Funzioni goniometriche
Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla 
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla
Risposte
"Bad90":
perchè penso si possa trascurare per multipli di $ 360^o ^^ 180^o $ , vero?
Falso: per seno e coseno si possono trascurare i multipli di 360° ma non quelli di 180° (che sono trascurabili solo per tangente e cotangente). Comunque nel tuo esercizio c'era 360° e solo in seguito l'hai sbadatamente trascritto come 180°.
Ti faccio due osservazioni sulla forma:
- scrivi $(a^2-b^2) cos alpha$ e non $cos alpha(a^2-b^2)$ che è equivoco perché non si capisce se vuoi moltiplicare per la parentesi l'angolo o il suo coseno. Inoltre in una scrittura ordinata i fattori vanno messi dal più facile al più difficile e un polinomio (funzione algebrica) è più facile di un coseno (funzione trascendente);
- da qualche tempo il compilatore accetta anche il simbolo del grado, presente in tastiera; inutile ricorrere al ^o.
Per quanto riguarda il mio precedente intervento, trascrivilo nella tua testolina; farlo sul computer non serve a niente.
Ok! Quindi ho sbagliato l'esercizio! Adesso rivedo il tutto! 
"giammaria":
- scrivi $(a^2-b^2) cos alpha$ e non $cos alpha(a^2-b^2)$ che è equivoco perché non si capisce se vuoi moltiplicare per la parentesi l'angolo o il suo coseno.
Non ho capito questo!
Che differenza c'è
Ho meglio non ho capito cosa genera quel fattore posizionale diverso Sarà che non sto riuscendo a trovare quello che mi serve in quello che mi hai consigliato nella pagina 15!
Riprendo questo esercizio di cui non sto capendo la soluzione corretta, cerco di commentare correttamente tutti gli step e magari saltano fuori gli errori!
Allora:
$ cos(alpha - 360^o)= cos alpha $
$ sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1 $ e dunque al numeratore avrò:
$ (a^2+b^2) cos alpha [1*(alpha -180^o)] $
Arrivo al numeratore seguente:
$ (a^2+b^2) cos alpha*[(alpha -180^o)] $
Posso scrivere così?
$ (a^2+b^2) cos (alpha -180^o) $
Se questo è corretto, $ cos (alpha -180^o) $ allora si tratta di un angolo supplementare, giusto
$ cos (alpha -180^o)= -sen alpha $
Vero
Al denominatore.
$ sen (90^o + alpha)= cos alpha $
Se tutti i passaggi scritti fin quiì sono corretti, allora continuo, altrimenti è meglio capire dove ho sbagliato
P.S. Forse ho bisogno di comprendere meglio quello che è scritto nella pag 15, dici che dipende da quello che non sto riuscendo a venirne fuori
Grazie mille giammaria!
Nego che il tuo libro abbia volutamente scritto $cos^2alpha(alpha-180°)$ che avrebbe scarso significato; lo correggo in $cos^2(alpha-180°)$. Svolgo l'esercizio.
$"formula iniziale"=((a^2+b^2)cos alpha[sin^2alpha+(-cos alpha)^2])/((a-b)^2cos alpha+(a+b)^2cos alpha)=((a^2+b^2)cos alpha[sin^2alpha+cos^2alpha])/(cos alpha[(a-b)^2+(a+b)^2])=$
$=(a^2+b^2)/(a^2-2ab+b^2+a^2+2ab+b^2)=(a^2+b^2)/(2(a^2+b^2))=1/2$
$"formula iniziale"=((a^2+b^2)cos alpha[sin^2alpha+(-cos alpha)^2])/((a-b)^2cos alpha+(a+b)^2cos alpha)=((a^2+b^2)cos alpha[sin^2alpha+cos^2alpha])/(cos alpha[(a-b)^2+(a+b)^2])=$
$=(a^2+b^2)/(a^2-2ab+b^2+a^2+2ab+b^2)=(a^2+b^2)/(2(a^2+b^2))=1/2$
"giammaria":
Nego che il tuo libro abbia volutamente scritto $cos^2alpha(alpha-180°)$ che avrebbe scarso significato; lo correggo in $cos^2(alpha-180°)$. Svolgo l'esercizio.
