottenendo:
$\lim_{x \to \sqrt2^+}((x-sqrt2) (x+sqrt2))/((x-sqrt2)^2)$
Fatto ciò mi son bloccato...
Risposte
Non ti basta l' Hopital ?
Nell'esercizio è espressamente richiesto di risolverlo senza l'ausilio di l'Hopital.
Usa formula prostaferesi poi dividi denominatore per due ed infine usi limite notevole ...
Grazie.
In realtà avevo già provato con la formula di prostaferesi e da buon sbadato non mi sono accorto che potevo ricondurmi al limite notevole con un piccolo artificio al denominatore.
$ lim_ (x->pi/4) (cosx-cos(pi/4))/(x-pi/4) $
$=lim_ (x->pi/4) (-2sin((x+pi/4)/2) sin ((x-pi/4)/2))/(x-pi/4)$
$=lim_ (x->pi/4) (-2sin((x+pi/4)/2) sin ((x-pi/4)/2))/(((x-pi/4)/2)2)$
Applico il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x=1$ e ottengo:
$=lim_ (x->pi/4) (-2sin((x+pi/4)/2))/2$, dopodiché semplifico e avrò:
$=lim_ (x->pi/4) -sin((x+pi/4)/2) ->-sin(pi/4) = -sqrt(2)/2$
In realtà avevo già provato con la formula di prostaferesi e da buon sbadato non mi sono accorto che potevo ricondurmi al limite notevole con un piccolo artificio al denominatore.
$ lim_ (x->pi/4) (cosx-cos(pi/4))/(x-pi/4) $
$=lim_ (x->pi/4) (-2sin((x+pi/4)/2) sin ((x-pi/4)/2))/(x-pi/4)$
$=lim_ (x->pi/4) (-2sin((x+pi/4)/2) sin ((x-pi/4)/2))/(((x-pi/4)/2)2)$
Applico il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x=1$ e ottengo:
$=lim_ (x->pi/4) (-2sin((x+pi/4)/2))/2$, dopodiché semplifico e avrò:
$=lim_ (x->pi/4) -sin((x+pi/4)/2) ->-sin(pi/4) = -sqrt(2)/2$
Questo limite presenta una f.i. $0^0$. Con le $0^0$ non mi sono mai imbattuto fin'ora.
$lim_ (x->+infty) (1/(3x))^(1/log(4x))$
Trasformarlo in questo modo: [size=150]$e^(lim_ (x->+infty)1/log(4x)log(1/(3x)))$[/size] non mi sembra essere d'aiuto.
Qualche spunto per iniziare a risolverlo?
$lim_ (x->+infty) (1/(3x))^(1/log(4x))$
Trasformarlo in questo modo: [size=150]$e^(lim_ (x->+infty)1/log(4x)log(1/(3x)))$[/size] non mi sembra essere d'aiuto.
Qualche spunto per iniziare a risolverlo?
Perché no?
$e^(lim_ (x->+infty)1/log(4x)log(1/(3x)))=e^(lim_ (x->+infty)-log(3x)/log(4x))=e^(-lim_ (x->+infty) log(3x)/log(4x))$
$e^(lim_ (x->+infty)1/log(4x)log(1/(3x)))=e^(lim_ (x->+infty)-log(3x)/log(4x))=e^(-lim_ (x->+infty) log(3x)/log(4x))$
$lim_ (x->0^+) (sqrt(sin 3x))/(1-cosx)$
$=lim_ (x->0^+) ((sqrt(sin 3x)/(3x))3x)/(((1-cosx)/x^2)x^2)$
$=lim_ (x->0^+) (3x)/(1/2x^2) $
$=lim_ (x->0^+) (x(3))/(x(1/2x)) = +infty$
Fin qui sembra tutto ok, ma se al numeratore abbiamo un $sqrt(sen^3 3x)$, quindi:
$lim_ (x->0) (sqrt(sen^3 3x))/(1-cosx)$ e procediamo attraverso i limiti notevoli, otteniamo di nuovo una f.i. [size=85]$0/0$[/size].
Dobbiamo ricondurci a relazioni/formule goniometriche?
