Geometria analitica
Buonasera
Dopo aver visto la puntata di Report ed aver deciso di diventare vegetariano , ho iniziato questo splendido argomento .
c'è subito nella prima pagina una cosa che non capisco ; testuale dal libro
L'insieme di tutti i numeri che possono essere attribuiti alla variabile indipendente si chiama dominio o campo di esistenza della funzione
L'insieme di tutti i corrispondenti valori assunti dalla variabile dipendente si chiama codominio o campo di variazione della funzione
Per la funzione definita dalle seguenti coppie ordinate : $ (-2;1),(-1;1),(0;2),(1;3),(2;4)$
il dominio è : ${-2;-1;0;1;2}$
il codominio è: ${1;2;3;4}
La variabile che rappresenta i numeri del campo di variazione è chiamata variabile indipendente
La variabile che rappresenta i numeri del dominio di una funzione è chiamata variabile dipendente
C'è un nesso logico che mi sfugge o nelle ultime due frasi le parti in grassetto dovrebbero essere invertite ?
Altra domanda : mi si chiede di disegnare 3 o 4 funzioni lineari con coefficiente angolare positivo ; mi si pone la domanda : in quali quadranti stanno?
A me così di getto mi viene da dire in tutti e quattro . Poi però proseguendo , il testo dice : Se il coeff. ang. è positivo la funzione lineare è compresa nel I e III quadrante.
Che significa ? forse allude ai limiti della funzione ?
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
Buonanotte
Dopo aver visto la puntata di Report ed aver deciso di diventare vegetariano , ho iniziato questo splendido argomento .
c'è subito nella prima pagina una cosa che non capisco ; testuale dal libro
L'insieme di tutti i numeri che possono essere attribuiti alla variabile indipendente si chiama dominio o campo di esistenza della funzione
L'insieme di tutti i corrispondenti valori assunti dalla variabile dipendente si chiama codominio o campo di variazione della funzione
Per la funzione definita dalle seguenti coppie ordinate : $ (-2;1),(-1;1),(0;2),(1;3),(2;4)$
il dominio è : ${-2;-1;0;1;2}$
il codominio è: ${1;2;3;4}
La variabile che rappresenta i numeri del campo di variazione è chiamata variabile indipendente
La variabile che rappresenta i numeri del dominio di una funzione è chiamata variabile dipendente
C'è un nesso logico che mi sfugge o nelle ultime due frasi le parti in grassetto dovrebbero essere invertite ?
Altra domanda : mi si chiede di disegnare 3 o 4 funzioni lineari con coefficiente angolare positivo ; mi si pone la domanda : in quali quadranti stanno?
A me così di getto mi viene da dire in tutti e quattro . Poi però proseguendo , il testo dice : Se il coeff. ang. è positivo la funzione lineare è compresa nel I e III quadrante.
Che significa ? forse allude ai limiti della funzione ?
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
Buonanotte
Risposte
Quello che ti svia nella prima affermazione è un errore vero: usa la parola dominio invece che codominio come da affermazione precedente. Per l'altra domanda è da tenere presente che il coefficiente angolare, essendo il rapporto tra limiti, risulta positivo solo nel caso di uguaglianza di segni e i segni sono uguali solo nel I e III quadrante.
Paolo ti ringrazio per la risposta , il dubbio inerente i quadranti me l'hai chiarito
per il primo quesito invece non mi è chiara la risposta . c'è un errore nel libro ? e se sì come devo correggerlo ?
grazie mille davvero , buona giornata
per il primo quesito invece non mi è chiara la risposta . c'è un errore nel libro ? e se sì come devo correggerlo ?
grazie mille davvero , buona giornata
"stefano.c":
per il primo quesito invece non mi è chiara la risposta . c'è un errore nel libro ? e se sì come devo correggerlo ?
Esattamente come avevi supposto, le due frasi in grassetto vanno invertite.
buon pomeriggio
ho una serie di espressioni cui devo , data una certa funzione $f(x)$ , risolvere :
sono rimasto incuriosito dalle soluzioni di queste espressioni , e mi piacerebbe capire cosa gli autori del libro hanno voluto , neanche poi così celatamente , suggerirmi .
la funzione è $f(x)=mx-k$
le espressioni da risolvere sono diverse , ed hanno tutte la medesima struttura , cioè : $(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)$ il risultato di tutte le espressioni , è sempre uguale ad $m$ ,il coefficiente angolare del grafico della funzione ; significa qualcosa di particolare ?
ho una serie di espressioni cui devo , data una certa funzione $f(x)$ , risolvere :
sono rimasto incuriosito dalle soluzioni di queste espressioni , e mi piacerebbe capire cosa gli autori del libro hanno voluto , neanche poi così celatamente , suggerirmi .
la funzione è $f(x)=mx-k$
le espressioni da risolvere sono diverse , ed hanno tutte la medesima struttura , cioè : $(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)$ il risultato di tutte le espressioni , è sempre uguale ad $m$ ,il coefficiente angolare del grafico della funzione ; significa qualcosa di particolare ?
