Identita' goniometriche
Nello studio delle identita' goniometriche, non mi e' chiaro quando mi dice che se ho:
$ sen^2 alpha + cos^2 alpha =1 $ e $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $
si ha la condizione che $ alpha != 90^o + k180^o $
Quanto vale $ k $
$ sen^2 alpha + cos^2 alpha =1 $ e $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $
si ha la condizione che $ alpha != 90^o + k180^o $
Quanto vale $ k $
Risposte
"Zero87":
Buonanotte a te e a tutti i forumisti
Buona notte
Esercizio 21
$ cosec^2 alpha/2 + cotg^2 alpha/2 = (cos alpha +3)/(1- cos alpha) $
Mi sono impallato!
Io ho fatto nel seguente modo:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
Solo che al primo membro sono arrivato a dire che:
$ (1+cos^2 beta)/(sen^2 beta) $ che non sara' mai lo stesso del secondo membro!
Cosa sto trascurando?
$ cosec^2 alpha/2 + cotg^2 alpha/2 = (cos alpha +3)/(1- cos alpha) $
Mi sono impallato!
Io ho fatto nel seguente modo:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
Solo che al primo membro sono arrivato a dire che:
$ (1+cos^2 beta)/(sen^2 beta) $ che non sara' mai lo stesso del secondo membro!
Cosa sto trascurando?
"Bad90":
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
Potresti, ad esempio, provare a riportarti ad $\alpha$ al primo membro servendoti delle formule di duplicazione, per esempio
$cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$ (idem per il denominatore)...
... oppure puoi riportarti a $\alpha/2$ al secondo membro sempre (applicandole "al contrario") con le formule di duplicazione.
Come ho detto in altri post (e si è visto in due risposte "contemporanee" una mia una di giammaria (a inizio pagina precedente) riguardo a un tuo esercizio, non esiste un unico modo per risolvere le identità. L'importante è provare ad applicare (in un senso o nell'altro) le solite formule: addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, ...
Ok, noto una non linearità nelle vie risolutive! Adesso provo a risolverlo! Ritornando al mio dubbio che non riesco a risolvere:
$ 1+cos^2alpha /2 $ voglio utilizzare la formula di duplicazione, allora non mi sta venendo in mente come fare...
$ cos 2alpha $ è una duplicazione, ma non capisco il collegamento che ha con la seguente $ 1+cos^2alpha /2 $
Credimi, ho fatto varie prove e nulla, sono andato a rivedere i concetti teorici, ma nulla nella mia testolina ha dato un giusto risultato](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
A pensare che questo è proprio l'ultimo esercizio e dico l'ultimo della serie!
Alla fine $ cos 2alpha = cos^2 alpha - sen^2 alpha$ ma poi non riesco ad arrivare ad una conclusione!
Aiutami a ragionare!
$ 1+cos^2alpha /2 $ voglio utilizzare la formula di duplicazione, allora non mi sta venendo in mente come fare...
$ cos 2alpha $ è una duplicazione, ma non capisco il collegamento che ha con la seguente $ 1+cos^2alpha /2 $
Credimi, ho fatto varie prove e nulla, sono andato a rivedere i concetti teorici, ma nulla nella mia testolina ha dato un giusto risultato
A pensare che questo è proprio l'ultimo esercizio e dico l'ultimo della serie!
Alla fine $ cos 2alpha = cos^2 alpha - sen^2 alpha$ ma poi non riesco ad arrivare ad una conclusione!
Aiutami a ragionare!
"Zero87":
Potresti, ad esempio, provare a riportarti ad $\alpha$ al primo membro servendoti delle formule di duplicazione, per esempio
$cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$ (idem per il denominatore)...
Guarda, provo a fartici arrivare (se ci riesco), così almeno afferri bene il concetto. Quella che ho lasciato "quotata" è la soluzione (quasi).
Le formule di duplicazione (così come le altre), valgono a prescindere dall'angolo. Cioè
$cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$
come avevo scritto io nel testo "quotato", ma è corretto anche
$cos(\alpha/15)=2cos^2(\alpha/30)-1$,
oppure
$cos(\sqrt(3) \alpha)=2cos^2(\sqrt(3)\alpha/2)-1$...
Potrei farti innumerevoli esempi, tutti uguali.