$=lim_ (x->0^+) ((sqrt(sin 3x)/(3x))3x)/(((1-cosx)/x^2)x^2)$
$=lim_ (x->0^+) (3x)/(1/2x^2) $
$=lim_ (x->0^+) (x(3))/(x(1/2x)) = +infty$
Fin qui sembra tutto ok, ma se al numeratore abbiamo un $sqrt(sen^3 3x)$, quindi:
$lim_ (x->0) (sqrt(sen^3 3x))/(1-cosx)$ e procediamo attraverso i limiti notevoli, otteniamo di nuovo una f.i. [size=85]$0/0$[/size].
Dobbiamo ricondurci a relazioni/formule goniometriche?
Prima di tutto $lim_(x -> 0^+) sqrt(sin(3x))/(3x) != 1$ ma puoi fare così
$ lim_(x -> 0^+) sqrt(sin(3x)/x) sqrtx = sqrt(3x) $ e aggiungendo quello che hai fatto sotto ottieni lo stesso risultato...ora puoi fare lo stesso per l'altro limite
$ lim_(x -> 0^+) sqrt(sin(3x)/x) sqrtx = sqrt(3x) $ e aggiungendo quello che hai fatto sotto ottieni lo stesso risultato...ora puoi fare lo stesso per l'altro limite
Confermi/confermate che così vanno bene?
Primo limite
Secondo limite
Primo limite
Secondo limite
Cancellato.
Ma non penso sia tutto sotto radice...e poi il limite notevole non è con il coseno al quadrato 
comunque anche wolfram dice infinito...
EDIT: forse ho capito: dal secondo al terzo passaggio togliendo $x^3$ dalla radice dovrebbe risulatare fuori soltanto $x$ non $x^2$
comunque anche wolfram dice infinito...EDIT: forse ho capito: dal secondo al terzo passaggio togliendo $x^3$ dalla radice dovrebbe risulatare fuori soltanto $x$ non $x^2$
Scusa hai ragione ho letto male il testo, cancello il mio post.
$lim_ (x->0) [log(1+6x)]^(arctan5x)$
$=$[size=150]$e^(lim_ (x->0) (arctan(5x)/x) x log[log(((1+6x)/(6x)) 6x)]$[/size]
$=$[size=150]$e^(lim_ (x->0) 5x log(1*6x)]$[/size]
A questo punto ho che il limite mi da $e^0$, se fosse stato con $x->0^+$, ma qui ho che $x->0$.
$=$[size=150]$e^(lim_ (x->0) (arctan(5x)/x) x log[log(((1+6x)/(6x)) 6x)]$[/size]
$=$[size=150]$e^(lim_ (x->0) 5x log(1*6x)]$[/size]
A questo punto ho che il limite mi da $e^0$, se fosse stato con $x->0^+$, ma qui ho che $x->0$.
Up.
Be' per ipotesi $log(1+6x)>0$ da cui $x>0$ quindi penso sia implicito che $x->0^+$
$lim_ (x->0) (x-tanx)/(sqrt(1+x^3)-1)$
Ho provato sia razionalizzando che riconducendomi ai limiti notevoli, ma non riesco ad arrivare al risultato [size=85]$(-2/3)$[/size].
Ho provato sia razionalizzando che riconducendomi ai limiti notevoli, ma non riesco ad arrivare al risultato [size=85]$(-2/3)$[/size].
Ciao, ti mostro un mio tentativo forse sbagliato:
$lim_(x -> 0) ((xcosx-sinx)/cosx)/(((1+x^3)^(1/2)-1)/x^3 *x^3) = lim_(x->0) 2/x^2 ((xcosx-sinx)/(xcosx))$
$lim_(x -> 0) 2/x^2(1-sinx/(xcosx))= lim_(x->0) 2/x^2(1-1/cosx) = lim_(x->0) 2/x^2((cosx-1)/cosx)$
$lim_(x -> 0) -2/cosx ((1-cosx)/x^2) = lim_(x -> 0) -2/cosx 1/2 = -1$
$lim_(x -> 0) ((xcosx-sinx)/cosx)/(((1+x^3)^(1/2)-1)/x^3 *x^3) = lim_(x->0) 2/x^2 ((xcosx-sinx)/(xcosx))$
$lim_(x -> 0) 2/x^2(1-sinx/(xcosx))= lim_(x->0) 2/x^2(1-1/cosx) = lim_(x->0) 2/x^2((cosx-1)/cosx)$
$lim_(x -> 0) -2/cosx ((1-cosx)/x^2) = lim_(x -> 0) -2/cosx 1/2 = -1$
Per la soluzione di questo limite non e' sufficiente l'uso dei limiti
notevoli, bisogna ricorrere necessariamente agli sviluppi in serie
di taylor , od al noto teorema del Marchese hopital.
