Identita' goniometriche

[Bad90]

Nello studio delle identita' goniometriche, non mi e' chiaro quando mi dice che se ho:

$ sen^2 alpha + cos^2 alpha =1 $ e $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $

si ha la condizione che $ alpha != 90^o + k180^o $

Quanto vale $ k $

[Sk_Anonymous]

Pure qua ti trovo!

[Bad90]

"navigatore":Pure qua ti trovo!

E si
Sto studiando due materie, Fisica e Trigonometria, vettori e numeri complessi
Possiedo il dono della bilocazione!!!!!!

[Bad90]

Esercizio 8

Devo verificare la seguente identità utilizzando le formule di bisezione e duplicazione:

$ cos^4 alpha - sen^4 alpha = cos2alpha $

Mi è venuto in mente di risolvere il primo membro sfruttando il quadrato di un binomio:

$ (cos^2 alpha - sen^2 alpha)(cos^2 alpha + sen^2 alpha) = cos2alpha $

Ma non sono riuscito a risolverlo immediatamente perchè sono arrivato a questo:

$ 2cos^2 alpha - 1 = cos2alpha $

Per risolverlo in questo caso, bisogna anche andare a risolvere il secondo membro a differenza dei tanti esercizi che ho fatto fino ad adesso.....
Penso proprio che sia lecito trovare un punto di incontro tra primo e secondo membro
Giusto

[Zero87]

"Bad90":$ (cos^2 alpha - sen^2 alpha)(cos^2 alpha + sen^2 alpha) = cos2alpha $

Parti da questa e pensa ad uno dei vari modi di esprimere $cos(2\alpha)$...
... ovviamente devi pure pensare a "quanto fa" $cos^2 (\alpha)+sin^2 (\alpha)$

PS. Vedrai che dopo tanti esercizi svilupperai - inconsapevolmente - un certo "occhio" per certi passaggi.

EDIT. Non ci avevo fatto caso all'ultima parte del messaggio

"Bad90":Ma non sono riuscito a risolverlo immediatamente perchè sono arrivato a questo:

$ 2cos^2 alpha - 1 = cos2alpha $

arrivato fin qui hai finito... Ricordati, come ho detto nel messaggio "pensa a uno dei vari modi di esprimere $cos(2 \alpha)$".

[Bad90]

Ok, ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 9

$ cos^4 alpha + sen^4 alpha = 1-1/2sen^2alpha $

Come posso risolverlo? Piu' che altro il primo membro e' paragonabile a $ A^4 + B^4 $ , giusto? A quanto equivale in questo caso?

Sono riuscito a risolverlo perche' ho ottenuto $ 1=1 $ , ok, ma a quanto equivale $ A^4 + B^4 $

[chiaraotta1]

"Bad90":Esercizio 9

$ cos^4 alpha + sen^4 alpha = 1-1/2sen^2alpha $
....

Non è un'identità: per esempio, per $alpha=pi/2$, trovi che
$ cos^4 alpha + sen^4 alpha= cos^4 pi/2 + sen^4 pi/2=0^4+1^4=1$
mentre
$1-1/2sen^2alpha =1-1/2*1^2=1-1/2=1/2$.

[Bad90]

Scusami, ho sbagliato a scrivere, ecco la traccia corretta:

$ cos^4 alpha + sen^4 alpha = 1-1/2sen 2alpha $

[giammaria2]

Anche questa non è un'identità, come puoi verificare con $alpha=30°$.
Il primo membro è $cos^4 30°+sin^4 30°=(sqrt3/2)^4+(1/2)^4=9/16+1/16=10/16=5/8$
mentre il secondo è $1-1/2sin(2*30°)=1-1/2sin 60°=1-1/2*sqrt3/2=1-sqrt3/4$

Si ha invece
$cos^4 alpha+sin^4alpha =(cos^2alpha +sin^2 alpha)^2-2sin^2alpha cos^2alpha =1^2-1/2(2sinalpha cos alpha)^2=1-1/2 sin^2 2alpha$

[chiaraotta1]

Forse è
$ cos^4 alpha + sen^4 alpha = 1-1/2sen^2(2alpha) $

[Bad90]

Ok, allora non e' un'identita'

[Bad90]

Esercizio 10

$ (cos2alpha)/(cosalpha + senalpha) + (sen2alpha)/(cos alpha - senalpha) = (1)/(2cos45^o cos(45^o +alpha)) $
Sono riuscito a risolverlo e spero non sia una casualita', questa e' un'identita'!

[Bad90]

Esercizio 11
Adesso mi sto imbattendo con questa:

$ (cosalpha)/(sen^3 alpha)+(sen alpha)/(cos^3alpha) = 4*(1-cos^2 2alpha)/(sen^3 2alpha) $

Il testo mi consiglia di utilizzare le formule di bisezione e duplicazione, ma non sto riuscendo a venirne a capo di questo esercizio!
Help!!!!!

