Geometria analitica
Buonasera
Dopo aver visto la puntata di Report ed aver deciso di diventare vegetariano , ho iniziato questo splendido argomento .
c'è subito nella prima pagina una cosa che non capisco ; testuale dal libro
L'insieme di tutti i numeri che possono essere attribuiti alla variabile indipendente si chiama dominio o campo di esistenza della funzione
L'insieme di tutti i corrispondenti valori assunti dalla variabile dipendente si chiama codominio o campo di variazione della funzione
Per la funzione definita dalle seguenti coppie ordinate : $ (-2;1),(-1;1),(0;2),(1;3),(2;4)$
il dominio è : ${-2;-1;0;1;2}$
il codominio è: ${1;2;3;4}
La variabile che rappresenta i numeri del campo di variazione è chiamata variabile indipendente
La variabile che rappresenta i numeri del dominio di una funzione è chiamata variabile dipendente
C'è un nesso logico che mi sfugge o nelle ultime due frasi le parti in grassetto dovrebbero essere invertite ?
Altra domanda : mi si chiede di disegnare 3 o 4 funzioni lineari con coefficiente angolare positivo ; mi si pone la domanda : in quali quadranti stanno?
A me così di getto mi viene da dire in tutti e quattro . Poi però proseguendo , il testo dice : Se il coeff. ang. è positivo la funzione lineare è compresa nel I e III quadrante.
Che significa ? forse allude ai limiti della funzione ?
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
Buonanotte
Dopo aver visto la puntata di Report ed aver deciso di diventare vegetariano , ho iniziato questo splendido argomento .
c'è subito nella prima pagina una cosa che non capisco ; testuale dal libro
L'insieme di tutti i numeri che possono essere attribuiti alla variabile indipendente si chiama dominio o campo di esistenza della funzione
L'insieme di tutti i corrispondenti valori assunti dalla variabile dipendente si chiama codominio o campo di variazione della funzione
Per la funzione definita dalle seguenti coppie ordinate : $ (-2;1),(-1;1),(0;2),(1;3),(2;4)$
il dominio è : ${-2;-1;0;1;2}$
il codominio è: ${1;2;3;4}
La variabile che rappresenta i numeri del campo di variazione è chiamata variabile indipendente
La variabile che rappresenta i numeri del dominio di una funzione è chiamata variabile dipendente
C'è un nesso logico che mi sfugge o nelle ultime due frasi le parti in grassetto dovrebbero essere invertite ?
Altra domanda : mi si chiede di disegnare 3 o 4 funzioni lineari con coefficiente angolare positivo ; mi si pone la domanda : in quali quadranti stanno?
A me così di getto mi viene da dire in tutti e quattro . Poi però proseguendo , il testo dice : Se il coeff. ang. è positivo la funzione lineare è compresa nel I e III quadrante.
Che significa ? forse allude ai limiti della funzione ?
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
Buonanotte
Risposte
"adaBTTLS":
*dall'equazione d=|r| si ha:
$(|7r-24|)/5=|r|$
se $r<0$ -> $(-7r+24)/5=-r -> r=12 [?]$
se $0<=r<=24/7$ -> $(-7r+24)/5=r -> r=2$
se $r>24/7$ -> $(7r-24)/5=r -> r=12$
non tutte le condizioni portano a soluzione...
spero di aver chiarito. riprova e facci sapere. ciao.
come vedi, i casi considerati sono tre...
sì scusa , sono un pò sfasato , mi sveglio presto la mattina per andare a lavorare , e quando torno ci metto un pò per "ricalibrare" i neuroni hehe
a proposito , mi daresti un suggerimento sull'altro problema ? non riesco proprio a capire da dove iniziare
a proposito , mi daresti un suggerimento sull'altro problema ? non riesco proprio a capire da dove iniziare
"stefano.c":
Determinare m in modo che la circonferenza $x^2+y^2+(2-m)x+my+m-1=0$ determini sulla bisettrice del I e III quadrante una corda lunga 4 ; determinare inoltre in tal caso il raggio della circonferenza
questo qui
Metti a sistema la retta con il fascio di circonferenze, trova i due punti di intersezione e imponi che la distanza tra i due punti sia uguale a 4.
