Funzioni goniometriche
Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla 
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla
Risposte
Hai dato la risposta della calcolatrice ma pensando agli angoli associati hai anche $tg 135°=tg(180°-45°)=-tg 45°=-1$ e $tg 225°=tg(270°-45°)=-tg 45°=-1$ (mi riferisco alla tua seconda formula ma cose simili valgono anche per la prima). Con quale criterio la calcolatrice scegli l'unica risposta che può darti?
Per $+-oo$, non è veramente un numero, quindi la tangente non esiste: la risposta è "Gli angoli in cui la tangente non esiste, cioè i multipli dispari dell'angolo retto". Se vuoi usare la calcolatrice, approssima l'infinito con numero molto grande, positivo o negativo a seconda dei casi; naturalmente otterrai un risultato approssimato ma usando i gradi capisci facilmente a cosa.
Per $+-oo$, non è veramente un numero, quindi la tangente non esiste: la risposta è "Gli angoli in cui la tangente non esiste, cioè i multipli dispari dell'angolo retto". Se vuoi usare la calcolatrice, approssima l'infinito con numero molto grande, positivo o negativo a seconda dei casi; naturalmente otterrai un risultato approssimato ma usando i gradi capisci facilmente a cosa.
Le tue spiegazioni rendono la vita molto più facile 
Adesso voglio cercare di far chiarezza sul quesito:
In quale intervallo cadono gli angoli che la tua calcolatrice fornisce quando usi la funzione $tan^(-1)$ E con la funzione $cos^(-1)$ E con la funzione $ sin^(-1) $
Grazie a tutte le spiegazioni, adesso cerco di capire!
Mi sebra di aver compreso che per $tan^(-1)$; $cos^(-1)$;$ sin^(-1) $, si è sempre nel primo quadrante, se arbritariamente do valori di $ +1 $, giusto
Caso 1 $tan^(-1)$
Anche se mi sembra una domanda un po' vaga, perchè se io devo pensare a quale quadrante corrisponde $tan^(-1)$, come faccio a rispondere se non mi viene dato un valore numerico Detto questo, so che se arbritariamente do un valore di $ +-1 $ alla $tan^(-1)$ posso dire che mi trovo in due quadranti, uno è $ 0 Dico questo perchè so di avere $tan^(-1) (1)=45$ e quindi $tan^(-1) (-1) = -45$ e sapendo che $ 180^o + alpha= tg alpha $ (ma questo vale per un angolo Antisupplementare) 
Ecco quì che vado in palla, perchè se è un Angolo supplementare, le cose cambiano, ecco perchè è un po vaga la domanda dell'esercizio
Spero di non aver detto cavolate
In base a questo, continuo a fare delle prove:
Caso 2 $cos^(-1)$
Qui ho preso in considerazione i seguenti valori, $0,+-0.5$ e posso dire che mi trovo in due quadranti, uno è $ 0
Caso 3 $ sin^(-1) $
Anche qui' ho preso in considerazione i seguenti valori, $0,+-0.5$ e posso dire che mi trovo in due quadranti, uno è $ 0
Ma ripeto, per me è un po vaga la domanda, sarà che non sto capendo come rispondere, ma non so altrimenti cosa dire!
Adesso voglio cercare di far chiarezza sul quesito:
In quale intervallo cadono gli angoli che la tua calcolatrice fornisce quando usi la funzione $tan^(-1)$
E con la funzione $cos^(-1)$ E con la funzione $ sin^(-1) $ Grazie a tutte le spiegazioni, adesso cerco di capire!
Mi sebra di aver compreso che per $tan^(-1)$; $cos^(-1)$;$ sin^(-1) $, si è sempre nel primo quadrante, se arbritariamente do valori di $ +1 $, giusto
Caso 1 $tan^(-1)$
Anche se mi sembra una domanda un po' vaga, perchè se io devo pensare a quale quadrante corrisponde $tan^(-1)$, come faccio a rispondere se non mi viene dato un valore numerico
Detto questo, so che se arbritariamente do un valore di $ +-1 $ alla $tan^(-1)$ posso dire che mi trovo in due quadranti, uno è $ 0 Dico questo perchè so di avere $tan^(-1) (1)=45$ e quindi $tan^(-1) (-1) = -45$ e sapendo che $ 180^o + alpha= tg alpha $ (ma questo vale per un angolo Antisupplementare) Ecco quì che vado in palla, perchè se è un Angolo supplementare, le cose cambiano, ecco perchè è un po vaga la domanda dell'esercizio Spero di non aver detto cavolate
In base a questo, continuo a fare delle prove:
"giammaria":
Ora puoi provare a risolvere l'esercizio e usa numeri sia positivi che negativi; fra gli altri prova anche $0,+-0.5, +-1,+-2$ e vedi se sei o no d'accordo con i risultati.
