Identita' goniometriche

[Bad90]

Nello studio delle identita' goniometriche, non mi e' chiaro quando mi dice che se ho:

$ sen^2 alpha + cos^2 alpha =1 $ e $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $

si ha la condizione che $ alpha != 90^o + k180^o $

Quanto vale $ k $

[Bad90]

"giammaria":Bene fino all'ultima riga, che va corretta in
$cos alpha+cos alpha=cos alpha+cos alpha$

Non capisco l'errore che ho commesso!

[Bad90]

Esercizio 4

Nel verificare l'identità di due espressioni, mi sono trovato in questo:

$ (sen(-alpha) + cos(-alpha))/(tg(-alpha)-cotg(-alpha)) $

Ho pensato di eseguire i seguenti step:

$ (cos alpha -sen alpha)/((1)/(tg alpha)-tgalpha) $

Arrivando a questa:

$ (cos alpha -sen alpha)/((cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(sen alpha cos alpha)) $

Adesso, faccio ciò che segue, penso si possa fare :

$ ((cos alpha -sen alpha)(sen alpha cos alpha))/(cos^2 alpha - sen^2 alpha) $

$ ((cos alpha -sen alpha)(sen alpha cos alpha))/((cos alpha - sen alpha)*(cos alpha + sen alpha)) $

Ottenendo questo:

$ (sen alpha cos alpha)/(cos alpha + sen alpha) $

Si può fare

[Bad90]

Penso di aver problemi quando ho gli angoli in cui compare $ (270+- alpha) $ ....
Allora, $ sen(270^o - alpha) $ penso sia lo stesso di $ sen(180^o + alpha) $ e allora se così è, penso sia giusto dire che $ sen(180^o + alpha) = -sen alpha $ . Giusto

[chiaraotta1]

Puoi anche pensare che $270°=360°-90°$. Per cui
$sen(270° - alpha) =sen[(360°-90°)-alpha]=sen[360°-90°-alpha]=$
$sen(-90°-alpha)=-sen(90°+alpha)=-cos alpha$.

[Bad90]

Mentre se ho $ cos ( 270^o - alpha) $ allora potrò pensare a questo?

$270°=360°-90°$
$cos(270° - alpha) =cos [(360°-90°)-alpha]= cos[360°-90°-alpha]=$
$cos (-90°-alpha)=-cos (90°+alpha)=sen alpha$

Giusto

[Bad90]

Sempre nell'identità precedente dell' Esercizio 4, l'espressione completa è:

$ (sen(-alpha) + cos(-alpha))/(tg(-alpha)-cotg(-alpha)) = (sen(90^o + alpha) + cos(270^o - alpha))/(cotg(180^o + alpha)+tg(360^o -alpha)) $

Non so cosa ho sbagliato, comunque sono arrivato al seguente risultato:

$ (sen alpha cos alpha)/(cos alpha + sen alpha) = (sen alpha cos alpha)/(cos alpha - sen alpha) $

Può essere che il mio risultato sia giusto, oppure no, il fatto è che di 1000 esercizi del genere che ho fatto, questo è il primo che non mi risulta verificato

[Bad90]

Esercizio 5

Adesso sto risolvendo questo:

$ 2sen(180^o + alpha) - sen ( alpha - 180^o) + 3sen(360^o - alpha) + 4 sen alpha = 0 $

Ma quando incontro un caso tipo $ 2sen(180^o + alpha) $ mi conviene lasciarlo stare così, oppure mi conviene fare questo? $ sen(180^o + alpha)+sen(180^o + alpha) $ e poi continuare i calcoli

In attesa di una conferma, io comincio a risolverlo in questo modo:

$ 2*(-sen alpha) + sen ( 180^o - alpha) + 3*(-sen alpha) + 4 sen alpha = 0 $

$ -2 sen alpha + sen alpha - 3 sen alpha + 4 sen alpha = 0 $

$ 0 = 0 $

[chiaraotta1]

"Bad90":....
$cos (-90°-alpha)=-cos (90°+alpha)...$

Giusto

No,
mentre
$sen(-x)=-sen(x)$,
invece
$cos(-x)=cos(x)$.
Per cui
$cos (-90°-alpha)=cos (90°+alpha)$

[Bad90]

"chiaraotta":
Per cui
$cos (-90°-alpha)=cos (90°+alpha)$

Accipicchia che sbadato
Però fin quì ho compreso:

$sen(-x)=-sen(x)$
invece
$cos(-x)=cos(x)$

Mentre poi quando bisogna fare questo ragionamento mi impallo....

