Identita' goniometriche

[Bad90]

Nello studio delle identita' goniometriche, non mi e' chiaro quando mi dice che se ho:

$ sen^2 alpha + cos^2 alpha =1 $ e $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $

si ha la condizione che $ alpha != 90^o + k180^o $

Quanto vale $ k $

[Bad90]

Risprovo a fare i calcoli:

$ (cosalpha)/(sen^3 alpha)+(sen alpha)/(cos^3alpha) = 4*(1+cos^2 2alpha)/(sen^3 2alpha) $

$ (cos^3alphacos alpha+sen^3 alphasen alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 4*(1+cos^2(alpha+alpha))/(sen^3 (alpha+alpha)) $

Sapendo che:
$sin^4 alpha=(sin^2 alpha)^2=(1-cos^2 alpha)^2=1-2cos^2 alpha+ cos^4 alpha$

E che:
$cos^2 2alpha =(cos^2 alpha-sin^2 alpha)^2=cos^4alpha -2sin^2alpha cos^2alpha +sin^4alpha $

Allora:

$ (cos^4alpha+1-2cos^2 alpha+ cos^4 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 4*(1+(cos^4alpha -2sin^2alpha cos^2alpha +sin^4alpha))/((2sen^3alphacos^3alpha)) $

$ (cos^4alpha+1-2cos^2 alpha+ cos^4 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 4*(1+cos^4alpha -2sin^2alpha cos^2alpha +1-2cos^2 alpha+ cos^4 alpha)/((2sen^3alphacos^3alpha)) $

$ (cos^4alpha+1-2cos^2 alpha+ cos^4 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 2*(1+cos^4alpha -2sin^2alpha cos^2alpha +1-2cos^2 alpha+ cos^4 alpha)/((sen^3alphacos^3alpha)) $

$ (2cos^4alpha+1-2cos^2 alpha)/((sen^3 alpha)(cos^3alpha)) = 2*(2+2cos^4alpha -2sin^2alpha cos^2alpha -2cos^2 alpha)/((sen^3alphacos^3alpha)) $

Ma poi come devo fare

[giammaria2]

C'è ancora un errore: $sin^3 2 alpha=(2sinalpha cos alpha)^3=8 sin^3 alpha cos^3 alpha$.
Fermo restando che il metodo migliore era trasformare tutto usando l'angolo $2 alpha$, come ti ho mostrato qualche post fa, puoi continuare i tuoi calcoli trasformando in coseno il seno che c'è ancora a numeratore del secondo membro.
Volendo passare in $cos alpha$, ti conveniva fin dall'inizio usare la formula $cos 2alpha =2 cos^2 alpha-1$; i calcoli a secondo membro diventavano (sostituisco con puntini un facile passaggio algebrico):

$4*(1+(2cos^2alpha -1)^2)/((2 sinalpha cos alpha)^3)=...=4*(2-4cos^2 alpha+4cos^4alpha )/(8sin^3 alpha cos^3alpha )$

ed ora ti basta mettere in evidenza e semplificare.

[Bad90]

"giammaria":

ed ora ti basta mettere in evidenza e semplificare.

Ok, ti ringrazio vivamente

Finalmente sono riuscito a risolverloooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

[Bad90]

Esercizio 12

$ cos 2alpha (1+tgalpha tg2alpha)=1 $

$ (cos^2alpha - sen^2 alpha) *(1+(senalpha)/(cos alpha)* (tg^2 alpha)/(1-tg^2alpha))=1 $

$ (cos^2alpha - sen^2 alpha) *(1+(senalpha)/(cos alpha)* ((sen^2alpha)/(cos^2alpha))/(1-(sen^2alpha)/(cos^2alpha)))=1 $

$ (cos^2alpha - sen^2 alpha) *(1+(senalpha)/(cos alpha)* ((sen^2alpha)/(cos^2alpha))/((cos^2alpha-sen^2alpha)/(cos^2alpha)))=1 $

$ (cos^2alpha - sen^2 alpha) *(1+(senalpha)/(cos alpha)* (sen^2alpha)/((cos^2alpha-sen^2alpha)))=1 $


$ (cos^2alpha - sen^2 alpha) *(1+(sen^3alpha)/(cos alpha(cos^2alpha-sen^2alpha)))=1 $

$ (cos^2alpha - sen^2 alpha) *((cos alpha(cos^2alpha-sen^2alpha)+(sen^3alpha))/(cos alpha(cos^2alpha-sen^2alpha)))=1 $

$ cos alpha(cos^2alpha-sen^2alpha)+sen^3alpha=1 $

Sempre se tutti i passaggi sono corretti, adesso cosa posso fare per arrivare alla soluzione

[giammaria2]

I calcoli non sono corretti e noto un errore fin dal primo passaggio; non ho controllato oltre. La formula giusta è
$tg2 alpha=(2 tgalpha )/(1-tg^2 alpha)$

[Bad90]

Ok, sono riuscito a risolverlo

[giammaria2]

Bene, bravo.