Osservando che $sqrt (1+x^3)~(1+x^3/2)$ si può evitare di razionalizzare e si può riscrivere $lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(1+x^3/2-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)$
applicando hopital avremo $lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)=lim_(x->0)(-tan^2 (x))/(3x^2/2)$, ed osservando che $-tag^2 (x)~-x^2$, avremo ancora $lim_(x->0)(-x^2)×2/(3x^2)=-2/3$, che e' il valore esatto del limite proposto.
Se il limite fosse stato :
$lim (x+tanx)/((sqrt(1+x^3)-1)$ allora sarebbero stati sufficienti
i limiti notevoli (asintotici), infatti $sqrt(1+x^3)~1+x^3/2$ ed $tanx~x $, e sostituendo si ha $lim_(x->0)(x+tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0) (x+x)/(x^3/2)=lim_(x->0)(2x)×(2/x^3)=lim_(x->0)(4/x^2)=+infty$
notevoli, bisogna ricorrere necessariamente agli sviluppi in serie
di taylor , od al noto teorema del Marchese hopital.
Osservando che $sqrt (1+x^3)~(1+x^3/2)$ si può evitare di razionalizzare e si può riscrivere $lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(1+x^3/2-1)=lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)$
applicando hopital avremo $lim_(x->0)(x-tanx)/(x^3/2)=lim_(x->0)(-tan^2 (x))/(3x^2/2)$, ed osservando che $-tag^2 (x)~-x^2$, avremo ancora $lim_(x->0)(-x^2)×2/(3x^2)=-2/3$, che e' il valore esatto del limite proposto.
Se il limite fosse stato :
$lim (x+tanx)/((sqrt(1+x^3)-1)$ allora sarebbero stati sufficienti
i limiti notevoli (asintotici), infatti $sqrt(1+x^3)~1+x^3/2$ ed $tanx~x $, e sostituendo si ha $lim_(x->0)(x+tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0) (x+x)/(x^3/2)=lim_(x->0)(2x)×(2/x^3)=lim_(x->0)(4/x^2)=+infty$
x@Nukenin.
Volendo razionalizzare si ha :
$lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)((x-tanx)×( sqrt(1+x^3)+1))/((sqrt (1+x^3)-1)×(sqrt (1+x^3)+1))=lim_(x->0)((x-tanx)×(sqrt(1+x^3)+1))/(1+x^3-1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×lim_(x->0)(sqrt (1+x^3)+1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×2$,
a questo punto avendo ancora la forma indetetminata $0/0$ e potendo applicare il teorema di Hopital avremo $lim_(x->0)2×(x-tanx)/x^3=lim_(x->0)2×(-tan^2(x))/(3x^2)=-2×lim_(x->0)(tan^2 (x))/(3x^2)=(-2/3)×lim_(x->0 )(tanx /x)×lim_(x->0)(tanx/x)=(-2/3)×1×1=-2/3$
Avendo osservato che il limite notevole $lim_(x->0) tanx/x=1$;
Spero di essermi spiegato in modo chiaro.
Saluti!
Volendo razionalizzare si ha :
$lim_(x->0)(x-tanx)/(sqrt (1+x^3)-1)=lim_(x->0)((x-tanx)×( sqrt(1+x^3)+1))/((sqrt (1+x^3)-1)×(sqrt (1+x^3)+1))=lim_(x->0)((x-tanx)×(sqrt(1+x^3)+1))/(1+x^3-1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×lim_(x->0)(sqrt (1+x^3)+1)=lim_(x->0)((x-tanx)/x^3)×2$,
a questo punto avendo ancora la forma indetetminata $0/0$ e potendo applicare il teorema di Hopital avremo $lim_(x->0)2×(x-tanx)/x^3=lim_(x->0)2×(-tan^2(x))/(3x^2)=-2×lim_(x->0)(tan^2 (x))/(3x^2)=(-2/3)×lim_(x->0 )(tanx /x)×lim_(x->0)(tanx/x)=(-2/3)×1×1=-2/3$
Avendo osservato che il limite notevole $lim_(x->0) tanx/x=1$;
Spero di essermi spiegato in modo chiaro.
Saluti!
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