Funzioni goniometriche
Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla 
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla
Risposte
Penso di aver risolto.....
Sono arrivato al seguente punto:
$ (1-tg^2 alpha)/(tg^2 alpha +1)*1/(1-tg alpha) $
ho pensato di fare cosi':
$ ((1-tg alpha)*(1+tg alpha))/(tg^2 alpha +1)*1/(1-tg alpha) $
e sono arrivato alla conclusione:
$ (1+tg alpha)/(tg^2 alpha +1) $
Dici che ho fatto bene?
Sono arrivato al seguente punto:
$ (1-tg^2 alpha)/(tg^2 alpha +1)*1/(1-tg alpha) $
ho pensato di fare cosi':
$ ((1-tg alpha)*(1+tg alpha))/(tg^2 alpha +1)*1/(1-tg alpha) $
e sono arrivato alla conclusione:
$ (1+tg alpha)/(tg^2 alpha +1) $
Dici che ho fatto bene?
Sì, ma non era necessario scrivere lo svolgimento: se ti è venuto, è giusto.
Ok, dai prossimi messaggi, non scrivero' gli svolgimenti, tranne se e' necessario 
Non sto capendo il senso di un esercizio. E' un esercizio di completamento delle risposte.
Gli angoli associati a un angolo $ alpha $ del primo quadrante che in valore assoluto hanno uguali le funzioni gonimetriche sono:
- nel primo quadrante...........
- nel terzoquadrante............
- nel quarto quadrante..........
Cosa bisogna dire per completare le risposte?
Grazie mille!
Gli angoli associati a un angolo $ alpha $ del primo quadrante che in valore assoluto hanno uguali le funzioni gonimetriche sono:
- nel primo quadrante...........
- nel terzoquadrante............
- nel quarto quadrante..........
Cosa bisogna dire per completare le risposte?
Grazie mille!
Disegna l'angolo $alpha$ che consiglio sia circa 30°; il suo complementare è ovviamente $90°-alpha$ e disegnalo. Poi, nel modo che ti ho già spiegato, disegna tutti gli associati di primo e secondo tipo. Otterrai in tutto 8 angoli (compreso $alpha$) e la domanda è: supposto di sapere il valore di $alpha$, come si calcolano gli altri angoli?
Se sono nel secondo quadrante allora sara':
$ 90^o +alpha $
Se sono nel terzo quadrante sara'
$ 180^o + alpha $
Se sono nel quarto quadrante sara'
o $ - alpha $ oppure $ 360^o - alpha $
Si intende questo?
$ 90^o +alpha $
Se sono nel terzo quadrante sara'
$ 180^o + alpha $
Se sono nel quarto quadrante sara'
o $ - alpha $ oppure $ 360^o - alpha $
Si intende questo?
Esercizio 26
Altro esercizio di cui non sto capendo precisamente cosa deco fare.
Dopo aver disegnato sulla circonferenza goniometrica un angolo $ alpha $, disegna sulla medesima circonferenza l'angolo associato $ beta $, evidenziando graficamente le relazioni tra le funzioni goniometriche.
a) $ alpha $ e $ beta $ supplementari $ 90^o
b) $ alpha $ e $ beta $ complementari $ 0
c) $ alpha $ e $ beta $ esplementari $ 270^o < alpha< 360^o $
d) $ beta= 90^o +alpha $ con $ 270^o < alpha<360^o $
Come faccio a disegnare l'angolo associato $ beta $ ?
Altro esercizio di cui non sto capendo precisamente cosa deco fare.
Dopo aver disegnato sulla circonferenza goniometrica un angolo $ alpha $, disegna sulla medesima circonferenza l'angolo associato $ beta $, evidenziando graficamente le relazioni tra le funzioni goniometriche.
a) $ alpha $ e $ beta $ supplementari $ 90^o
b) $ alpha $ e $ beta $ complementari $ 0
c) $ alpha $ e $ beta $ esplementari $ 270^o < alpha< 360^o $
d) $ beta= 90^o +alpha $ con $ 270^o < alpha<360^o $
Come faccio a disegnare l'angolo associato $ beta $ ?