[Bad90]

Esercizio 13

$ (1+cos alpha + cos 2 alpha) /(sen alpha + sen 2 alpha) = ctg alpha $

$ (1+cos alpha + cos^2 alpha - sen^2 alpha) /(sen alpha + 2sen alpha cos alpha) = (cos alpha)/(sen alpha) $



E come faccio ad arrivare ad un'identità

[Bad90]

Esercizio 14

$ cos alpha = 2cos^2 alpha/2 -1 = 1-2sen^2 alpha/2 $

Questo mi sembra di averlo compreso, ecco cosa ho fatto......

$ cos alpha = 2cos^2 alpha/2 -1 =.... $

E' vero che il primo membro è uguale al secondo in quanto:

$ cos 2 alpha = cos^2 alpha - sen^2alpha = cos^2 alpha -1 + cos^2 alpha = 2cos^2 alpha -1 $

Allora

$ cos 2 alpha = 2cos^2 alpha -1 $ e vero perchè $ cos alpha = 2cos^2 alpha/2 -1 $

Non ricordo il perchè non si può dividere tutto il secondo membro per $ 2 $ mentre si deve dividere solo l'angolo $ alpha $ del secondo membro

In attesa di una risposta continuo a risolvere il secondo membro con il terzo membro:

$ 2cos^2 alpha/2 -1 = 2*(1-sen^2 alpha/2)-1 = 2-2sen^2 alpha/2-1= 1-2sen^2 alpha/2 $

[giammaria2]

13) A numeratore trasforma in coseno l'unico seno; poi metti in evidenza quello che puoi, sia a numeratore che a denominatore.

14) Ti basta porre $alpha=2beta$ (o viceversa, dipende dalla formula a cui ti riferisci).
Per il tuo "Non ricordo ..." in rosso, si può dividere tutto per 2, ma ottieni $1/2 cos 2 alpha= cos^2 alpha-1/2$ che complica solo le cose (i 2 a primo membro non si semplificano fra loro).

[Bad90]

"giammaria":13) A numeratore trasforma in coseno l'unico seno; poi metti in evidenza quello che puoi, sia a numeratore che a denominatore.

Infatti sono riuscito ad arrivare al seguente:

$ (cosalpha(1+2cosalpha))/(senalpha(1+2cosalpha)) = (cos alpha)/(sen alpha) $

[Bad90]

"giammaria": complica solo le cose (i 2 a primo membro non si semplificano fra loro).

Perchè non si semplificano tra loro

[giammaria2]

Perché uno è dentro al coseno e l'altro ne è fuori; è come se tu volessi semplificarlo in $1/2(2x)^3$ o in $1/2 ln2x$.
Un esempio con la trigonometria lo hai in $1/2 sin2x=1/2*2sinxcosx=sinxcosx$ e non il semplice $sinx$ che otterresti semplificando il 2.

[Bad90]

Adesso è tutto chiaro....
Un'attimo, voglio ricordare questo:

"giammaria": è come se tu volessi semplificarlo $1/2 ln2x$.

Si può scriverlo anche così:

$1/2 log_(10) 2x = y$

e poi:

$log_(10) 2x^(1/2 ) = y$

Alla fine

$2x^(1/2 ) = 10^y$

Non sto ricordando come si risolve!

Oppure si può fare in questo modo:

$1/2 ln2x = 1/2 log _2 2x =y = log _2 2x^(1/2) =y = x^(1/2) =y $

[giammaria2]

Ti ricordo che $ln$ significa logaritmo in base $e$: del tutto fuori luogo le basi 10 e 2.
Come ripasso, aggiungo che, qualunque sia la base, la proprietà è $ln2x=ln2+lnx$. Inoltre, per definizione di logaritmo, $log_2 2=1$
Se invece vuoi risolvere l'equazione $1/2 ln2x=a$ il metodo migliore è
$ln2x=2a=>2x=e^(2a)=>x=1/2e^(2a)$

[Bad90]

Ok!

[Bad90]

Esercizio15

$ tg (alpha/2) = (sen 2 alpha cos alpha) /((1+cos alpha)(1+cos2alpha)) $

Non sto capendo il perchè dei miei errori, in quanto alla fine arrivo al seguente risultato:

$ tg (alpha/2) = (sen alpha)/(1+2cosalpha) $

Che non mi sembra sia verificata

Non sto capendo come arrivare alla soluzione, anche perchè:

$ tg (alpha/2) = +-sqrt((1-cos alpha)/(1+cos alpha)) $

[Bad90]

Esercizio 16

$ 1-cos alpha = 2 sen^2 alpha/2 $



$ 1-cos alpha = 2 *(1-cos^2 alpha/2) $

E poi

[Bad90]

Esercizio 17

$ 1+cos alpha = 2 cos^2 alpha/2 $

E anche con questo non sto capendo la via risolutiva

[giammaria2]

15) Cerca dove hai sbagliato (probabilmente nel trascrivere): a secondo membro io ottengo $(sin alpha)/(1+cos alpha)$
Continua poi usando le formule parametriche.

16 e 17) A secondo membro usa le formule di bisezione.