Geometria analitica
Buonasera
Dopo aver visto la puntata di Report ed aver deciso di diventare vegetariano , ho iniziato questo splendido argomento .
c'è subito nella prima pagina una cosa che non capisco ; testuale dal libro
L'insieme di tutti i numeri che possono essere attribuiti alla variabile indipendente si chiama dominio o campo di esistenza della funzione
L'insieme di tutti i corrispondenti valori assunti dalla variabile dipendente si chiama codominio o campo di variazione della funzione
Per la funzione definita dalle seguenti coppie ordinate : $ (-2;1),(-1;1),(0;2),(1;3),(2;4)$
il dominio è : ${-2;-1;0;1;2}$
il codominio è: ${1;2;3;4}
La variabile che rappresenta i numeri del campo di variazione è chiamata variabile indipendente
La variabile che rappresenta i numeri del dominio di una funzione è chiamata variabile dipendente
C'è un nesso logico che mi sfugge o nelle ultime due frasi le parti in grassetto dovrebbero essere invertite ?
Altra domanda : mi si chiede di disegnare 3 o 4 funzioni lineari con coefficiente angolare positivo ; mi si pone la domanda : in quali quadranti stanno?
A me così di getto mi viene da dire in tutti e quattro . Poi però proseguendo , il testo dice : Se il coeff. ang. è positivo la funzione lineare è compresa nel I e III quadrante.
Che significa ? forse allude ai limiti della funzione ?
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
Buonanotte
Dopo aver visto la puntata di Report ed aver deciso di diventare vegetariano , ho iniziato questo splendido argomento .
c'è subito nella prima pagina una cosa che non capisco ; testuale dal libro
L'insieme di tutti i numeri che possono essere attribuiti alla variabile indipendente si chiama dominio o campo di esistenza della funzione
L'insieme di tutti i corrispondenti valori assunti dalla variabile dipendente si chiama codominio o campo di variazione della funzione
Per la funzione definita dalle seguenti coppie ordinate : $ (-2;1),(-1;1),(0;2),(1;3),(2;4)$
il dominio è : ${-2;-1;0;1;2}$
il codominio è: ${1;2;3;4}
La variabile che rappresenta i numeri del campo di variazione è chiamata variabile indipendente
La variabile che rappresenta i numeri del dominio di una funzione è chiamata variabile dipendente
C'è un nesso logico che mi sfugge o nelle ultime due frasi le parti in grassetto dovrebbero essere invertite ?
Altra domanda : mi si chiede di disegnare 3 o 4 funzioni lineari con coefficiente angolare positivo ; mi si pone la domanda : in quali quadranti stanno?
A me così di getto mi viene da dire in tutti e quattro . Poi però proseguendo , il testo dice : Se il coeff. ang. è positivo la funzione lineare è compresa nel I e III quadrante.
Che significa ? forse allude ai limiti della funzione ?
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
Buonanotte
Risposte
mi può servire sapere che una circonferenza è tangente all'asse x se $a^2-4c=0$
"piero_":
[quote="stefano.c"]
Determinare l'equazione passante per i punti $A(2,1) ; B(3,2)$ e tangente all'asse x .
come devo impostare il sistema ?
fai il disegno. vedrai che il raggio della tua circonferenza ha lo stesso valore dell'ordinata del centro.
allora l'equazione si può scrivere così:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=(y_c)^2$
imponi il passaggio per A e B e trovi le coordinate del centro.[/quote]
come fai ad applicare questo metodo alla circonferenza $C2$ ? non conosco nessuna coordinata del suo centro . senza guardare il disegno che hai fatto , posso solo dire che il centro C2 si trova nel 2° quadrante . per favore mi date qualche indizio ?
trovato! 
