Identita' goniometriche

[Bad90]

Nello studio delle identita' goniometriche, non mi e' chiaro quando mi dice che se ho:

$ sen^2 alpha + cos^2 alpha =1 $ e $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $

si ha la condizione che $ alpha != 90^o + k180^o $

Quanto vale $ k $

[Zero87]

"Bad90":Quanto vale $ k $

$k$ è un intero (in genere dopo quella dicitura c'è scritto $k\in \ZZ$).

I valori $90^o$$+k\cdot 180^o$ sono quelli per i quali la tangente non è definita (in quanto sono quelli che annullano il coseno al denominatore).

[Bad90]

Ok, ma il mio testo non mi dice che deve essere in $ Z $ !
Comunque adesso ho compreso!

To ringrazio!

[Bad90]

Voglio capire come si risolvono le equazioni goniometriche....
Allora, dopo i primi paragrafi che ho studiato, sto cercando di capire un esercizio guidato:

$ sen 5x = sen ( 4x + 10^o) $

Il testo mi dice che si risolvono come le equazioni elementari, ok.
Il procedimento è il classico:

$ 5x = { ( 4x+10^o +k360^o ),( 180^o - 4x -10^o + k360^o ):} $


I passaggi li ho compresi perfettamente, solo che non sto ancora accettando le formule risolutive
Vuol dire che bisogna imparare a memoria queste

Come si arriva a queste formule

[giammaria2]

No, non occorre imparare a memoria le formule ma solo ragionare sul cerchio goniometrico. Se il seno è lo stesso, siamo alla stessa distanza dall'asse orizzontale, quindi o nello stesso punto (da cui la tua prima soluzione, ricordando che ad un punto corrispondono infiniti angoli, ottenibili con il $+k*360°$)) o nel suo supplementare (la seconda soluzione). Ragionamento analogo per i coseni, in cui siamo alle stessa distanza dall'asse verticale: o lo stesso punto, o quello cambiato di segno. Per la tangente è più comodo pensare che si ripete ogni angolo piatto.
Puoi anche aiutarti con gli angoli associati, chiedendoti in quale caso si ha la stessa funzione con lo stesso segno.

[Bad90]

"giammaria":No, non occorre imparare a memoria le formule ma solo ragionare sul cerchio goniometrico.

E si , adesso ho capito che non serve imparare a memoria queste tre formule risolutive!
Ancora per l'ennesima volta, in 4 riga, riesci a spianarmi la strada

Grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

[Bad90]

Esercizio 1

Verificare la seguente identità.

$ sen^4 alpha + cos^4 alpha = 1 - 2 sen^2 alpha cos^2 alpha $

Non sto riuscendo a verificare se è un'identità vera


Io penso che non sia verificata

[Bad90]

Esercizio 2

Verificare la seguente identità.

$ (1-cos alpha)/(1+cos alpha) = (1-2cos alpha)/(1-cos^2 alpha) + ctg^2 alpha $

Ho provato a risolvere il secondo membro ma mi sono impallato....

Allora, ho fatto così:

$ (1-2cos alpha)/(1-cos^2 alpha) + ctg^2 alpha $

$ (1-2cos alpha)/(1-cos^2 alpha) + 1/(tg^2 alpha) $

$ (1-2cos alpha)/(1-cos^2 alpha) + (cos^2 alpha)/(sen^2 alpha) $

$ (1-2cos alpha)/(1-1+sen^2 alpha) + (cos^2 alpha)/(sen^2 alpha) $

$ (1-2cos alpha)/(sen^2 alpha) + (cos^2 alpha)/(sen^2 alpha) $

E poi vedendo questo ultimo passaggio che ho scritto mi sono bloccato, pensando che l'identità non sia verificata!

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 2

$ (1-2cos alpha)/(1-cos^2 alpha) + ctg^2 alpha =$
$ (1-2cos alpha)/(1-cos^2 alpha) + (cos^2 alpha)/(sin^2 alpha) =$
$ (1-2cos alpha)/(1-cos^2 alpha) + (cos^2 alpha)/(1-cos^2 alpha) =$
$ (1-2cos alpha + cos^2 alpha)/(1-cos^2 alpha) =$
$ (1- cos alpha)^2/((1-cos alpha)(1+cos alpha)) =$
$ (1- cos alpha)/(1+cos alpha)$

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 1
..

