Identita' goniometriche

[Bad90]

Nello studio delle identita' goniometriche, non mi e' chiaro quando mi dice che se ho:

$ sen^2 alpha + cos^2 alpha =1 $ e $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $

si ha la condizione che $ alpha != 90^o + k180^o $

Quanto vale $ k $

[Bad90]

"giammaria":15) Cerca dove hai sbagliato (probabilmente nel trascrivere): a secondo membro io ottengo $(sin alpha)/(1+cos alpha)$
Continua poi usando le formule parametriche.

Infatti, sono riuscito a risolverlo:

$tg (alpha/2) = (sin alpha)/(1+cos alpha)$

$tg (alpha/2) = ((2t)/(1+t^2))/(1+(1-t)/(1+t^2))$

Arrivando poi a :

$tg (alpha/2) =tg (alpha/2)$

[Bad90]

"giammaria":

16 e 17) A secondo membro usa le formule di bisezione.

Che sbadato, in due passaggi si arriva alla soluzione , sapendo che le formule di bisezione sono le seguenti:

$ sen alpha /2 = +-sqrt((1-cos alpha)/2) $ mi sembra ovvio che allora $ sen^2 alpha /2 $ sarà $ sen^2 alpha /2 = (1-cos alpha)/2 $

[Bad90]

Esercizio 18

$ (1-cos alpha)/(1+cos alpha) = (1)/(cosec alpha + ctg alpha)^2 $

Inizio con il risolvere il secondo membro...

$ (1)/(cosec alpha + ctg alpha)^2 = (1)/(1/(sen alpha) + cos alpha/(sen alpha))^2 $

$ (1)/((1+ cos alpha)/(sen alpha))^2 = (1)/((1+ 2cos alpha+cos^2 alpha)/(sen^2 alpha)) $

$ (sen^2 alpha)/(1+ 2cos alpha+cos^2 alpha) $


Mi sa che conviene fare in questo modo.....

$ (sen alpha)^2/(1+cos alpha)^2 =(sen^2 alpha)/(1+cos alpha)^2 = (1-cos^2 alpha)/(1+cos alpha)^2 =((1-cos alpha)*(1+cos alpha))/((1+cos alpha)(1+cos alpha)) $

E allora

$ (1-cos alpha)/(1+cos alpha) $

[Zero87]

"Bad90": $ (1)/((1+ cos alpha)/(sen alpha))^2 =$ [...]

$= \frac{sin^2 (\alpha)}{(1+cos\alpha)^2}=\frac{sin^2 (\alpha)}{1+cos\alpha}\cdot \frac{1}{1+cos\alpha}=\frac{1-cos^2 (\alpha)}{1+cos\alpha}\cdot \frac{1}{1+cos\alpha}$...

il resto viene da sé...

Il consiglio che ti do - che però non è sempre valido - è frutto dell'esperienza (e delle imprecazioni che ho passato io da giovane di fronte a queste identità) è il seguente. Tante volte è utile "isolare" il denominatore o il numeratore se è uguale a quello dell'altro membro dell'identità.
Così ci si può concentrare su quello che resta in modo da trovare un procedimento per farselo riportare (in senso buono).

Non so se si è capito quello che ho detto, però pensa a quello che ho scritto così le mie parole avranno una logica (spero ).

EDIT. Ho visto che hai "editato" il messaggio e trovato la soluzione mentre scrivevo , meglio così allora se hai risolto. Tra l'altro è la stessa soluzione che ti avevo suggerito.

"Bad90":Mi sa che conviene fare in questo modo.....

$ (sen alpha)^2/(1+cos alpha)^2 =(sen^2 alpha)/(1+cos alpha)^2 =$ [...]

Buono studio

[Bad90]

"Zero87": Tante volte è utile "isolare" il denominatore o il numeratore se è uguale a quello dell'altro membro dell'identità.
Così ci si può concentrare su quello che resta in modo da trovare un procedimento per farselo riportare (in senso buono).

Bene a sapersi, adesso faccio qualche prova tenendo presente questo consiglio che mi hai dato! Più cose si sanno e meglio è

Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 19

$ sen (90^o + alpha) -cos^2 alpha/2 + sen^2 alpha/2 = 0 $

La prima cosa che mi è saltata in mente è di fare in questo modo:

$ sen (90^o + alpha) -1= 0 $

E proseguire poi in questo modo:

$ sen 90^o cos alpha + cos 90^o sen alpha -1 = 0 $

Ma solo che poi arrivo a questo punto:

$ cos alpha -1 = 0 $

E quindi non penso proprio che sia la soluzione.....