$"formula iniziale"=((a^2+b^2)cos alpha[sin^2alpha+(-cos alpha)^2])/((a-b)^2cos alpha+(a+b)^2cos alpha)=((a^2+b^2)cos alpha[sin^2alpha+cos^2alpha])/(cos alpha[(a-b)^2+(a+b)^2])=$
$=(a^2+b^2)/(a^2-2ab+b^2+a^2+2ab+b^2)=(a^2+b^2)/(2(a^2+b^2))=1/2$
Accipicchia! hai fatto bene a negare quell'errore al numeratore, ho sbagliato io a leggere e a scrivere!
Tranne quell'errore, ho compreso dove ho sbagliato!
Resta chiaro anche il fatto che se ho
$ cos ( alpha - 180^o) = -cos alpha $
Oppure
$ sen ( alpha - 180^o) = -sen alpha $
Giusto
Esercizio 33
Ultimo della serie e poi proseguo con il programma
$ ([1-cos(360^o - alpha)] sen (90 + alpha))/(sen alpha)+ tg(alpha -900) -(1-cos alpha)/(sen (alpha - 90)sen (alpha - 180)) $
Dunque, correggimi se sbaglio:
$ cos(360^o - alpha)= cos (- alpha) = cos alpha $
$ sen (90 + alpha)= cos alpha $
$ tg(alpha -900)= tg(alpha - 180)=-tg alpha $
$ sen (alpha - 90)= cos alpha $
$ sen (alpha - 180)= -sen alpha $
Se ho sbagliato qualcosa in queste funzioni, correggo, meditando su cosa sto sbagliando e poi vado avanti con l'esercizio!
Ultimo della serie e poi proseguo con il programma
$ ([1-cos(360^o - alpha)] sen (90 + alpha))/(sen alpha)+ tg(alpha -900) -(1-cos alpha)/(sen (alpha - 90)sen (alpha - 180)) $
Dunque, correggimi se sbaglio:
$ cos(360^o - alpha)= cos (- alpha) = cos alpha $
$ sen (90 + alpha)= cos alpha $
$ tg(alpha -900)= tg(alpha - 180)=-tg alpha $
$ sen (alpha - 90)= cos alpha $
$ sen (alpha - 180)= -sen alpha $
Se ho sbagliato qualcosa in queste funzioni, correggo, meditando su cosa sto sbagliando e poi vado avanti con l'esercizio!
Ci sono ancora un paio di errori:
$tg(alpha-180°)= +tg alpha$ perché nel terzo quadrante la tangente è positiva (oppure perché la tangente si ripete ogni 180°);
$sin(alpha-90°)=-cos alpha$ perché nel quarto quadrante il seno è negativo.
$tg(alpha-180°)= +tg alpha$ perché nel terzo quadrante la tangente è positiva (oppure perché la tangente si ripete ogni 180°);
$sin(alpha-90°)=-cos alpha$ perché nel quarto quadrante il seno è negativo.
Grazie per le correzioni, mi devo abituare con questa circonferenza:
$ ([1-cos(360^o - alpha)] sen (90 + alpha))/(sen alpha)+ tg(alpha -900) -(1-cos alpha)/(sen (alpha - 90)sen (alpha - 180)) $
$ cos(360^o - alpha)= cos (- alpha) = cos alpha $
$ sen (90 + alpha)= cos alpha $
$ tg(alpha -900)= tg(alpha - 180)=tg alpha $
$ sen (alpha - 90)= -cos alpha $
$ sen (alpha - 180)= -sen alpha $
Non scrivo tutti i passaggi, ma comunque sono arrivato alla giusta conclusione $ S = sen alpha $
$ ([1-cos(360^o - alpha)] sen (90 + alpha))/(sen alpha)+ tg(alpha -900) -(1-cos alpha)/(sen (alpha - 90)sen (alpha - 180)) $
$ cos(360^o - alpha)= cos (- alpha) = cos alpha $
$ sen (90 + alpha)= cos alpha $
$ tg(alpha -900)= tg(alpha - 180)=tg alpha $
$ sen (alpha - 90)= -cos alpha $
$ sen (alpha - 180)= -sen alpha $
Non scrivo tutti i passaggi, ma comunque sono arrivato alla giusta conclusione $ S = sen alpha $
Voglio ragionare un pò su quella pagina 15!