La formula "classica", infatti, è
$cos(2\alpha)=2cos^2(\alpha)-1$,
che, però, si può applicare a qualsiasi argomento possibile immaginabile di angolo (al posto di $\alpha$).
Quindi il suggerimento che ti ho dato era rivolto al fatto che avevi $cos^2(\alpha/2)$. Per rapportarti al $cos(\alpha)$ basta che usi la duplicazione avendo come angolo $\alpha/2$...
... dimmi se ora è più chiaro
Non mi e' chiaro!
Io so perfettamente che la formul di duplicazione e'
$ cos2alpha= 2cos^2 alpha-1 $
ma non riesco a capire il metodo che hai utilizzato
Senza farti perdere tempo, io vorrei capire questa uguaglianza:
$cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$
Questa uguaglianza e' il mio problema, quali sono gli step che dimostrano questa uguaglianza?
Ti ringarazio anticipatamente, ma voglio scoprire come si dimostra....
Io so perfettamente che la formul di duplicazione e'
$ cos2alpha= 2cos^2 alpha-1 $
ma non riesco a capire il metodo che hai utilizzato
Senza farti perdere tempo, io vorrei capire questa uguaglianza: $cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$
Questa uguaglianza e' il mio problema, quali sono gli step che dimostrano questa uguaglianza?
Ti ringarazio anticipatamente, ma voglio scoprire come si dimostra....
"Bad90":
Senza farti perdere tempo, io vorrei capire questa uguaglianza:
$cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$
Questa uguaglianza e' il mio problema, quali sono gli step che dimostrano questa uguaglianza?
Ti ringarazio anticipatamente, ma voglio scoprire come si dimostra....
Semplicemente considerando $\alpha/2$ al posto di $\alpha$. Quell'$\alpha$ che compare nelle formule è indicativo e vale per qualsiasi tipo di angolo.
Saro' io, ma non sto capendo 
Apparte il fatto dell'angolo............. Ma come puo' essere che $ cos alpha = 2cos^2alpha-1 $
Apparte il fatto dell'angolo............. Ma come puo' essere che $ cos alpha = 2cos^2alpha-1 $
Prova a fare come qui, ponendo $\beta=\alpha/2$.
Dov'è che ho scritto $cos^2 (\alpha)=2cos(\alpha)-1$?
Dov'è che ho scritto $cos^2 (\alpha)=2cos(\alpha)-1$?
"Bad90":
[-(
Cos'è successo? Ho fatto/detto qualcosa di sbagliato?
Se sì, scusami, non era mia intenzione.
"Zero87":
Cos'è successo? Ho fatto/detto qualcosa di sbagliato?
Se sì, scusami, non era mia intenzione.
No, no
, e io che non sto riuscendo a capire quel concetto che mi stai dicendo Gentilmente, potresti farmi vedere come fai a risolvere questa
$cos(\alpha)=2cos^2(\alpha/2)-1$
Non ci sto arrivando da solo
Allora, partiamo dalla formula della duplicazione che è
$cos(2x)=2cos^2 (x)-1$
[size=85](l'ho rivista su wikipedia
)[/size]
Ci sono più modi per esprimerla, però va bene quello (con gli altri vale lo stesso).
Ora, se a $x$ sostituisco $\alpha/2$ ottengo
$cos(2\cdot \frac{\alpha}{2})=2cos^2 (\alpha/2)-1$,
cioè
$cos(\alpha)=2cos^2 (\alpha/2)-1$.
Una tale sostituzione posso farla perché nella formula di duplicazione (e nelle altre), l'unico requisito è "$x=$ un angolo".
Se non ti senti sicuro, i passaggi intermedi falli tutti. Quando, però, hai acquisito una tale sicurezza da fare in modo che questa sostituzione sia "mentale", magari puoi anche evitarli (non perché sbagliati ma perché qualche professore potrebbe "storcere" il naso ).
$cos(2x)=2cos^2 (x)-1$
[size=85](l'ho rivista su wikipedia
)[/size]Ci sono più modi per esprimerla, però va bene quello (con gli altri vale lo stesso).
Ora, se a $x$ sostituisco $\alpha/2$ ottengo
$cos(2\cdot \frac{\alpha}{2})=2cos^2 (\alpha/2)-1$,
cioè
$cos(\alpha)=2cos^2 (\alpha/2)-1$.