Ricorda che l'equazione della bisettrice del I e III quadrante è $y=x$
Ricorda che l'equazione della bisettrice del I e III quadrante è $y=x$
lavori anche oggi? oppure ti riferivi al fatto che questa è una giornata anomala?
se metti a sistema l'equazione della circonferenza con la bisettrice di I e III quadrante, ottieni un'equazione risolutiva semplice:
$2x^2+2x+m-1=0$
prova a verificarla...
non la porto avanti. ti invito a riflettere sull'interpretazione geometrica del problema e sulla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$.
tu devi "trovare" l'ipotenusa di un triangolo isoscele rettangolo con i cateti congruenti di misura pari alla differenza tra le due radici, che è:
$|(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)-(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)|=(sqrt(b^2-4ac))/|a|$ e dunque l'ipotenusa (lunghezza della corda) è $sqrt(2)/|a|*sqrt(b^2-4ac)$
imponiamo dunque $sqrt(2)/|a|*sqrt(b^2-4ac)=4$ e ricaviamo $m$.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
se metti a sistema l'equazione della circonferenza con la bisettrice di I e III quadrante, ottieni un'equazione risolutiva semplice:
$2x^2+2x+m-1=0$
prova a verificarla...
non la porto avanti. ti invito a riflettere sull'interpretazione geometrica del problema e sulla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$.
tu devi "trovare" l'ipotenusa di un triangolo isoscele rettangolo con i cateti congruenti di misura pari alla differenza tra le due radici, che è:
$|(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)-(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)|=(sqrt(b^2-4ac))/|a|$ e dunque l'ipotenusa (lunghezza della corda) è $sqrt(2)/|a|*sqrt(b^2-4ac)$
imponiamo dunque $sqrt(2)/|a|*sqrt(b^2-4ac)=4$ e ricaviamo $m$.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
grazie ... ci avevo ragionato sull'aspetto grafico . al fatto che i cateti erano congruenti . ma mi fermavo lì
devo ammettere che il problema mi sembra piuttosto complesso (per i miei limitati strumenti) ... ora mi ci metto sopra e cerco di capirlo per bene
grazie ancora amelia e ada
ps: sì oggi abbiamo lavorato . lavoro part time come servizio cassoni della raccolta differenziata
devo ammettere che il problema mi sembra piuttosto complesso (per i miei limitati strumenti) ... ora mi ci metto sopra e cerco di capirlo per bene
grazie ancora amelia e ada
ps: sì oggi abbiamo lavorato . lavoro part time come servizio cassoni della raccolta differenziata
prego.
sù, che non è così difficile...
a presto.
sù, che non è così difficile...
a presto.
${(2x^2+2x+m-1=0),(y=x):}$ ; $Delta=4-[4*2*(m-1)]=4-8m+8=12-8m$ ; $x_(1,2)=(-2+-sqrt(12-8m))/4$
intersezioni retta circonferenza
$x_(1,2)=-1/2+-sqrt(((3-2m)/4))$ ; $y_(1,2)=-1/2+-sqrt(((3-2m)/4))$
chiamo l'ipotenusa del triangoilo isoscele rettangolo AB , i cateti $Deltax$ e $Deltay$
$AB=sqrt(|Deltax|^2+|Deltay|^2)$
$Deltax=|x_A-x_B|=|-1/2+sqrt(((3-2m)/4))-(-1/2-sqrt(((3-2m)/4)))|=|2sqrt(((3-2m)/4))|$
essendo il modulo di un radicale , credo basti porre la C.E. del radicando per togliere il simbolo del modulo , e quindi ho
$Delta_(x,y)=2sqrt(((3-2m)/4))$
i cateti congruenti $Deltax=Deltay$ l'ipotenusa è
$AB=sqrt(2*(Deltax)^2)=Deltax*sqrt2=2*sqrt(((3-2m)/4))*sqrt2=2*sqrt(((3-2m)/4)*2)$
$AB=2*sqrt(((3-2m)/2))$
Pongo l'ipotenusa $AB=4$ ed ho
$2*sqrt(((3-2m)/2))=4->sqrt(((3-2m)/2))=2->(sqrt(((3-2m)/2)))^2=(2)^2->(3-2m)/2=4->2m=3-8->m=-5/2$
Per trovare il raggio della circonferenza appena determinata , mi basta sostituire il valore $m=-5/2$ nell'eq della circonferenza