$cos (-90°-alpha)=cos (90°+alpha)$

Scusa, ma perchè non posso tirare fuori quel segno meno in questo modo?

$cos (-90°-alpha)= - cos (90°+alpha)$

Il fatto che sia $ cos ( -alpha) = cos alpha $ mi è chiaro, solo che non mi è chiaro il fatto che non si può tirar fuori il segno meno

[giammaria2]

Nell'esercizio 4 hai sbagliato il secondo membro; usando le formule degli associati esso diventa
$(cos alpha- sin alpha )/(cotg alpha -tg alpha )$
e continui poi in modo simile a quanto hai fatto nel primo membro.
Per $ cos( 270°-alpha)$ puoi fare il ragionamento di chiaraotta oppure questo: 270=90*3, e 3 è dispari: quindi è un associato di secondo tipo, e il coseno diventa seno. Siamo nel terzo quadrante, in cui il coseno è negativo, quindi $cos(270°-alpha )=-sinalpha $. Ragionamento simile nell'altro esercizio, in cui non capivi la mia correzione.

L'esercizio 5 va bene.

[Bad90]

"giammaria":oppure questo: 270=90*3, e 3 è dispari: quindi è un associato di secondo tipo, e il coseno diventa seno.

Non sto ricordando questo punto Insomma il passaggio 270=90*3, non mi viene in mente e nemmeno il fatto che è un associato di secondo tipo......

[Bad90]

Esercizio 5

Questo che segue è un esercizio guidato, ma essendo il primo non sto capendo i passaggi risolutivi

Bisogna verificare le identità:

$ cos(120^o + alpha)cos alpha + sen (alpha - 30^o)cos alpha = - cos^2 alpha $

Il testo mi fa questi step:

$ (cos120^o cos alpha -sen120^o sen alpha) cos alpha + (sen alpha cos 30^o - cos^alpha sen 30^o) cos alpha .........$

E già mi sono perso

Come ha fatto a fare il seguente step?

$ (cos120^o cos alpha -sen120^o sen alpha) cos alpha + (sen alpha cos 30^o - cos^alpha sen 30^o) cos alpha....... $

[giammaria2]

Esercizio 5) Ha solo usato le formule di somma e sottrazione; per prima la $cos(alpha+beta)=cos alpha cos beta-sin alpha sinbeta$. Volendo, avrebbe potuto usarle anche negli esercizi precedenti; lì però era più veloce pensare agli associati.

Per quanto riguarda il 270°, ti ripeto quello che ti avevo già detto in passato; ti avviso che molti libri usano nomenclature un po' diverse dalla mia. Ci sono associati di due tipi:
- il primo tipo si ha per gli angoli del tipo $k*180°+-alpha$, dove $k$ è un qualsiasi intero, anche negativo. Per questo tipo il seno resta seno e simili;
- il secondo tipo si ha per gli angoli del tipo $k*90°+-alpha$, dove $k$ è un intero dispari (se fosse pari, ricadremmo nel primo tipo perché avremmo un multiplo di 180°). Per questo tipo il seno diventa coseno, la tangente diventa cotangente e viceversa.
Per entrambi i tipi bisogna chiedersi in che quadrante è l'angolo e mettere il segno che la funzione iniziale aveva in quel quadrante.

[Bad90]

Ok, adesso vedo di schiarirmi le idee
E' vero, adesso ricordo questi ccincetti che mi hai detto qualche tempo fa! Delle volte dimentico per le troppe cose che studio! Per fortuna che ho te che mi aiuti a ricordare

Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 6

Ho risolto il seguente esercizio, cioè verificare le seguenti identità:

$ sen(alpha + 120^o)cos 30^o -sen(alpha + 240^o)cos30^o = 3/2cosalpha $

Se devo verificare l'identità, ciò che è al primo membro, dovrà essere al secondo membro e allora ho risolto singolarmente gli angoli, utilizzando le formule di addizione ......