Caso 2 $cos^(-1)$
Qui ho preso in considerazione i seguenti valori, $0,+-0.5$ e posso dire che mi trovo in due quadranti, uno è $ 0
Caso 3 $ sin^(-1) $
Anche qui' ho preso in considerazione i seguenti valori, $0,+-0.5$ e posso dire che mi trovo in due quadranti, uno è $ 0
Ma ripeto, per me è un po vaga la domanda, sarà che non sto capendo come rispondere, ma non so altrimenti cosa dire!
Se quanto ho scritto nel messaggio precedente, è ancora sbagliato, allora confermo che sarà un esercizio che riprenderò più avanti!
Nel complesso va bene, a parte il caso 3: nel secondo quadrante il seno è positivo; con seno negativo la calcolatrice non dà certo quel quadrante. Ti scrivo la semplice risposta.
Per tutte tre le funzioni (che sono dette le funzioni inverse) se dai valori positivi ottieni angoli nel primo quadrante, con segnalazione di errore se dai valori assurdi, ad esempio se chiedi $sin^(-1)2$: nessun angolo ha il seno che vale 2.
Se dai valori negativi ottieni angoli
- del quarto quadrante con $sin^(-1)$ e con $tan^(-1)$
- del secondo quadrante con $cos^(-1)$
La regola generale è: la calcolatrice dà l'angolo con valore assoluto più piccolo, il più vicino allo zero; a parità di questo, dà quello positivo.
Per tutte tre le funzioni (che sono dette le funzioni inverse) se dai valori positivi ottieni angoli nel primo quadrante, con segnalazione di errore se dai valori assurdi, ad esempio se chiedi $sin^(-1)2$: nessun angolo ha il seno che vale 2.
Se dai valori negativi ottieni angoli
- del quarto quadrante con $sin^(-1)$ e con $tan^(-1)$
- del secondo quadrante con $cos^(-1)$
La regola generale è: la calcolatrice dà l'angolo con valore assoluto più piccolo, il più vicino allo zero; a parità di questo, dà quello positivo.
Ho compreso il perche' ho sbagliato nel caso 3, adesso ho finalmente compreso anche il senso della domanda! 
Mi sembra ovvio che i valori assurdi sia o per valori maggiori di 1 o minori di -1, perche' la circonferenza, ha valore unitario, infatti:
$ sen^2 alpha + cos^2 alpha= 1 $
Grazie mille!
P.S. Se non capivo quel concetto, non mi davo pace!
Mi sembra ovvio che i valori assurdi sia o per valori maggiori di 1 o minori di -1, perche' la circonferenza, ha valore unitario, infatti:
$ sen^2 alpha + cos^2 alpha= 1 $
Grazie mille!
P.S. Se non capivo quel concetto, non mi davo pace!
E' giusto quanto segue?
Se ho $ sen alpha =-2/3 $ e voglio sapere in quale quadrante mi trovo, utilizzando la calcolatrice, faccio cosi':
$ sen^-1(-2/3)= -41,8103 $
Essendo un valore negativo, aggiungo $ 360^o $ con multipli tatno quanto basta per rientrare nella positivita'!
In questo caso e':
$ -41,810^o +360^o=318,189^o $
Sono nel quarto quadrante!
Giusto?
Se ho $ sen alpha =-2/3 $ e voglio sapere in quale quadrante mi trovo, utilizzando la calcolatrice, faccio cosi':
$ sen^-1(-2/3)= -41,8103 $
Essendo un valore negativo, aggiungo $ 360^o $ con multipli tatno quanto basta per rientrare nella positivita'!
In questo caso e':
$ -41,810^o +360^o=318,189^o $
Sono nel quarto quadrante!
Giusto?
Tutto giusto. Io preferisco il -41,81 al 318,19 ma è questione di gusti e di come si vuole continuare.
Anche io preferisco lo stesso! 
Solo che volevo fare una verifica su un esercizio che sto facendo!
Solo che volevo fare una verifica su un esercizio che sto facendo!