Adesso mi chiedo il perchè alcune regole non sono sempre applicabili Mi spiego.....
Se so che ho $ cos^2 alpha/2 + sen^2 alpha/2 $ penso che posso pensare a questo:

$ cos^2 beta + sen^2 beta $

Giusto

Non potrebbe pensarsi a questa $ cos^2 beta + sen^2 beta=1$

[Zero87]

"Bad90": $ sen (90^o + alpha) -cos^2 alpha/2 + sen^2 alpha/2 = 0 $

La prima cosa che mi è saltata in mente è di fare in questo modo:

$ sen (90^o + alpha) -1= 0 $

Attenzione ai segni. Il tuo passaggio sarebbe stato corretto se avessi avuto
$ sen (90^o + alpha) -cos^2 alpha/2 - sen^2 alpha/2 = 0 $ ...

(immagino, infatti, che volessi sfruttare l'identità $cos^2 (\alpha/2) + sin^2 (\alpha/2) =1$).

Poi puoi operare come ti pare, personalmente toglierei quel fastidioso $90^o + \alpha$ facendo appello a qualche arco associato...

[Bad90]

"Zero87":

Personalmente toglierei quel fastidioso $90^o + \alpha$ facendo appello a qualche arco associato...

Ok, allora:

$ sen (90^o + alpha) -cos^2 alpha/2 + sen^2 alpha/2 = 0 $

$ cos alpha -cos^2 alpha/2 + sen^2 alpha/2 = 0 $

Allora:

$ cos alpha -(1+cosalpha)/2 + (1-cosalpha)/2= 0 $

$ (2cos alpha -1-cosalpha + 1-cosalpha)/2= 0 $

[Bad90]

Esercizio 20

$ 2cos^2 (45^o + alpha/2) =1-sen alpha $

Cosa mi conviene fare

Provo in questo modo:

$ 2(cos^2 45^o cos^2 (alpha/2)- sen^2 45^o sen^2 (alpha/2) ) =1-sen alpha $

Solo che non ricordo di essermi trovato in una circostanza tipo $cos^2 45^o$, oppure si può fare così?

$cos^2 45^o = (cos 45^o)^2 = (sqrt(2)/2)^2 = 2/4 = 1/2$

E allora

$ 2(1/2* cos^2 (alpha/2)- 1/2* sen^2 (alpha/2) ) =1-sen alpha $

$cos^2 (alpha/2)- sen^2 (alpha/2) =1-sen alpha $

[giammaria2]

Hai già dimenticato il tuo orgoglio di qualche giorno fa, quando hai scoperto che le formule di addizione si elevano a quadrato con la regola $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$?
Il modo migliore di fare i calcoli è il seguente (scrivo solo il pezzetto che hai sbagliato):
$cos^2(45°+alpha/2)=(cos 45° cos \frac alpha 2 -sin45° sin \frac alpha 2)^2=(1/sqrt2 cos\frac alpha 2 -1/sqrt2 sin \frac alpha 2)^2=$

$=1/2cos^2 \frac alpha 2-sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 +1/2 sin^2 \frac alpha 2$
In vista dell'elevazione a quadrato, per seno e coseno di 45° ho preferito la forma non razionalizzata $1/sqrt2$ ma se vuoi puoi anche usare la solita $sqrt2/2$: dovrai solo fare una semplificazione successiva.
Quanto all'ultima domanda, la tua risposta è giusta.

[Zero87]

"Bad90":Esercizio 20

$ 2cos^2 (45^o + alpha/2) =1-sen alpha $

Sicuramente, andando avanti nel tuo metodo, l'identità riporterà (se è un'identità, prima o poi verrà fuori, no?). ($^1$).

Tuttavia, quell'$\alpha/2$ nell'argomento del coseno mi suggerisce di riportarti alla seguente formula:

$cos^2(\beta)= \frac{1+cos(2\beta)}{2}$
nel nostro caso $\beta=45^o +\alpha/2$ a "occhio", dovrebbe andare.

... Un altro consiglio è quello di rapportarsi allo stesso angolo ai due membri nelle identità (se hai $\alpha$ da una parte e $2\alpha$ dall'altra è meglio riportarsi a $\alpha$ o a $2\alpha$): ovviamente l'angolo da scegliere come "comun denominatore" va a occhio.