$ sen(alpha + 120^o) = senalpha cos120^o + cosalphasen120^o $
$ sen(alpha + 240^o) = senalpha cos240^o + cosalphasen240^o $

$ (senalpha cos120^o + cosalphasen120^o)cos30^o-(senalpha cos240^o + cosalphasen240^o)cos30^o=3/2cosalpha $

Utilizzando gli associati, allora avrò:

$ cos120^o => cos(90^o + alpha) =>-senalpha => -sen30 = -1/2 $
$ sen120^o => sen(90^o + alpha) => cosalpha => cos30 = (sqrt(3))/2 $
$ cos240^o => cos(180^o + alpha) =>-cosalpha => -cos60 = -1/2 $
$ sen240^o => sen(180^o + alpha) => -senalpha => -sen60 = -(sqrt(3))/2 $

Adesso riporto i valori trovati nell'espressione:

$ (senalpha*(-1/2) + cosalpha*((sqrt(3))/2))*(sqrt(3))/2-(senalpha*(-1/2) + cosalpha*(-(sqrt(3))/2))*((sqrt(3))/2)=3/2cosalpha $

Adesso semplificando arrivo alla soluzione che è verificata ma non so se ho fatto tutto bene , ecco quì:

$ 3/4cos - sen(sqrt(3))/4+ sen(sqrt(3))/4 + 3/4cos = 3/2cos alpha $

$ 2*3/4 cos = 3/2cos alpha $

$ 3/2 cos = 3/2cos alpha $

Dite che la procedura risolutiva sia quella giusta

[Bad90]

Esercizio 7

E in questa come conviene fare

$ cos alpha -sen alpha = sqrt(2) cos (alpha+45^o) = sqrt(2) sen(45^o - alpha) $

Quì ho tre membri e l'unica cosa che mi viene di fare e portarla a due membri nel seguente modo:

$ cos alpha -sen alpha - sqrt(2) cos (alpha+45^o) = sqrt(2) sen(45^o - alpha) $

Si può fare

Poi con quel $ sqrt(2) $ che precede $ cos (alpha+45^o) $ si può trattarlo in questo modo?

$ sqrt(2) cos (alpha+45^o) = sqrt(2)cosalphasqrt(2)cos45^o - sqrt(2)sen alphasqrt(2)sen 45^o $

Comunque con questa procedura, non sono riuscito a risolverlo, HELP!!!!

[Gi81]

No, in questo esercizio 7 molte cose che hai scritto non vanno bene.

Partiamo dal principio: conosci la formula di addizione del coseno?
Cioè mi sai dire quanto fa $cos(alpha+beta)$?

[Bad90]

"Gi8":
Cioè mi sai dire quanto fa $cos(alpha+beta)$

$ cos(alpha + beta) = cosalpha cosbeta - senalpha sen beta $

Queste le so a memoria, ma sicuramente ho sbagliato qualche step risolutivo di questo tipo di esercizi!
Mi sa che il mio errore è stato di considerare quel $ sqrt(2) $ nella formula di addizione del coseno, penso proprio che avrei dovuto lasciarlo fuori!

[Gi81]

Ok. Ora mi scrivi quanto fa $sqrt2 *cos(alpha+45)$? Viene proprio uguale a $cos(alpha)-sin(alpha)$?

[Bad90]

"Gi8":Ok. Ora mi scrivi quanto fa $sqrt2 *cos(alpha+45)$ Viene proprio uguale a $cos(alpha)-sin(alpha)$?

E che si e proprio quello che ho sbagliato, quel $sqrt2 $ mi ha fregato, allora:

$ sqrt2 *cos(alpha+45) = sqrt2 * (cos alphacos45^o - sen alpha sen45^o) $

$ sqrt2 *cos(alpha+45) = sqrt2 * (cos alpha*(sqrt2)/2 - sen alpha*(sqrt2)/2) $

$ sqrt2 *cos(alpha+45) = cos alpha - sen alpha $

Hai ragione e ti ringrazio che mi hai fatto ragionare!