Esercizio 21
Trasforma la seguente espressione, che si suppone definita per il valore di $ alpha $ considerato, in altre che contengono solo $ sen alpha $.
$ ((sen alpha)/(tg alpha))-((ctg alpha)/(cos alpha))-cos alpha +(2)/(sqrt(1-cos^2 alpha)) $
con $ 0^o
Ma cosa bisogna fare? Devo utilizzare le formule inverse delle funzioni goniometriche che non sono $ sen alpha $ ?
Trasforma la seguente espressione, che si suppone definita per il valore di $ alpha $ considerato, in altre che contengono solo $ sen alpha $.
$ ((sen alpha)/(tg alpha))-((ctg alpha)/(cos alpha))-cos alpha +(2)/(sqrt(1-cos^2 alpha)) $
con $ 0^o
Ma cosa bisogna fare? Devo utilizzare le formule inverse delle funzioni goniometriche che non sono $ sen alpha $ ?
Non so bene cosa intendi parlando di formule inverse; le formule da utilizzare sono le solite $sin^2 alpha+cos^2alpha=1$ e $tg alpha=(sin alpha)/(cos alpha)$ (e simile per la cotangente). Il consiglio che do di solito è cominciare ad usare solo la seconda di esse e semplificare il più possibile il risultato ottenuto, contenente solo seni e coseni; a quel punto usi la prima per avere solo il seno (ovvio, se la richiesta era quella). Con la pratica si vedono spesso scorciatoie, ma agli inizi può andar bene anche così.
Ok, adesso ne risolvo un bel po', voglio scoprire le scorciatoie!
Grazie al tuo consiglio, sono arrivato alla giusta conclusione $ S=1/(sen alpha) $
Inizialmente, stavo utilizzando le formule senza pensare che era proprio meglio portare a seni e coseni
Ti ringrazio!
Grazie al tuo consiglio, sono arrivato alla giusta conclusione
$ S=1/(sen alpha) $ Inizialmente, stavo utilizzando le formule senza pensare che era proprio meglio portare a seni e coseni
Ti ringrazio!
Esercizio 22
Infatti il tuo consiglio funziona sempre, cioè cominciare a risolvere $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $ e poi usare $ sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1 $
Ecco con questa:
$ (tg alpha sen alpha + cos alpha)*1/(cos alpha) => ((sen alpha)/(cos alpha) *sen alpha + cos alpha)*1/(cos alpha) $
$ ((sen^2 alpha)/(cos alpha) + cos alpha)*1/(cos alpha) => (sen^2 alpha)/(cos^2 alpha) + 1 $
$ (sen^2 alpha)/(1-sen^2 alpha) + 1 => (sen^2 alpha+1-sen^2 alpha) /(1-sen^2 alpha) $
Segue:
$ (1) /(1-sen^2 alpha) $
Infatti il tuo consiglio funziona sempre, cioè cominciare a risolvere $ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $ e poi usare $ sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1 $
Ecco con questa:
$ (tg alpha sen alpha + cos alpha)*1/(cos alpha) => ((sen alpha)/(cos alpha) *sen alpha + cos alpha)*1/(cos alpha) $
$ ((sen^2 alpha)/(cos alpha) + cos alpha)*1/(cos alpha) => (sen^2 alpha)/(cos^2 alpha) + 1 $
$ (sen^2 alpha)/(1-sen^2 alpha) + 1 => (sen^2 alpha+1-sen^2 alpha) /(1-sen^2 alpha) $
Segue:
$ (1) /(1-sen^2 alpha) $
Esercizio 23
Mi sto impallando con questo:
Trasforma la seguente espressione in una che contiene solo $ cos alpha $ :
$ (cos alpha)/(1+sen alpha)+tg alpha+(1)/(cos alpha) $
Penso che cio' che mi sta creando problemi, e' quel $ 1+sen alpha $ al denominatore!
Mi sto impallando con questo:
Trasforma la seguente espressione in una che contiene solo $ cos alpha $ :
$ (cos alpha)/(1+sen alpha)+tg alpha+(1)/(cos alpha) $
Penso che cio' che mi sta creando problemi, e' quel $ 1+sen alpha $ al denominatore!
Esercizio 24
Sempre la stessa richiesta dell'esercizio precedente, cioe' portare tutto in $ cos alpha $, ma penso che questa volta ho fatto bene...