devo utilizzare la relazione di tangenza agli assi . in questo caso le due circonferenze sono tangenti all'asse x , quindi la relazione , dimostrata in un esercizio precedente che non posto , è $a^2-4c=0$
imposto il sistema a 3 equazioni
${(a^2-4c=0),(x^2+y^2+ax+by+c=0),(x^2+y^2+ax+by+c=0):}$
dove nella seconda e terza eq. inserisco i valori dei punti $A(2;1)$ e $B(3;2)$ ottenendo
${(a^2-4c=0),(2a+b+c=-5),(3a+2b+c=-13):}$
in questo modo , si può risolvere senza neanche toccare la matita e disegnare
devo utilizzare la relazione di tangenza agli assi . in questo caso le due circonferenze sono tangenti all'asse x , quindi la relazione , dimostrata in un esercizio precedente che non posto , è $a^2-4c=0$
imposto il sistema a 3 equazioni
${(a^2-4c=0),(x^2+y^2+ax+by+c=0),(x^2+y^2+ax+by+c=0):}$
dove nella seconda e terza eq. inserisco i valori dei punti $A(2;1)$ e $B(3;2)$ ottenendo
${(a^2-4c=0),(2a+b+c=-5),(3a+2b+c=-13):}$
in questo modo , si può risolvere senza neanche toccare la matita e disegnare
"stefano.c":
scusa il ritardo ,sono andato a farmi una pedalata
mens sana in corpore sano
"stefano.c":
trovato!
L'equazione che ti ho postato rappresenta un fascio di circonferenze centrate in C($x_c,y_c$) e tangenti all'asse delle ascisse (il raggio è perpendicolare alla tangente nel punto di contatto). Imponendo il passaggio per i punti A e B ottengo due soluzioni, che rappresentano i due centri delle circonferenze.
scusa sono un pò lento
fammi capire bene
io impongo
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=(y_c)^2$ per i due punti $A(2;1)$ e $B(3;2)$
quindi ottengo due equazioni
$(2-x_c)^2+(1-y_c)^2=(y_c)^2$
$(3-x_c)^2+(2-y_c)^2=(y_c)^2$
intendi questo ?
fammi capire bene
io impongo
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=(y_c)^2$ per i due punti $A(2;1)$ e $B(3;2)$
quindi ottengo due equazioni
$(2-x_c)^2+(1-y_c)^2=(y_c)^2$
$(3-x_c)^2+(2-y_c)^2=(y_c)^2$
intendi questo ?
esatto risolvi il sistema di quelle due equazioni e trovi le coordinate del centro.
il metodo è del tutto generale, perchè il fascio rappresenta tutte le circonferenze tangenti all'asse x, tra queste prendi quelle che passano per i tuoi due punti.
il metodo è del tutto generale, perchè il fascio rappresenta tutte le circonferenze tangenti all'asse x, tra queste prendi quelle che passano per i tuoi due punti.
che tonto ... io invece avevo risolto sostituendo alla $x_c$ il valore di ascissa di B e ad $y_c$ il valore di ordinata di A
In geometria analitica il disegno non è mai una perdita di tempo. Se riesci a capire come "disegnare il problema" ti rendi conto anche di come risolverlo.
"piero_":
esatto risolvi il sistema di quelle due equazioni e trovi le coordinate del centro.
il metodo è del tutto generale, perchè il fascio rappresenta tutte le circonferenze tangenti all'asse x, tra queste prendi quelle che passano per i tuoi due punti.
quindi se anzichè due punti avessi una retta sarebbe del tutto analogo ?
per esempio devo trovare l'eq. delle circonferenze tangenti gli assi , e con centro sulla retta $y=1/3x+4/3$
dal grafico mi rendo conto che il centro delle due circonferenze si può trovare soltanto in corrispondenza di valori di che soddisfano $|x_c|=|y_c|$
quindi potrei intersecare in un sistema il modulo $y=|x|$ e la retta $y=1/3x+4/3$ , e trovare la x che mi definisce il centro delle due circonferenze . ammesso che ciò sia vero , ci sono arrivato per ragionamento e con l'ausilio del grafico . questo è un bene o un male , dal punto di vista analitico ?