Ma qual'e' l'angolo complementare all'angolo di $ 225^o $
E ho lo stesso problema con l'a golo di $ 120^o $ .
In questi casi che si hanno angoli superiori a $ 90^o $ , come si determinano i complementari?
E ho lo stesso problema con l'a golo di $ 120^o $ .
In questi casi che si hanno angoli superiori a $ 90^o $ , come si determinano i complementari?
Hai un libro; se guardi dove inizia a parlare dell'angolo complementare trovi certo la definizione; idem per gli altri. La definizione è comunque la solita, solo che possono venire angoli negativi; ad esempio il complementare di $150°$ è $90°-150°=-60°$
"giammaria":
Hai un libro; se guardi dove inizia a parlare dell'angolo complementare trovi certo la definizione; idem per gli altri. La definizione è comunque la solita, solo che possono venire angoli negativi; ad esempio il complementare di $150°$ è $90°-150°=-60°$
Ti giuro, il mio testo parla solo del fatto che un angolo complementare, è dato dalla somma di due angoli che danno nel totale $ 90^o $ , (detta a parole mie).
Non mi ha mensionato nessun esempio come questi in cui avevo il dubbio!
Quindi vuol dire che il complementare di $ 225^o $ è $ 90^o-225^o =-135^o$
Il complementare di $ 120^o $ è $ 90^o-120^o =-30^o$
Ok, adesso ho compreso! Ti ringrazio!
Ritornando sull' Esercizio 26
Dopo aver disegnato sulla circonferenza goniometrica un angolo $ alpha $, disegna sulla medesima circonferenza l'angolo associato $ beta $, evidenziando graficamente le relazioni tra le funzioni goniometriche.
a) $ alpha $ e $ beta $ supplementari $ 90^o
b) $ alpha $ e $ beta $ complementari $ 0
c) $ alpha $ e $ beta $ esplementari $ 270^o < alpha< 360^o $
d) $ beta= 90^o +alpha $ con $ 270^o < alpha<360^o $
Provo a dare una risposta per ogni singolo punto
Risposta
a) Supplementare è quando la somma dei due angoli è $ 180^o $ , quindi se $ alpha $ è tra $ 90^o^^180^o $ , allora il supplementare sarà dato da:
$ 180^o + alpha $
b) Complementare è quando la somma dei due angoli è $ 90^o $ , quindi sarà $ 90^o +alpha $
c) Esplementari quando la loro somma è $ 360^o $ , quindi $ 360^o - alpha $
Ma il punto d), cosa richiede Non sto capendo, mi sembra che dice questo $ beta= 90^o +alpha $ perchè dovrebbe trattarsi di un complementare, e che deve essere incluso tra $ 270^o < alpha<360^o $ Ho compreso bene
d) Dite che la soluzione è $ 90^o - alpha $
Dopo aver disegnato sulla circonferenza goniometrica un angolo $ alpha $, disegna sulla medesima circonferenza l'angolo associato $ beta $, evidenziando graficamente le relazioni tra le funzioni goniometriche.
a) $ alpha $ e $ beta $ supplementari $ 90^o
b) $ alpha $ e $ beta $ complementari $ 0
c) $ alpha $ e $ beta $ esplementari $ 270^o < alpha< 360^o $
d) $ beta= 90^o +alpha $ con $ 270^o < alpha<360^o $
Provo a dare una risposta per ogni singolo punto
Risposta
a) Supplementare è quando la somma dei due angoli è $ 180^o $ , quindi se $ alpha $ è tra $ 90^o^^180^o $ , allora il supplementare sarà dato da:
$ 180^o + alpha $
b) Complementare è quando la somma dei due angoli è $ 90^o $ , quindi sarà $ 90^o +alpha $
c) Esplementari quando la loro somma è $ 360^o $ , quindi $ 360^o - alpha $
Ma il punto d), cosa richiede
Non sto capendo, mi sembra che dice questo $ beta= 90^o +alpha $ perchè dovrebbe trattarsi di un complementare, e che deve essere incluso tra $ 270^o < alpha<360^o $ Ho compreso bene d) Dite che la soluzione è $ 90^o - alpha $
Supplementare è quando la somma dei due angoli è 180°, quindi se $alpha$ e $beta$ sono supplementari $beta=180°-alpha$. Il valore di alpha$ non modifica la definizione.