$ sen^4 alpha + cos^4 alpha =$
$ (sen^4 alpha + cos^4 alpha +2sen^2 alpha cos^2 alpha) -2sen^2 alpha cos^2 alpha=$
$(sen^2 alpha + cos^2 alpha)^2-2sen^2 alpha cos^2 alpha=$
$(1)^2-2sen^2 alpha cos^2 alpha=1-2sen^2 alpha cos^2 alpha$.

[Bad90]

"chiaraotta":Esercizio 1

$ sen^4 alpha + cos^4 alpha =$

$ (sen^4 alpha + cos^4 alpha +2sen^2 alpha cos^2 alpha) -2sen^2 alpha cos^2 alpha=$

$(sen^2 alpha + cos^2 alpha)^2-2sen^2 alpha cos^2 alpha=$

$(1)^2-2sen^2 alpha cos^2 alpha=1-2sen^2 alpha cos^2 alpha$.

Ho capito ciò che hai fatto per risolverlo, ma se avessi dovuto pensarlo da solo non ci sarei riuscito
Come si chiama questo artificio risolutivo
Insomma a cosa dovrò pensare la prossima volta che vedo un esercizio tipo questo

[chiaraotta1]

Tieni sempre d'occhio dove devi arrivare ... a secondo membro c'era un doppio prodotto $2sen^2 alpha cos^2 alpha$, mentre a primo c'erano $sen^4 alpha$ e $cos^4 alpha$ che potevano essere i quadrati nello sviluppo del quadrato di un binomio.

[Bad90]

Esercizio 3

Questa identità mi stava dando problemi, ma alla fine penso di aver fatto bene, ecco quì:

$ (1+cos alpha)/(1-cos alpha) = (1+2cos alpha)/(sen^2 alpha) + (cos^2 alpha)/sen^2 alpha) $

Ho risolto il secondo membro e sono arrivato al seguente punto:

$ (1+cos alpha)^2/(sen^2 alpha) $

Poi ho fatto in questo modo:

$ (1+cos alpha)^2/(1-cos^2 alpha) $

$ (1+cos alpha)^2/(1-cos alpha)(1+cos alpha) $

$ (1+cos alpha)/(1-cos alpha) $

Va bene quanto ho fatto

[Bad90]

"chiaraotta":Che potevano essere i quadrati nello sviluppo del quadrato di un binomio.

Ok,

[giammaria2]

In generale, quando non vedi scorciatoie simili a quelle usate da Chiaraotta, cerca di avere sia a primo che a secondo membro solo il seno o solo il coseno. Ad esempio, nell'esercizio 2 potevi scrivere

$=(1-2cosalpha)/(1-cos^2 alpha)+(cos^2alpha )/(sin^2 alpha)=(1-2cosalpha)/(1-cos^2 alpha)+(cos^2alpha )/(1-cos^2alpha )=(1-2cosalpha +cos^2 alpha)/(1-cos^2 alpha)=...$
e continuare come ti ha scritto chiaraotta.
Anche nell'esercizio 1 potevi portare al solo seno o al solo coseno; lì dovevi però farlo in entrambi i membri.

Esercizio 3) Sì, va bene (attribuendo alcune cose a difficoltà col compilatore); ma non è identico all'esercizio 2?

[Bad90]

Perfetto!

[Bad90]

Mi sembra strano, ma ho fatto circa un 50 esercizi del tipo "Verificare le seguenti identità", ma è possibile che sono tutte verificate Non ho trovato una identità non verificabile e il che mi preoccupa

[giammaria2]

Salvo errori di stampa, è così in tutti i libri, in modo che gli studenti possano controllare l'esattezza dei loro calcoli.

[Bad90]

Perfetto!

[Bad90]

Sto cercando di verificare la seguente identità:

$ sen(450^o + alpha) - sen(270^o-alpha) = sen(450^o - alpha) - sen(270^o + alpha) $

Se non erro, questo $ sen(450^o + alpha) $ si potrà scrivere $ sen(90^o + alpha) $ giusto
Allora posso scrivere in questo modo

$ sen(90^o + alpha) - sen(270^o-alpha) = sen(90^o - alpha) - sen(270^o + alpha) $

E quindi risolvere in questo modo:

$ cos alpha + sen alpha = cos alpha + sen alpha $

Va bene così???

[giammaria2]

Bene fino all'ultima riga, che va corretta in
$cos alpha+cos alpha=cos alpha+cos alpha$