Ecco qui':
$ sen alpha tg alpha - (sen alpha (1+tg^2 alpha))/(tg alpha) $
Senza scrivere tutti i passaggi, sono arrivato al seguente punto:
$ (sen^2 alpha -1)/(cos alpha) $
Per arrivare alla conclusione ho fatto come segue:
$ -(sen^2 alpha +1)/(cos alpha) $
e quindi
$ -(cos^2 alpha)/(cos alpha)= - cos alpha $
Dite che ho fatto bene?
Sempre la stessa richiesta dell'esercizio precedente, cioe' portare tutto in $ cos alpha $, ma penso che questa volta ho fatto bene...
Ecco qui':
$ sen alpha tg alpha - (sen alpha (1+tg^2 alpha))/(tg alpha) $
Senza scrivere tutti i passaggi, sono arrivato al seguente punto:
$ (sen^2 alpha -1)/(cos alpha) $
Per arrivare alla conclusione ho fatto come segue:
$ -(sen^2 alpha +1)/(cos alpha) $
e quindi
$ -(cos^2 alpha)/(cos alpha)= - cos alpha $
Dite che ho fatto bene?
23) Porta in seno e coseno e dai denominatore comune; a numeratore troverai, fra l'altro, $sin^2alpha+cos^2alpha$ e sostituiscilo con $1$.
C'è anche una soluzione più breve ma artificiosa ed è moltiplicare la prima frazione per $(1-sinalpha)/(1-sinalpha)$: un po' come razionalizzare.
24) Bene, a parte un segno nella penultima riga; direi che è solo un errore di battitura.
C'è anche una soluzione più breve ma artificiosa ed è moltiplicare la prima frazione per $(1-sinalpha)/(1-sinalpha)$: un po' come razionalizzare.
24) Bene, a parte un segno nella penultima riga; direi che è solo un errore di battitura.
Ok, per l'esercizio 24!
Ok, adesso provo a terminare l'esercizio 23
Dunque:
$ (cos alpha)/(1+sen alpha)+tg alpha+(1)/(cos alpha) $
$ (cos alpha)/(1+sen alpha)+(sen alpha)/(cos alpha)+(1)/(cos alpha) $
$ (cos^2 alpha + sen alpha (1+sen alpha) + 1 + sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (cos^2 alpha + sen alpha + sen^2 alpha + 1 + sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (cos^2 alpha + sen^2 alpha + 1 + 2sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (1+ 1 + 2sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (2 + 2sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (2(1 + sen alpha))/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
E segue
$ (2)/((cos alpha)) $
Ok, adesso provo a terminare l'esercizio 23
Dunque:
$ (cos alpha)/(1+sen alpha)+tg alpha+(1)/(cos alpha) $
$ (cos alpha)/(1+sen alpha)+(sen alpha)/(cos alpha)+(1)/(cos alpha) $
$ (cos^2 alpha + sen alpha (1+sen alpha) + 1 + sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (cos^2 alpha + sen alpha + sen^2 alpha + 1 + sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (cos^2 alpha + sen^2 alpha + 1 + 2sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (1+ 1 + 2sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (2 + 2sen alpha)/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
$ (2(1 + sen alpha))/((1+sen alpha)(cos alpha)) $
E segue
$ (2)/((cos alpha)) $
Bravo. Non sarebbe stato più rapido risolverla solo sulla carta e scrivere qui solo che ti è venuto?
Esercizio 25
Devo portare tutto in $ tg alpha $
$ (cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(1-tg alpha) $
Ho pensato di fare cosi'
$ (-1)/(1-tg alpha) $
ma poi non riesco ad arrivare alla soluzione che e'
$ (1+tg alpha )/(1+tg alpha) $
Devo portare tutto in $ tg alpha $
$ (cos^2 alpha - sen^2 alpha)/(1-tg alpha) $
Ho pensato di fare cosi'
$ (-1)/(1-tg alpha) $
ma poi non riesco ad arrivare alla soluzione che e'
$ (1+tg alpha )/(1+tg alpha) $
No, il numeratore non vale $-1$; ti stai confondendo con $-cos^2 alpha-sin^2 alpha=-1$. Devi invece usare le formule che esprimono seno e coseno in funzione della tangente, quelle nella cui dimostrazione ti chiedevi perché dovevi calcolare $tg^2 alpha+1$
Adesso provo subito!
E' da un'ora che faccio prove e riprove!
E' da un'ora che faccio prove e riprove!
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