Inizio con gli esempi che mi hai postato:
$ sen (180 + alpha) $
Ho un agolo di partenza che è di $ 180^o $ e si tratta di aggiungere un angolo $ alpha $ , ipotizzo di trattare con un angolo $ alpha = 30^o $ allora si capisce che sono nel terzo quadrante perchè $ 180^o + 30^o = 210^o $.
Se sono nel terzo quadrante, ho un $ sen $ negativo ed un $ cos $ negativo.
Si può dunque dire che se mi trovo con questo:
$ sen (180 + alpha) $
Ho rispettivamente un caso in cui $ sen (180 + alpha) = -sen alpha$ e un caso $ sen (180 + alpha) = -cos alpha$, sto dicendo bene
Se ho detto bene, allora cosa è che mi fa decidere quando ho $ sen (180 + alpha) $ a dire che è uguale a $ sen (180 + alpha) = -sen alpha$ invece di dire che è uguale a $ sen (180 + alpha) = -cos alpha$
Ho compreso perfettamente il discorso fatto a pag. 15, cioè del tracciare le parallele agli assi, ho dunque quattro angoli che in valore assoluto son gli stessi......., che si chiamano associati......, ma forse no ho compreso abbastanza per poter rispondere al dubbio in questo messaggio!
Esempio g) , se ho la $ ctg (90^o + alpha) $ perche' devo dire che e' uguale alla $ tg alpha $ , perche' non continuare a parlare in termini di $ ctg alpha $
Inizio con gli esempi che mi hai postato:
$ sen (180 + alpha) $
Ho un agolo di partenza che è di $ 180^o $ e si tratta di aggiungere un angolo $ alpha $ , ipotizzo di trattare con un angolo $ alpha = 30^o $ allora si capisce che sono nel terzo quadrante perchè $ 180^o + 30^o = 210^o $.
Se sono nel terzo quadrante, ho un $ sen $ negativo ed un $ cos $ negativo.
Si può dunque dire che se mi trovo con questo:
$ sen (180 + alpha) $
Ho rispettivamente un caso in cui $ sen (180 + alpha) = -sen alpha$ e un caso $ sen (180 + alpha) = -cos alpha$, sto dicendo bene
Se ho detto bene, allora cosa è che mi fa decidere quando ho $ sen (180 + alpha) $ a dire che è uguale a $ sen (180 + alpha) = -sen alpha$ invece di dire che è uguale a $ sen (180 + alpha) = -cos alpha$
Ho compreso perfettamente il discorso fatto a pag. 15, cioè del tracciare le parallele agli assi, ho dunque quattro angoli che in valore assoluto son gli stessi......., che si chiamano associati......, ma forse no ho compreso abbastanza per poter rispondere al dubbio in questo messaggio!
Esempio g) , se ho la $ ctg (90^o + alpha) $ perche' devo dire che e' uguale alla $ tg alpha $ , perche' non continuare a parlare in termini di $ ctg alpha $
Devi distinguere i due tipi di associati:
Primo tipo: c'è un multiplo (anche negativo o nullo) di 180°; in questo caso il seno resta seno, eccetera;
Secondo tipo: c'è un multiplo (anche negativo) di 90° ma non di 180°; in questo caso il seno diventa coseno, la tangente diventa cotangente e viceversa.
La regole per i segni vale per entrambi i tipi; nel secondo tipo devi fare attenzione a considerare il segno della funzione iniziale, quella che figura nell'esercizio (nel primo tipo la funzione è la stessa e quindi non ci sono problemi).
Primo tipo: c'è un multiplo (anche negativo o nullo) di 180°; in questo caso il seno resta seno, eccetera;
Secondo tipo: c'è un multiplo (anche negativo) di 90° ma non di 180°; in questo caso il seno diventa coseno, la tangente diventa cotangente e viceversa.