Per il punto d devi solo ricordare come si fa la somma di due angoli: prima si ruota di uno dei due e poi, partendo dal punto trovato, dell'altro. Se c'è un meno, la rotazione è in senso negativo.
Per il punto d devi solo ricordare come si fa la somma di due angoli: prima si ruota di uno dei due e poi, partendo dal punto trovato, dell'altro. Se c'è un meno, la rotazione è in senso negativo.
"giammaria":
Supplementare è quando la somma dei due angoli è 180°, quindi se $alpha$ e $beta$ sono supplementari $beta=180°-alpha$. Il valore di alpha$ non modifica la definizione.
Scusami, un errore di battitura
, oggi sono stato tutto il giorno a lavoro con la tastiera del PC, e mi stanno venendo fuori delle cavolate! Apporto la modifica Ho corretto due lati con due angoli!
Correggi soprattutto la formula: l'errore più grave è quello.
Ricavo il complementare di $ -15^o $ , sarà $ 360^o -15^o= 345^o $ dunque $ 90^o - 345^o= -255^o $
"giammaria":
Correggi soprattutto la formula: l'errore più grave è quello.
Hai pienamente ragione:
a) Supplementare è quando la somma dei due angoli è $ 180^o $ , quindi se $ alpha $ è tra $ 90^o^^180^o $ , allora il supplementare sarà dato da:
$ 180^o - alpha $
Esercizio 27
Determina gli angoli associati dei seguenti angoli:
a) $ 108^o $
b) $ 315^o $
c) $ 150^o $
Forse non mi è chiara la definizione di angolo associato....
Provo a dire qualcosa.....
Angoli associati possono essere:
complementari (somma=90°)
supplementari (somma=180°)
esplementari (somma=360°)
Se sono questi tre casi, allora sarà:
a)
complementari (somma=90°)=> $ 90^o - 108^o = -18^o $
supplementari (somma=180°)=> $ 180^o - 108^o = 72^o $
esplementari (somma=360°)=> $ 360^o - 108^o = 252^o $
Idem caso b) e caso c)
Determina gli angoli associati dei seguenti angoli:
a) $ 108^o $
b) $ 315^o $
c) $ 150^o $
Forse non mi è chiara la definizione di angolo associato....
Provo a dire qualcosa.....
Angoli associati possono essere:
complementari (somma=90°)
supplementari (somma=180°)
esplementari (somma=360°)
Se sono questi tre casi, allora sarà:
a)
complementari (somma=90°)=> $ 90^o - 108^o = -18^o $
supplementari (somma=180°)=> $ 180^o - 108^o = 72^o $
esplementari (somma=360°)=> $ 360^o - 108^o = 252^o $
Idem caso b) e caso c)
... e quindi il complementare di $-15$ è $90°-(-15°)=105°$ (correzione di un esercizio precedente).
Nell'ultimo esercizio hai trascurato molti altri associati, a cui molti libri non danno nome, ma forse il tuo lo fa (guarda). Tutti gli associati sono:
Di primo tipo:
$180°-alpha$ (supplementari)
$180°+alpha$ (credo che il tuo libro li chiami antisupplementari; quelli che ho consultato non gli danno nome)
$360°-alpha$ (esplementari) o $-alpha$ (opposti) che coincidono sul cerchio goniometrico
Di secondo tipo
$90°-alpha$ (complementari)
$90°+alpha$ (senza nome)
$270°-alpha$ (senza nome)
$270°+alpha$ (senza nome)
Ti consiglio di copiarti questo elenco su un foglietto; se il tuo libro gli dà un nome, scrivilo.