"stefano.c":
dal grafico mi rendo conto che il centro delle due circonferenze si può trovare soltanto in corrispondenza di valori di che soddisfano $|x_c|=|y_c|$
mi correggo , non è vero che lo capisco solo dal grafico .
per dimostrazione , conosco che una circonferenza tangente gli assi deve avere le seguenti condizioni
${(a^2-4c=0),(b^2-4c=0):}$
ne consegue che i moduli di $alpha$ e $beta$ intesi come coordinate del centro devono essere uguali
da qui in poi idem come sopra ... credo .
"stefano.c":
per esempio devo trovare l'eq. delle circonferenze tangenti gli assi , e con centro sulla retta $y=1/3x+4/3$
se le tue circonferenze devono essere tangenti ad entrambi gli assi $=>$ $|x_c|=|y_c|$ (simmetria della circonferenza) inoltre, dai dati del tuo problema: $y_c=1/3 x_c+4/3$
grazie mille piero , spero non mi arrivi a casa la parcella per le ripetizioni di mate
, spero non mi arrivi a casa la parcella per le ripetizioni di mate
ideona
ho questo problema
In un sistema di assi $xOy$ è data la retta $3x+4y-24=0$ che taglia in $A$ e $B$ rispettivamente l'asse y e l'asse x . Det. l'eq della circonferenza inscritta nel triangolo $AOB$
avevo pensato di risolverlo usando Il teorema di Erone , calcolando il semiperimetro , trovo il raggio e successivamente il centro della circonferenza e il parametro c .
la mia domanda è : c'è un modo alternativo per risolverlo usando solo la geometria analitica ? che so magari trovando le formule delle bisettrici degli angoli , porle a sistema e trovare il punto di intersezione e centro di circonferenza . se sì , come si trova la formula della bisettrice di un angolo ? moltiplico per $1/2$ il coefficiente angolare ?
In un sistema di assi $xOy$ è data la retta $3x+4y-24=0$ che taglia in $A$ e $B$ rispettivamente l'asse y e l'asse x . Det. l'eq della circonferenza inscritta nel triangolo $AOB$
avevo pensato di risolverlo usando Il teorema di Erone , calcolando il semiperimetro , trovo il raggio e successivamente il centro della circonferenza e il parametro c .
la mia domanda è : c'è un modo alternativo per risolverlo usando solo la geometria analitica ? che so magari trovando le formule delle bisettrici degli angoli , porle a sistema e trovare il punto di intersezione e centro di circonferenza . se sì , come si trova la formula della bisettrice di un angolo ? moltiplico per $1/2$ il coefficiente angolare ?
sì, naturalmente c'è una formula per le bisettrici (attraverso le due rette e la formula della distanza punto-retta), ma non è un procedimento agevole.
piuttosto pensa che il punto deve essere equidistante dalle rette dei lati, e qui due rette sono gli assi, e l'ipotenusa è su una retta con coefficiente angolare negativo... in poche parole, la bisettrice di I e III quadrante (y=x) è la bisettrice dell'angolo retto del triangolo, e dunque l'incentro ha ascissa e ordinata uguali fra loro, e tale valore comune è anche uguale al raggio del cerchio inscritto, e deve rappresentare anche la distanza dall'ipotenusa ...
se chiami P(r,r) tale punto, l'incentro, la distanza di P dalla retta 3x+4y-24=0 deve essere uguale a |r|.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
piuttosto pensa che il punto deve essere equidistante dalle rette dei lati, e qui due rette sono gli assi, e l'ipotenusa è su una retta con coefficiente angolare negativo... in poche parole, la bisettrice di I e III quadrante (y=x) è la bisettrice dell'angolo retto del triangolo, e dunque l'incentro ha ascissa e ordinata uguali fra loro, e tale valore comune è anche uguale al raggio del cerchio inscritto, e deve rappresentare anche la distanza dall'ipotenusa ...