$x^2+y^2+(2-5/2)x-5/2y-5/2m-1=0->x^2+y^2+9/2x-5/2y-7/2=0$
$C(-9/4;5/4)$ ;
$r=sqrt(alpha^2+beta^2-c)=sqrt((9/4)^2+(5/4)^2+7/2)=sqrt(162/16)=9/4*sqrt2
[asvg]axes(1,1, "labels");
plot("y=x");
stroke = "red" ;
circle([-9/4,5/4], 3.181980515);[/asvg]
grazie mille
intersezioni retta circonferenza
$x_(1,2)=-1/2+-sqrt(((3-2m)/4))$ ; $y_(1,2)=-1/2+-sqrt(((3-2m)/4))$
chiamo l'ipotenusa del triangoilo isoscele rettangolo AB , i cateti $Deltax$ e $Deltay$
$AB=sqrt(|Deltax|^2+|Deltay|^2)$
$Deltax=|x_A-x_B|=|-1/2+sqrt(((3-2m)/4))-(-1/2-sqrt(((3-2m)/4)))|=|2sqrt(((3-2m)/4))|$
essendo il modulo di un radicale , credo basti porre la C.E. del radicando per togliere il simbolo del modulo , e quindi ho
$Delta_(x,y)=2sqrt(((3-2m)/4))$
i cateti congruenti $Deltax=Deltay$ l'ipotenusa è
$AB=sqrt(2*(Deltax)^2)=Deltax*sqrt2=2*sqrt(((3-2m)/4))*sqrt2=2*sqrt(((3-2m)/4)*2)$
$AB=2*sqrt(((3-2m)/2))$
Pongo l'ipotenusa $AB=4$ ed ho
$2*sqrt(((3-2m)/2))=4->sqrt(((3-2m)/2))=2->(sqrt(((3-2m)/2)))^2=(2)^2->(3-2m)/2=4->2m=3-8->m=-5/2$
Per trovare il raggio della circonferenza appena determinata , mi basta sostituire il valore $m=-5/2$ nell'eq della circonferenza
$x^2+y^2+(2-5/2)x-5/2y-5/2m-1=0->x^2+y^2+9/2x-5/2y-7/2=0$
$C(-9/4;5/4)$ ;
$r=sqrt(alpha^2+beta^2-c)=sqrt((9/4)^2+(5/4)^2+7/2)=sqrt(162/16)=9/4*sqrt2
[asvg]axes(1,1, "labels");
plot("y=x");
stroke = "red" ;
circle([-9/4,5/4], 3.181980515);[/asvg]
grazie mille
buongiorno a tutti , ho un problema a trovare la soluzione a questo problemino
io ho posto a sistema la retta e la parabola , ma non reisco a trovare i valori che dovrei trovare . ecco il diagramma soluzione
[asvg]xmin=-8;
ymin=-8;
axes("labels");
plot("y=x+2");
plot("y=-1/9x^2");
plot("y=x^2");[/asvg]
Determinare a in modo che la parabola $y=ax^2$ tagli sulla retta $y=x+2$ un segmento $AB=3sqrt2$
Il segmento è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo . pongo a sistema
${(y=ax^2),(y=x+2):}$ ; $Delta=1+8a$ ;
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+8a))/(2a)$ $y_(1,2)=(4a+1+-sqrt(1+8a))/(2a)$
Devo prendere in considerazione queste 2 coppie di punti per $a>0$ e $a<0$
$|x_1-x_2|=|y_2-y_1|$ ; $AB=sqrt(|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2)$
giusto fin qui o sbaglio qualcosa ? c'è un metodo più sbrigativo ?
grazie mille dell'aiuto
io ho posto a sistema la retta e la parabola , ma non reisco a trovare i valori che dovrei trovare . ecco il diagramma soluzione
[asvg]xmin=-8;
ymin=-8;
axes("labels");
plot("y=x+2");
plot("y=-1/9x^2");
plot("y=x^2");[/asvg]
Determinare a in modo che la parabola $y=ax^2$ tagli sulla retta $y=x+2$ un segmento $AB=3sqrt2$
Il segmento è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo . pongo a sistema
${(y=ax^2),(y=x+2):}$ ; $Delta=1+8a$ ;
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+8a))/(2a)$ $y_(1,2)=(4a+1+-sqrt(1+8a))/(2a)$
Devo prendere in considerazione queste 2 coppie di punti per $a>0$ e $a<0$
$|x_1-x_2|=|y_2-y_1|$ ; $AB=sqrt(|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2)$
giusto fin qui o sbaglio qualcosa ? c'è un metodo più sbrigativo ?
grazie mille dell'aiuto
ho risolto , scusate il disturbo
buongiorno
cerco di capire dove sbaglio nella risoluzione di questo semplice problemino , ma non capisco dove
devo trovare l'intercetta (parallela all'asse x) della parabola $y=-x^2+6x+5$ in modo che i punti di intersezione siano estremi del segmento $AB=3$
imposto il sistema , e con le radici che trovo , calcolo il modulo $|x_2-x_1|=AB$
dovrei trovare $k=7/4$ e quindi la retta corrispondente , ma trovo $k=7$ . dove sbaglio ?