Una tale sostituzione posso farla perché nella formula di duplicazione (e nelle altre), l'unico requisito è "$x=$ un angolo".
Se non ti senti sicuro, i passaggi intermedi falli tutti. Quando, però, hai acquisito una tale sicurezza da fare in modo che questa sostituzione sia "mentale", magari puoi anche evitarli (non perché sbagliati ma perché qualche professore potrebbe "storcere" il naso
).
"Zero87":
Allora, partiamo dalla formula della duplicazione che è
$cos(2x)=2cos^2 (x)-1$
[size=85](l'ho rivista su wikipedia
Ci sono più modi per esprimerla, però va bene quello (con gli altri vale lo stesso).
Ora, se a $x$ sostituisco $\alpha/2$ ottengo
$cos(2\cdot \frac{\alpha}{2})=2cos^2 (\alpha/2)-1$,
cioè
$cos(\alpha)=2cos^2 (\alpha/2)-1$.
Una tale sostituzione posso farla perché nella formula di duplicazione (e nelle altre), l'unico requisito è "$x=$ un angolo".
Se non ti senti sicuro, i passaggi intermedi falli tutti. Quando, però, hai acquisito una tale sicurezza da fare in modo che questa sostituzione sia "mentale", magari puoi anche evitarli (non perché sbagliati ma perché qualche professore potrebbe "storcere" il naso
Accipicchia, hai ragione
Ritornando sull'esercizio....
$ cosec^2 alpha/2 + cotg^2 alpha/2 = (cos alpha +3)/(1- cos alpha) $
Arrivo al seguente punto:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
Allora al secondo membro potrò fare in questo modo:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos (2*alpha/2) + 3)/(1- cos ((2*alpha)/2)) $
$ cosec^2 alpha/2 + cotg^2 alpha/2 = (cos alpha +3)/(1- cos alpha) $
Arrivo al seguente punto:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
Allora al secondo membro potrò fare in questo modo:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos (2*alpha/2) + 3)/(1- cos ((2*alpha)/2)) $
"Bad90":
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
Bene
.Quindi prova a esprimere $cos^2 (\alpha/2)$ in termini di $cos(\alpha)$.
Per carità, puoi anche esprimere $cos(\alpha)$ in termini di $cos(\alpha/2)$ al secondo membro, non è sbagliato. Però prova ad applicare quanto abbiamo detto.
"Zero87":
Quindi prova a esprimere $cos^2 (\alpha/2)$ in termini di $cos(\alpha)$.
Per carità, puoi anche esprimere $cos(\alpha)$ in termini di $cos(\alpha/2)$ al secondo membro, non è sbagliato. Però prova ad applicare quanto abbiamo detto.
Allora:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
$ (1+cos^2 alpha)/(sen^2 alpha)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
"Bad90":
Allora:
$ (1+cos^2 alpha/2)/(sen^2 alpha/2)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
$ (1+cos^2 alpha)/(sen^2 alpha)= (cos alpha + 3)/(1- cos alpha) $
Calma, calma, niente conclusioni affrettate.
Ricordati di queste ultime due pagine e della formula $cos(\alpha)=2cos^2 (\alpha/2)-1$.
EDIT.
So che non dovrei perché dovresti arrivarci tu, però abbiamo discusso tanto in queste ultime 2 pagine riguardo alle formula di duplicazione e di come applicarle. Prima di andare a dormire ti lascio questo accenno di risoluzione (vale una cosa simile - con i dovuti accorgimenti - per il $sin^2 (\alpha/2)$ al denominatore nel primo membro).
$1+cos^2 (\alpha/2) =1+(1+cos(\alpha))/2=\frac{3+cos(\alpha)}{2}$
nella quale ho applicato la formula di cui abbiamo lungamente discusso.
Lascio a te un'interpretazione "simile" per quanto riguarda il $sen^2 (\alpha/2)$ al denominatore. Ovviamente devi tenere a mente tutto quello che si è detto a riguardo delle formule di duplicazione. Non servono solo per passare da $\alpha$ a $2\alpha$ ma vanno bene per passare da qualsiasi angolo al suo doppio (quindi anche da $\alpha/2$ a $\alpha$).
'Notte
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