I due consigli che ti ho dato in 2 post (questo e qualche post fa), li ho presi dalla mia esperienza e non mi hanno deluso più di tanto in passato. Ovviamente non sono "leggi", quindi possono anche non riportare (soprattutto nelle identità "chilometriche" quelle che se sbagli una sostituzione finisci dopodomani...)

PS. Google mi ha appena fatto saltare fuori questo. Gli ho dato una sfogliata e non mi pare niente male: dato che è di casa lo inserisco anche nel compendio che sta sulla secondaria di secondo grado.

EDIT.
($^1$) Mentre rispondevo ha risposto giammaria dimostrando vale quello che ho detto: se è un'identità a prescindere dal metodo, prima o poi verrà fuori...

[Bad90]

Ok, ho scaricato il pdf, non mi sembra per niente male!
Ti ringrazio Zero87

[Bad90]

"giammaria":Hai già dimenticato il tuo orgoglio di qualche giorno fa, quando hai scoperto che le formule di addizione si elevano a quadrato con la regola $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$?

No, no solo che non ero sicuro e infatti ho sbagliato ad utilizzarla, tutto quì

$f^2(x)$ significa $[f(x)]^2$
Quindi $sin^2(alpha+beta)= [sin(alpha+beta)]^2$. E siccome $sin(alpha+beta)= sinalphacosbeta+cosalphasinbeta$ (che è un binomio), abbiamo un quadrato di un binomio.

"giammaria":
Quanto all'ultima domanda, la tua risposta è giusta.

Perfetto!

Comunque, tanto per continuare con questo metodo:

$2*[1/2cos^2 \frac alpha 2-sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 +1/2 sin^2 \frac alpha 2] = 1-sen alpha$

$cos^2 \frac alpha 2- 2sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 +sin^2 \frac alpha 2 = 1-sen alpha$

Ma con questo come faccio ad arrivare alla soluzione

Accipicchia, sarà banale, ma mi sono impallato

HELPPPPPPPPPP

[Zero87]

"Bad90":$cos^2 \frac alpha 2- 2sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 +sin^2 \frac alpha 2 = 1-sen alpha$

$(cos^2 \frac alpha 2 + sin^2 \frac alpha 2 )- 2sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 = 1-sen alpha$...

[Bad90]

"Zero87":

$(cos^2 \frac alpha 2 + sin^2 \frac alpha 2 )- 2sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 = 1-sen alpha$...

Ok, ma come farà ad essere uguale al secondo membro

$1- 2sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 = 1-sen alpha$

E poi

[Zero87]

"Bad90":Ok, ma come farà ad essere uguale al secondo membro

$1- 2sin \frac alpha 2 cos\frac alpha 2 = 1-sen alpha$

E poi

Se invece di $\alpha/2$ ci fosse un $\beta$ qualsiasi, non ti ricorderebbe nulla $2sin(\beta) cos(\beta)$?

Il consiglio "umano" è quello di non abbatterti; cerca di essere un po' più sicuro di te e dei tuoi mezzi

[Bad90]

"Zero87":

Se invece di $\alpha/2$ ci fosse un $\beta$ qualsiasi, non ti ricorderebbe nulla $2sin(\beta) cos(\beta)$?

E si ho provato a fare così, cioè:

$ 2sen beta cosbeta = sen 2beta $

Solo che poi si ottiene che

$1- sen 2beta= 1-sen alpha$

E non penso che siano la stessa cosa

[Zero87]

"Bad90":$1- sen 2beta= 1-sen alpha$

E non penso che siano la stessa cosa

Il mio $\beta$ era solo a scopo "illustrativo" tanto per dire, "se era un angolo qualsiasi, cosa veniva fuori?".

Comunque dato che l'hai utilizzato... ricorda che nel tuo caso $\beta=\alpha/2$, quindi hai finito ugualmente no?
(con qualche passaggio in più proprio perché il mio "$\beta$" era a scopo illustrativo)

[Bad90]

"Zero87": quindi hai finito ugualmente no?

Accipicchia, vuoi dire questo

$1- sen 2beta= 1-sen alpha $

$1- sen 2 alpha/2= 1-sen alpha = $

Giusto

[Zero87]

"Bad90":Accipicchia, vuoi dire questo

$1- sen 2beta= 1-sen alpha $

$1- sen 2 alpha/2= 1-sen alpha = $

Giusto

Sì, infatti.

Come ho detto prima il mio $\beta$ era "figurativo" e serviva solamente per dare l'idea, però dato che l'hai usato il punto è proprio quello.

Buonanotte a te e a tutti i forumisti