Certo: la retta è il luogo dei punti del piano per il quale è costante il rapporto incrementale.
"GPaolo":Il coefficiente angolare è il rapporto fra le variazioni di y ed x (lasciamo perdere i dettagli, quali limiti e simili) e le variazioni possono essere positive in qualsiasi quadrante. Credo che la domanda significasse questo: "quali sono i quadranti toccati da tutte le rette disegnate?" e allora si giustifica la risposta: ogni retta con coefficiente angolare positivo o passa per l'origine o ha un tratto nel secondo o quarto quadrante, e il rimanente parte nel primo e parte nel terzo quadrante.
Per l'altra domanda è da tenere presente che il coefficiente angolare, essendo il rapporto tra limiti, risulta positivo solo nel caso di uguaglianza di segni e i segni sono uguali solo nel I e III quadrante.
"giammaria":Il coefficiente angolare è il rapporto fra le variazioni di y ed x (lasciamo perdere i dettagli, quali limiti e simili) e le variazioni possono essere positive in qualsiasi quadrante. Credo che la domanda significasse questo: "quali sono i quadranti toccati da tutte le rette disegnate?" e allora si giustifica la risposta: ogni retta con coefficiente angolare positivo o passa per l'origine o ha un tratto nel secondo o quarto quadrante, e il rimanente parte nel primo e parte nel terzo quadrante.[/quote]
[quote="GPaolo"]Per l'altra domanda è da tenere presente che il coefficiente angolare, essendo il rapporto tra limiti, risulta positivo solo nel caso di uguaglianza di segni e i segni sono uguali solo nel I e III quadrante.
premetto che non sto discutendo l'interpretazione di giammaria
devo chiedervi scusa perchè ho omesso in primis un "piccolissimo" dettaglio pertinente la mia domanda e che solo in seguito alla risposta di GPaolo ho realizzato , e che in seguito ho dimenticato di rivelare .
il problema in questione era riferito a rette passanti per l'origine . io invece avevo inteso di dover disegnare 4 o 5 rette "a caso" . ovviamente essendo ciascuna retta vincolata al punto $(0,0)$ potrà esclusivamente appartenere a soli 2 quadranti "alla volta"
chiedo scusa , cercherò in futuro di evitare di commettere lo stesso errore
grazie giammaria per il tuo intervento
stavo cercando in internet la dimostrazione della formula della distanza di un punto da una retta . ho trovato quel che cercavo , ma c'è un passaggio che proprio non mi è chiaro
retta $ax+by+c=0$ ; punto $P(x_0;y_0)$
per avere una retta perpendicolare devo porre il coefficiente reciproco e opposto $m=b/a$
formula del fascio di rette passanti per un punto , con coefficiente angolare perpendicolare $y-y_0=b/a(x-x_0)$
a questo punto , per trovare l'intersezione fra le due rette ( e poi calcolarmi la distanza fra quest'ultimo e il punto P ) devo metter a sistema le due equazioni
${(ax+by+c=0),(a(y-y_0)=ab(x-x_0)):}$ a questo punto viene fatto questo passaggio ${(abx+b^2y+bc=0),(a^2(y-y_0)-ab(x-x_0)=0):}$
ma come ? moltiplica sopra per b e sotto per a ? e perchè ? ottengo un sistema equivalente moltiplicando per valori differenti le due equazioni a sistema ???
retta $ax+by+c=0$ ; punto $P(x_0;y_0)$
per avere una retta perpendicolare devo porre il coefficiente reciproco e opposto $m=b/a$
formula del fascio di rette passanti per un punto , con coefficiente angolare perpendicolare $y-y_0=b/a(x-x_0)$
a questo punto , per trovare l'intersezione fra le due rette ( e poi calcolarmi la distanza fra quest'ultimo e il punto P ) devo metter a sistema le due equazioni
${(ax+by+c=0),(a(y-y_0)=ab(x-x_0)):}$ a questo punto viene fatto questo passaggio ${(abx+b^2y+bc=0),(a^2(y-y_0)-ab(x-x_0)=0):}$
ma come ? moltiplica sopra per b e sotto per a ? e perchè ? ottengo un sistema equivalente moltiplicando per valori differenti le due equazioni a sistema ???
"stefano.c":
ottengo un sistema equivalente moltiplicando per valori differenti le due equazioni a sistema ???
yes.