[Bad90]

"chiaraotta":Forse è
$ cos^4 alpha + sen^4 alpha = 1-1/2sen^2(2alpha) $

Se faccio i calcoli con questa traccia che mi hai dato tu, allora riesco a dire che e' un'identita'! Questa si che e' verificata!

[chiaraotta1]

$ (cosalpha)/(sen^3 alpha)+(sen alpha)/(cos^3alpha) = 4*(1-cos^2 2alpha)/(sen^3 2alpha) $
non è un'identità.
Invece
$ (cosalpha)/(sen^3 alpha)+(sen alpha)/(cos^3alpha) = 4*(1+cos^2 2alpha)/(sen^3 2alpha) $
lo è.

[giammaria2]

Esercizio 11
Concordo con la correzione di chiaraotta.
Per verificare l'identità, a primo membro comincia a dare denominatore comune. Vuoi poi ottenere l'angolo $2 alpha$ ed a questo scopo fai ragionamenti simili a quelli che scrivo (lascio a te la vera soluzione dell'esercizio)

- per la bisezione: $sin^4 x=(sin^2 x)^2=((1-cos2x)/2)^2=(1-2cos2x+cos^2 2x)/4$

- per la duplicazione: $sin^2 xcos^2x=1/4(2sinxcosx)^2=1/4sin^2 2x$

[Bad90]

"giammaria":Esercizio 11

- per la duplicazione: $sin^2 xcos^2x=1/4(2sinxcosx)^2=1/4sin^2 2x$

Riesco a comprendere gli artifici fatti, ma non capisco cosa è che ti fa comprendere di utilizzare le formule di duplicazione

Cosa ti fa capire che devi operare in questo modo

Iniziando da questa:

$sin^2 xcos^2x$

Tu hai pensato a fare i calcoli in modo inverso, giusto
Allora hai detto, questo:

$sin^2 xcos^2x=1/4(2sinxcosx)^2$

Per poi alla fine fermarti a questo:

$1/4sin^2 2x$

Ma come hai fatto ad intuire che bisogna operare così

[Bad90]

Provo a postare i passaggi:

$ (cosalpha)/(sen^3 alpha)+(sen alpha)/(cos^3alpha) = 4*(1+cos^2 2alpha)/(sen^3 2alpha) $

$ (cos^3alphacos alpha+sen^3 alphasen alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 4*(1+cos^2(alpha+alpha))/(sen^3 (alpha+alpha)) $

$ (cos^4alpha+sen^4 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 4*(1+cos^2alphacos^2alpha-sen^2alphasen^2alpha)/(sen^3alphacos^3alpha+sen^3alphacos^3alpha) $

$ (cos^4alpha+sen^4 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 4*(1+cos^4alpha-sen^4alpha)/(2sen^3alphacos^3alpha) $

$ (cos^4alpha+sen^4 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 2*(1+cos^4alpha-sen^4alpha)/(sen^3alphacos^3alpha) $

$ (cos^4alpha+1-cos^4 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = (2+2cos^4alpha-2sen^4alpha)/(sen^3alphacos^3alpha) $

$ (1)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = (2+2cos^4alpha-2(1-cos^4alpha))/(sen^3alphacos^3alpha) $

$ (1)/(sen^3 alphacos^3alpha) = ((2+2cos^4alpha-2+2cos^4alpha))/(sen^3alphacos^3alpha) $

$ (1)/(sen^3 alphacos^3alpha) = ((2cos^4alpha+2cos^4alpha))/(sen^3alphacos^3alpha) $

$ (1)/(sen^3 alphacos^3alpha) = (4cos^4alpha)/(sen^3alphacos^3alpha) $

E adesso prendo il numeratore del secondo membro, e cerco di farlo diventare $ 1 $ , giusto

$ (2cos^2alpha)^2 = [2*(1-sen^2alpha)]^2=[2-2sen^2alpha]^2 $

E poi non penso che arriverò alla soluzione

[giammaria2]

Comincio col correggere due brutti errori.

Non è vero che $sin^4 alpha=1-cos^4 alpha$; il calcolo giusto è
$sin^4 alpha=(sin^2 alpha)^2=(1-cos^2 alpha)^2=1-2cos^2 alpha+ cos^4 alpha$

Analogamente non è vero che $cos^2 2alpha =cos^4 alpha-sin^4 alpha$; invece
$cos^2 2alpha =(cos^2 alpha-sin^2 alpha)^2=cos^4alpha -2sin^2alpha cos^2alpha +sin^4alpha $

Mi chiedi come ho fatto a capire di operare in quel modo: quando vedo il prodotto fra un seno ed un coseno, con lo stesso argomento, mi chiedo subito se è opportuno usare a rovescio la formula di duplicazione del seno e, se decido per il sì, faccio comparire il 2 mancante col giochetto di moltiplicare e dividere per esso. Nel tuo caso c'erano anche degli esponenti ma erano uguali, quindi potevo mettere il tutto in una stessa parentesi.

[Bad90]

Ok, adesso ho le idee più chiare! Ora continuo a fare esercizi tipo questo per acquisire sicurezza