La regole per i segni vale per entrambi i tipi; nel secondo tipo devi fare attenzione a considerare il segno della funzione iniziale, quella che figura nell'esercizio (nel primo tipo la funzione è la stessa e quindi non ci sono problemi).
Ok, quindi se ho multipli di 180 gradi, es. $ sen (180-alpha)= sen alpha $ lo stesso se tratto il coseno, $ cos (180-alpha)= - cos alpha $ , discorso diverso per multipli di 90 gradi, infatti se ho $ cos (90-alpha)= sen alpha $ oppure se ho $ sen (90-alpha)= cos alpha $ , giusto
Sono contento, penso proprio di aver compreso questa circonferenza goniometrica
!
Sono contento, penso proprio di aver compreso questa circonferenza goniometrica
!
Bene.
Ma se io ho un angolo espresso in questo modo:
$ 22^o , 30' $
E se voglio togliere quei primi dopo la vorgola esprimendo l'angolo con soli gradi, e' giusto fare nel modo che segue?
$ 22^o , 30'= 22^o + ((0,30')/60)= 22^o +0,005= 22,005^o $
E giusto fare cosi'?
$ 22^o , 30' $
E se voglio togliere quei primi dopo la vorgola esprimendo l'angolo con soli gradi, e' giusto fare nel modo che segue?
$ 22^o , 30'= 22^o + ((0,30')/60)= 22^o +0,005= 22,005^o $
E giusto fare cosi'?
No: un primo è un sessantesimo di grado, quindi $30'=(30/60)°=0.5°$.
Con un numero così facile, spesso si preferisce questo ragionamento: 60 primi sono un grado e 30 primi è la sua metà, cioè mezzo grado.
Con un numero così facile, spesso si preferisce questo ragionamento: 60 primi sono un grado e 30 primi è la sua metà, cioè mezzo grado.
Ok!
Scusate, ma $ 67^o 30' $ sono lo stesso di $ 67,005^o $ , giusto??????
No: $30'=(30/60)°=0,5°$. Quindi $67°30'=67,5°$
Ma non è praticamente identica alla domanda precedente? Il tuo calcolo sarebbe giusto se tu avessi $0,30'$, ma i tuoi primi sono 30 e non 0,30.
Ma non è praticamente identica alla domanda precedente? Il tuo calcolo sarebbe giusto se tu avessi $0,30'$, ma i tuoi primi sono 30 e non 0,30.
"giammaria":
No: $30'=(30/60)°=0,5°$. Quindi $67°30'=67,5°$
Ma non è praticamente identica alla domanda precedente?
E io come un fesso ho fatto:
$ (0,30')/(60)=....... $
Ok, adesso ricordo bene il metodo!
E sono stato distratto e non ho visto il messaggio precedente, scusatemi
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"Bad90":
Ok, quindi se ho multipli di 180 gradi, es. $ sen (180-alpha)= sen alpha $ lo stesso se tratto il coseno, $ cos (180-alpha)= - cos alpha $ , discorso diverso per multipli di 90 gradi, infatti se ho $ cos (90-alpha)= sen alpha $ oppure se ho $ sen (90-alpha)= cos alpha $ , giusto
Mi permetto un consiglio nel caso qualcuno abbia difficoltà a ricordare queste relazioni...
basta applicare le formule di addizione e sottrazione di seno e coseno
Ad esempio $sin(180-\alpha)=sin(180°)cos(\alpha)+cos(180°)sin(\alpha)=sin(\alpha)$
@ Obidream. A me sembra molto più semplice guardare il cerchio goniometrico: ad esempio, $180°-alpha$ dista dagli assi quanto $alpha$ e quindi, in valore assoluto, ha lo stesso seno e lo stesso coseno; siamo dalla stessa parte dell'asse principale e quindi il seno ha lo stesso segno, mentre il coseno ha segno opposto perché siamo dall'altra parte dell'asse secondario.
Inoltre la formula di somma non aiuta se devi calcolare $tg(90°+alpha)$
Inoltre la formula di somma non aiuta se devi calcolare $tg(90°+alpha)$
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