se chiami P(r,r) tale punto, l'incentro, la distanza di P dalla retta 3x+4y-24=0 deve essere uguale a |r|.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
credo di aver capito il processo logico alla base , ma non il procedimento per risolverlo
da quel che ho capito , faccio così
punto $P(r,r)$ retta $3x+4y-24=0$
formula distanza punto retta : $d=(|r3+r4-24|)/sqrt(9+16)=(7r-24)/5$ il cui risultato è 3,8 circa
cosa non ho capito ?
ps: ho riprovato a farlo , credo in maniera più ortodossa , ma anche questa volta non ne ricavo il risultato voluto m e cioè r=2
$d=r$ ; $r=(|r3+r4-24|)/sqrt(9+16)=(7r-24)/5$ ; $5r=7r-24$ ; $r=24/2=12$ ...
da quel che ho capito , faccio così
punto $P(r,r)$ retta $3x+4y-24=0$
formula distanza punto retta : $d=(|r3+r4-24|)/sqrt(9+16)=(7r-24)/5$ il cui risultato è 3,8 circa
cosa non ho capito ?
ps: ho riprovato a farlo , credo in maniera più ortodossa , ma anche questa volta non ne ricavo il risultato voluto m e cioè r=2
$d=r$ ; $r=(|r3+r4-24|)/sqrt(9+16)=(7r-24)/5$ ; $5r=7r-24$ ; $r=24/2=12$ ...
in attesa che un fulmine mi illumini a riguardo , posto un altro quesito , l'ultimo , sulle circonferenze .. qui veramente non so che pesci pigliare
Determinare m in modo che la circonferenza $x^2+y^2+(2-m)x+my+m-1=0$ determini sulla bisettrice del I e III quadrante una corda lunga 4 ; determinare inoltre in tal caso il raggio della circonferenza
mi viene da dire uno spontaneo boh!?
ps: ok forse ci sono ... devo ragionare sul rapporto incrementale ...
Determinare m in modo che la circonferenza $x^2+y^2+(2-m)x+my+m-1=0$ determini sulla bisettrice del I e III quadrante una corda lunga 4 ; determinare inoltre in tal caso il raggio della circonferenza
mi viene da dire uno spontaneo boh!?
ps: ok forse ci sono ... devo ragionare sul rapporto incrementale ...
credo di aver capito il processo logico alla base , ma non il procedimento per risolverlo
da quel che ho capito , faccio così
punto $P(r,r)$ retta $3x+4y-24=0$
formula distanza punto retta : $d=(|r3+r4-24|)/sqrt(9+16)=(7r-24)/5$ il cui risultato è 3,8 circa ... [quale risultato?]*
cosa non ho capito ?
ps: ho riprovato a farlo , credo in maniera più ortodossa , ma anche questa volta non ne ricavo il risultato voluto m e cioè r=2
$d=r$ ; $r=(|r3+r4-24|)/sqrt(9+16)=(7r-24)/5$ ; $5r=7r-24$ ; $r=24/2=12$ ...
*dall'equazione d=|r| si ha:
$(|7r-24|)/5=|r|$
se $r<0$ -> $(-7r+24)/5=-r -> r=12 [?]$
se $0<=r<=24/7$ -> $(-7r+24)/5=r -> r=2$
se $r>24/7$ -> $(7r-24)/5=r -> r=12$
non tutte le condizioni portano a soluzione...
spero di aver chiarito. riprova e facci sapere. ciao.
"adaBTTLS":
dall'equazione d=|r| si ha:
$(|7r-24|)/5=|r|$
se $0<=r<=24/7$ -> $(-7r+24)/5=r -> r=2$
hai considerato le due condizioni $7r-24<=0$ e $r>=0$ e quindi l'intervallo al loro interno ... non ci avrei mai pensato
è possibile fare anche il contrario , e cioè considerare gli intervalli esterni , o è privo di significato(anche se si ottiene il medesimo risultato) ?
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