A tutti i valori che ho dato possono essere aggiunti o sottratti multipli di 360°; ad esempio il supplementare di 240° è $180°-240°=-60°$ che volendo posso scrivere come $-60°+360°=300°$
Nell'ultimo esercizio hai trascurato molti altri associati, a cui molti libri non danno nome, ma forse il tuo lo fa (guarda). Tutti gli associati sono:
Di primo tipo:
$180°-alpha$ (supplementari)
$180°+alpha$ (credo che il tuo libro li chiami antisupplementari; quelli che ho consultato non gli danno nome)
$360°-alpha$ (esplementari) o $-alpha$ (opposti) che coincidono sul cerchio goniometrico
Di secondo tipo
$90°-alpha$ (complementari)
$90°+alpha$ (senza nome)
$270°-alpha$ (senza nome)
$270°+alpha$ (senza nome)
Ti consiglio di copiarti questo elenco su un foglietto; se il tuo libro gli dà un nome, scrivilo.
A tutti i valori che ho dato possono essere aggiunti o sottratti multipli di 360°; ad esempio il supplementare di 240° è $180°-240°=-60°$ che volendo posso scrivere come $-60°+360°=300°$
Ok, ho copiato lo specchietto degli angoli associati!
Chissà perchè molti testi trascurano questi angoli associati
Chissà perchè molti testi trascurano questi angoli associati
Esercizio 28
Determina le funzioni goniometriche dei seguenti angoli:
a) $ 120^o $
b) $ 210^o $
c) $ 600^o $
Le principali funzioni goniometriche sono $ sen alpha $ , $ cos alpha $ , $ tan alpha $ e $ ctg alpha $ (correggetemi se sbaglio o se do delle risposte incomplete).
Risposta a)
L'angolo $ 120^o $ si trova nel secondo quadrante e quindi ha il $ sen alpha $ che è positivo, il $ cos alpha $ che è negativo, anche la $ tan alpha $ negativa mentre la $ ctg alpha $ è positiva.
Essendo nel secondo quadrante, allora il suo angolo associato è dato dalla seguente relazione:
$ 180^o - alpha => 180^o - 120^o = 60^o $
$ sen 60^o = sen 120^o = (sqrt(3))/2$
Non scrivo il resto delle soluzioni dell'esercizio, non serve, in quanto penso basti questo per vedere se ho compreso!
Ho notato che negli angoli associati, se si calcola es il $ sen alpha$ si ha lo stesso valore anche calcolando il $ sen alpha $ associato
Determina le funzioni goniometriche dei seguenti angoli:
a) $ 120^o $
b) $ 210^o $
c) $ 600^o $
Le principali funzioni goniometriche sono $ sen alpha $ , $ cos alpha $ , $ tan alpha $ e $ ctg alpha $ (correggetemi se sbaglio o se do delle risposte incomplete).
Risposta a)
L'angolo $ 120^o $ si trova nel secondo quadrante e quindi ha il $ sen alpha $ che è positivo, il $ cos alpha $ che è negativo, anche la $ tan alpha $ negativa mentre la $ ctg alpha $ è positiva.
Essendo nel secondo quadrante, allora il suo angolo associato è dato dalla seguente relazione:
$ 180^o - alpha => 180^o - 120^o = 60^o $
$ sen 60^o = sen 120^o = (sqrt(3))/2$
Non scrivo il resto delle soluzioni dell'esercizio, non serve, in quanto penso basti questo per vedere se ho compreso!
Ho notato che negli angoli associati, se si calcola es il $ sen alpha$ si ha lo stesso valore anche calcolando il $ sen alpha $ associato
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