${(y=-x^2+6x-5),(y=k):}$ ; $k=-x^2+6x-5$ ; $x^2-6x+5+k=0$ ; $Delta=16-k$
$x_(1,2)=(6+-sqrt(16-k))/2$ ; $3=|((6+sqrt(16-k))/2)-((6-sqrt(16-k))/2)|$ ; $3=|(2sqrt(16-k))/2|$ ; $3=sqrt(16-k)$
$9=16-k$ ; $k=7$
anche graficamente mi accorgo che la retta $y=7$ è di molto al di sopra della parabola , è quindi impossibile che vi siano intersezioni
cosa sto sbagliando ?
[asvg]xmin=-2 ; xmax=8 ;
ymin=-4 ; ymax=9 ;
axes(1,1, "labels");
plot("y=-x^2+6x-5");
stroke="green" ;
line([-8, 7/4], [8,7/4]);
stroke="red";
line([-8, 7], [8, 7]);[/asvg]
cerco di capire dove sbaglio nella risoluzione di questo semplice problemino , ma non capisco dove
devo trovare l'intercetta (parallela all'asse x) della parabola $y=-x^2+6x+5$ in modo che i punti di intersezione siano estremi del segmento $AB=3$
imposto il sistema , e con le radici che trovo , calcolo il modulo $|x_2-x_1|=AB$
dovrei trovare $k=7/4$ e quindi la retta corrispondente , ma trovo $k=7$ . dove sbaglio ?
${(y=-x^2+6x-5),(y=k):}$ ; $k=-x^2+6x-5$ ; $x^2-6x+5+k=0$ ; $Delta=16-k$
$x_(1,2)=(6+-sqrt(16-k))/2$ ; $3=|((6+sqrt(16-k))/2)-((6-sqrt(16-k))/2)|$ ; $3=|(2sqrt(16-k))/2|$ ; $3=sqrt(16-k)$
$9=16-k$ ; $k=7$
anche graficamente mi accorgo che la retta $y=7$ è di molto al di sopra della parabola , è quindi impossibile che vi siano intersezioni
cosa sto sbagliando ?
[asvg]xmin=-2 ; xmax=8 ;
ymin=-4 ; ymax=9 ;
axes(1,1, "labels");
plot("y=-x^2+6x-5");
stroke="green" ;
line([-8, 7/4], [8,7/4]);
stroke="red";
line([-8, 7], [8, 7]);[/asvg]
$Delta=16-4k$ -> 4k=7 -> $k=7/4$
ciao.
ciao.
grazie
prego!
ciao buon pomeriggio
sto sbattendo la testa contro qualche problemino ; non trovo un modo per risolverli
ecco 2 esempi :
-inscrivere un quadrato nella porzione di piano delimitata dalla parabola $y=-x^2+5x-4$ e l'asse $x$
la soluzione è $y=-2+sqrt13$ , ma non riesco ad arrivarci ? nella parte teorica del libro nulla in merito . anche provando a ragionare sul diagramma non capisco proprio da dove iniziare . conosco vertice e radici della parabola . qualche consiglio ?
-si determinino i vertici M e N del trapezio isoscele BMNC , inscritto nella parabola $y=x^2-8x+16$ , in modo che le diagonali siano perpendicolari ai lati uguali BM e CN . Idem con patate : non capisco da dove iniziare ... scusate se non ho accennato il minimo procedimento ma non so proprio da dove iniziare .
mi servirebbe qualche indizio
sto sbattendo la testa contro qualche problemino ; non trovo un modo per risolverli
ecco 2 esempi :
-inscrivere un quadrato nella porzione di piano delimitata dalla parabola $y=-x^2+5x-4$ e l'asse $x$
la soluzione è $y=-2+sqrt13$ , ma non riesco ad arrivarci ? nella parte teorica del libro nulla in merito . anche provando a ragionare sul diagramma non capisco proprio da dove iniziare . conosco vertice e radici della parabola . qualche consiglio ?