***** la mia ignoranza mi stupisce
ciascuna delle due equazioni rimane equivalente (ha le stesse soluzioni).
equazione 1 - moltiplico tutto per lo stesso numero $b!=0$ $=>$ rimane equivalente
equazione 2 - moltiplico tutto per lo stesso numero $a!=0$ $=>$ rimane equivalente
dunque il sistema è equivalente al dato
equazione 1 - moltiplico tutto per lo stesso numero $b!=0$ $=>$ rimane equivalente
equazione 2 - moltiplico tutto per lo stesso numero $a!=0$ $=>$ rimane equivalente
dunque il sistema è equivalente al dato
sacrosante parole
giusto per curiosità :
possiamo anche dire che si tratta della proprietà dell'unione rispetto all'intersezione ?
mi spiego meglio : inizialmente ho un sistema di intersezione di 2 rette ; devo ricavarmi 2 incognite distinte appartenenti al medesimo insieme ; in un primo momento voglio ricavarmi la y , e quindi moltiplico una equazione per a e l'altra per b ; successivamente ottenuta la y riapplico le medesime operazioni al medesimo insieme , per ricavarmi un'altra incognita , la x .
è questa la proprietà dell'unione rispetto all'intersezione o dell'intersezione rispetto all'unione ? è solo una mia curiosità
grazie piero
giusto per curiosità :
possiamo anche dire che si tratta della proprietà dell'unione rispetto all'intersezione ?
mi spiego meglio : inizialmente ho un sistema di intersezione di 2 rette ; devo ricavarmi 2 incognite distinte appartenenti al medesimo insieme ; in un primo momento voglio ricavarmi la y , e quindi moltiplico una equazione per a e l'altra per b ; successivamente ottenuta la y riapplico le medesime operazioni al medesimo insieme , per ricavarmi un'altra incognita , la x .
è questa la proprietà dell'unione rispetto all'intersezione o dell'intersezione rispetto all'unione ? è solo una mia curiosità
grazie piero
Perdonami ma io non colgo il nesso tra la proprietà insiemistica cui fai riferimento e il sistema.
"stefano.c":
giusto per curiosità :
possiamo anche dire che si tratta della proprietà dell'unione rispetto all'intersezione ?
"WiZaRd":
Perdonami ma io non colgo il nesso tra la proprietà insiemistica cui fai riferimento e il sistema.
e già che ci sei perdona anche me, perchè non lo colgo nemmeno io.
Stiamo parlando del secondo principio di equivalenza delle equazioni:
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per un numero non nullo, si ottiene un'equazione equivalente alla data.
Tutto qui.
La distanza di un punto da una retta io la ricavavo dal prodotto scalare $P(x_0,y_0) · r = ax + by + c$ dalla quale, sempre se non ricordo male, ottenevo $d = (ax + by + c)/sqrt(l^2+m^2)$. Sostituendo i valori ricavavo il valore di d. Tanto per fare un esempio, se la retta era $3x + y -2 =0$ e il punto esterno era P(2,2), la soluzione era: $d= (3*2+2-2)/2 = 3/2$. Ogni errore od omissione sia da imputare alla mia fiacca memoria.
"GPaolo":strumento estremamente potente , ma è valido per la dimostrazione ?
La distanza di un punto da una retta io la ricavavo dal prodotto scalare
"piero_":
[quote="WiZaRd"]
Perdonami ma io non colgo il nesso tra la proprietà insiemistica cui fai riferimento e il sistema.
Stiamo parlando del secondo principio di equivalenza delle equazioni:
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per un numero non nullo, si ottiene un'equazione equivalente alla data.
[/quote]
quindi , sempre parlando di insiemistica , è solo la proprietà commutativa ?
se non vi urta troppo , mi fareste un esempio di proprietà dell'unione rispetto all'intersezione o dell'intersezione rispetto all'unione ?
Io credo che tu stia facendo un gravissimo errore di confusione. Quello che fa il libro è valido perché usa il principio di equivalenza numero 2; le proprietà insiemistiche sono un'altra cosa.
ho questo problema
tra tutte le coppie di numeri la cui somma è 12 quale ha prodotto massimo?
$f(x)=x(12-x)=12x-x^2$
$-f(x)=x^2-12x+36-36$ ; $-f(x)=(x-6)^2-36$
$f(x)=-(x-6)^2+36$
il libro dice che i due numeri cercati sono 6,6 .
ma il vertice di quel grafico si trova in $V(6,36)$ . il valore massimo di quella funzioni sta lì ... perchè prende solo il 6 ?
in altri problemi simili , i valori cercati erano le coordinate del vertice del grafico, ossia del punto di min o max della funzione . perchè invece in questo caso prende solo l'ascissa ?
tra tutte le coppie di numeri la cui somma è 12 quale ha prodotto massimo?
$f(x)=x(12-x)=12x-x^2$
$-f(x)=x^2-12x+36-36$ ; $-f(x)=(x-6)^2-36$
$f(x)=-(x-6)^2+36$
il libro dice che i due numeri cercati sono 6,6 .
ma il vertice di quel grafico si trova in $V(6,36)$ . il valore massimo di quella funzioni sta lì ... perchè prende solo il 6 ?
in altri problemi simili , i valori cercati erano le coordinate del vertice del grafico, ossia del punto di min o max della funzione . perchè invece in questo caso prende solo l'ascissa ?
Perché se un addendo vale $6$,per forza anche l'altro vale $6$.
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