-si determinino i vertici M e N del trapezio isoscele BMNC , inscritto nella parabola $y=x^2-8x+16$ , in modo che le diagonali siano perpendicolari ai lati uguali BM e CN . Idem con patate : non capisco da dove iniziare ... scusate se non ho accennato il minimo procedimento ma non so proprio da dove iniziare .
mi servirebbe qualche indizio
partiamo dal primo: se devi inscrivere un rettangolo, devi prendere le soluzioni del sistema tra l'equazione della parabola e la retta y=k, ed i vertici saranno
$(x_1, 0),(x_2,0), (x_2,y), (x_1, y)$. se deve essere un quadrato, deve risultare $x_2-x_1=y$.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
$(x_1, 0),(x_2,0), (x_2,y), (x_1, y)$. se deve essere un quadrato, deve risultare $x_2-x_1=y$.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
grazie ada ! ho risolto il primo
${(y=k),(y=-x^2+5x-4):}$ ; $k=-x^2+5x-4$ ; $Delta=9-4k$ ; $x_(1,2)=(5+-sqrt(9-4k))/2$ ; $|x_2-x_1|=y$ ; $|(5+sqrt(9-4k))/2-(5-sqrt(9-4k))/2|=k$ ;
$|sqrt(9-4k)|=k$ ; $k^2+4k-9=0$ ; $Delta=16+36=52$ ; $k=(-4+-sqrt52)/2$ ; $k=-2+sqrt13$
per quanto riguarda il trapezio cerco di ragionare in maniera analoga . se riesco posto la soluzione , se no chiederò nuovamente lumi
grazie ancora ada
${(y=k),(y=-x^2+5x-4):}$ ; $k=-x^2+5x-4$ ; $Delta=9-4k$ ; $x_(1,2)=(5+-sqrt(9-4k))/2$ ; $|x_2-x_1|=y$ ; $|(5+sqrt(9-4k))/2-(5-sqrt(9-4k))/2|=k$ ;
$|sqrt(9-4k)|=k$ ; $k^2+4k-9=0$ ; $Delta=16+36=52$ ; $k=(-4+-sqrt52)/2$ ; $k=-2+sqrt13$
per quanto riguarda il trapezio cerco di ragionare in maniera analoga . se riesco posto la soluzione , se no chiederò nuovamente lumi
grazie ancora ada
dunque , riguardo a questo problemino
Una parabola ha il vertice $V(4,0)$ , passa per $A(0,16)$ e ha l'asse parallelo all'asse y (?) . Si determinino i vertici M e N del trapezio isoscele BMNC , inscritto nella parabola , in modo che le diagonali siano perpendicolari ai lati uguali BM e CN
$B(1,9) ; C(7,9)$
$BM=(y-9)/(y_M-9)=(x+1)/(x_M+1)$ ; $y=[((y_M-9)/(x_M+1))(x+1)]+9$ ; coeff. ang. $(y_M-9)/(x_M+1)$
retta passante per C ed M , perpendicolare alla retta passante per B e M :
$y=-1/((y_M-9)/(x_M+1))*(x-7)+9$
metto a sistema le due e trovo l'intersezione M
... può aver senso ?
Una parabola ha il vertice $V(4,0)$ , passa per $A(0,16)$ e ha l'asse parallelo all'asse y (?) . Si determinino i vertici M e N del trapezio isoscele BMNC , inscritto nella parabola , in modo che le diagonali siano perpendicolari ai lati uguali BM e CN
$B(1,9) ; C(7,9)$
$BM=(y-9)/(y_M-9)=(x+1)/(x_M+1)$ ; $y=[((y_M-9)/(x_M+1))(x+1)]+9$ ; coeff. ang. $(y_M-9)/(x_M+1)$
retta passante per C ed M , perpendicolare alla retta passante per B e M :
$y=-1/((y_M-9)/(x_M+1))*(x-7)+9$
metto a sistema le due e trovo l'intersezione M
... può aver senso ?
EDIT: nascondo il testo che riguarda esercizio già svolto in precedenza
@ piero_
l'equazione della parabola era già nel testo quando ha proposto la prima versione del problema.
@ stefano.c
prego!
riguardo al secondo problema, dal testo sembrerebbero noti i punti B e C: sono per caso (0,16) e (8,16) ?
no, scusa, sono distratta, ero rimasta alla vecchia versione: dal testo conosci B(1,9), C(7,9) oltre che l'equazione della parabola?
non dice, però, se BC è la base maggiore o la base minore, mi pare ...
l'equazione della parabola era già nel testo quando ha proposto la prima versione del problema.
@ stefano.c
prego!
riguardo al secondo problema, dal testo sembrerebbero noti i punti B e C: sono per caso (0,16) e (8,16) ?
no, scusa, sono distratta, ero rimasta alla vecchia versione: dal testo conosci B(1,9), C(7,9) oltre che l'equazione della parabola?
non dice, però, se BC è la base maggiore o la base minore, mi pare ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo