Funzioni goniometriche
Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla 
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla
Risposte
Esercizio 1
So che un grado è la 360-esima parte dell'angolo giro, i suoi multipli sono i primi $ ' $ (che sono la 60-esima parte del grado), i secondi $ '' $ (che sono la 60-esima parte del primo), ma come devo fare per completare questo
$ 757''=>757'':60=..... '$
Io ho pensato di fare così:
$ 757''=>757'':60=12 ':60=12'21''$
Quindi posso dire che $ 757''=12'21''$ ma a quanti gradi equivalgono $ 757'' $
So che un grado è la 360-esima parte dell'angolo giro, i suoi multipli sono i primi $ ' $ (che sono la 60-esima parte del grado), i secondi $ '' $ (che sono la 60-esima parte del primo), ma come devo fare per completare questo
$ 757''=>757'':60=..... '$
Io ho pensato di fare così:
$ 757''=>757'':60=12 ':60=12'21''$
Quindi posso dire che $ 757''=12'21''$ ma a quanti gradi equivalgono $ 757'' $
Esercizio 2
Passare dalla misura in gradi a quella in radianti e viceversa.
So che un grado è la 360-esima parte dell'angolo giro, quindi chiamo l'angolo $ beta $ e posso dire che $ beta^o=1/360 $ , giusto
So che un radiante è l'angolo al centro di una circonferenza dove arco=circonferenza, e posso dunque dire che un radiante è $ 1/(2pi) $ giusto
Posso dire che il grado è $ beta^o=360 $
Posso dire che il radiante è $ beta^r=2pi $ (cioè il radiante misura 2*3,14)
Venendo alla traccia dell'esercizio, mi viene detto di trasformare radianti in gradi, se ho:
$ beta^r=37/24pi $
Allora imposto la proporzione:
$ beta^o:beta^r=180:pi $
$ beta^o=(beta^r*180)/pi $
$ beta^o=((37/24pi)*180)/pi=>(37/24)*(180)=>277,5$ (Gradi)
Ho detto tutto bene
Passare dalla misura in gradi a quella in radianti e viceversa.
So che un grado è la 360-esima parte dell'angolo giro, quindi chiamo l'angolo $ beta $ e posso dire che $ beta^o=1/360 $ , giusto
So che un radiante è l'angolo al centro di una circonferenza dove arco=circonferenza, e posso dunque dire che un radiante è $ 1/(2pi) $ giusto
Posso dire che il grado è $ beta^o=360 $
Posso dire che il radiante è $ beta^r=2pi $ (cioè il radiante misura 2*3,14)
Venendo alla traccia dell'esercizio, mi viene detto di trasformare radianti in gradi, se ho:
$ beta^r=37/24pi $
Allora imposto la proporzione:
$ beta^o:beta^r=180:pi $
$ beta^o=(beta^r*180)/pi $
$ beta^o=((37/24pi)*180)/pi=>(37/24)*(180)=>277,5$ (Gradi)
Ho detto tutto bene
Basta pensare a come è definita la tangente di un angolo.
per definizione
$tg(X)=sin(x)/cos(x)$
ora questa espressione ha senso se e solo se
$cos(x)!=0<=>x!=\pi/2+k\pi$
per scrivere alfa
usa questo codice
per definizione
$tg(X)=sin(x)/cos(x)$
ora questa espressione ha senso se e solo se
$cos(x)!=0<=>x!=\pi/2+k\pi$
per scrivere alfa
usa questo codice
/alpha
"Kashaman":
Basta pensare a come è definita la tangente di un angolo.
per definizione
$tg(X)=sin(x)/cos(x)$
ora questa espressione ha senso se e solo se
$cos(x)!=0<=>x!=\pi/2+k\pi$
Ho capito che è lo stesso se si dice che $ C.E. $ è $cos(x)!=0$ perchè altrimenti si annulla l'equazione, so che il $ cos(x)= $ all'ascissa del punto $ M $ è quindi è come se si dice $ M=x_M $ , ma da dove deriva questa $ x!=pi/2+kpi $, cioè cosa centra
1) Non capisco come hai trovato i 21". Il calcolo da fare è: 757 diviso 60 fa 12 con resto 37, quindi ci sono 12 primi e 37 secondi. Non so come li impagina il tuo libro; io farei così:
$757''=(12*60+37)''=12'37''=0°12'37'$
Analogamente farei
$4236''=(70*60+36)''=70'36''=(1*60+10)'36''=1°10'36''$
2) Giusta la proporzione ed il calcolo successivo; sbagliato il discorso iniziale, talora privo di significato. Ad esempio, non significa nulla dire che il radiante misura 2*3,14: è come se io, parlando di una qualche unità di lunghezza, dicessi che misura 1,7. Intendo 1,7 metri, chilometri, anni luce, iarde o cosa? Al massimo puoi dire che il radiante è uguale ad un angolo giro diviso per 2*3,14.
$757''=(12*60+37)''=12'37''=0°12'37'$
Analogamente farei
$4236''=(70*60+36)''=70'36''=(1*60+10)'36''=1°10'36''$
2) Giusta la proporzione ed il calcolo successivo; sbagliato il discorso iniziale, talora privo di significato. Ad esempio, non significa nulla dire che il radiante misura 2*3,14: è come se io, parlando di una qualche unità di lunghezza, dicessi che misura 1,7. Intendo 1,7 metri, chilometri, anni luce, iarde o cosa? Al massimo puoi dire che il radiante è uguale ad un angolo giro diviso per 2*3,14.
"Bad90":
[quote="Kashaman"]Basta pensare a come è definita la tangente di un angolo.
per definizione
$tg(X)=sin(x)/cos(x)$
ora questa espressione ha senso se e solo se
$cos(x)!=0<=>x!=\pi/2+k\pi$
Ho capito che è lo stesso se si dice che $ C.E. $ è $cos(x)!=0$ perchè altrimenti si annulla l'equazione, so che il $ cos(x)= $ all'ascissa del punto $ M $ è quindi è come se si dice $ M=x_M $ , ma da dove deriva questa $ x!=pi/2+kpi $, cioè cosa centra
[/quote]deriva dal fatto che il coseno si annulla in $\pi/2$.
Prendi una circonferenza unitaria , il coseno rappresenta l'ascissa di un punto $P$ su tale circonferenza.
A novanta gradi tale ascissa diventa zero e si annulla, e ciò avviene anche a $90+180k$ gradi, con $k$ intero.
quindi affinché il coseno calcolato in $x$ sia non nullo, deve essere che $x$ deve essere diversa da $90$ gradi più un multiplo di $180$
Penso di aver compreso...
Il coseno di alfa per non essere zero, insomma, il punto della circonferenza che si prende in considerazione, non deve avere l'ascissa zero! Per ascissa zero, intendo x=0! E ovvio che se l'ascissa e diversa da zero ci saranno angoli diversi da 90 e 180 gradi!
Ho detto bene?
Il coseno di alfa per non essere zero, insomma, il punto della circonferenza che si prende in considerazione, non deve avere l'ascissa zero! Per ascissa zero, intendo x=0! E ovvio che se l'ascissa e diversa da zero ci saranno angoli diversi da 90 e 180 gradi!
Ho detto bene?
Proviamo a vedere le cose in altro modo, anche perché la formula $tgx=(senx)/(c osx)$ è successiva alla definizione della tangente, sia pure di poco. Metto fra parentesi qualche rimando alle note che scrivo in fondo, da guardarsi solo se qualche concetto è poco chiaro.
Disegna la circonferenza e la tangente in A; poi disegna nel modo solito (*) un angolo non retto e la retta (occhio: retta, non semiretta) che lo delimita; chiama P il punto in cui le due rette si incontrano. Se il raggio vale 1 il segmento orientato AP (**) è, per definizione, la tangente dell'angolo.
Se però l'angolo è retto (prova a fare il disegno) le due rette sono parallele e non si incontrano: quindi non esiste P e di conseguenza non esiste la tangente di un angolo retto.
(*) Un angolo viene disegnato col vertice nel centro O della circonferenza e un lato coincidente con OA, ruotando in senso antiorario se l'angolo è positivo (in senso orario se negativo).
(**) Orientato significa che gli attribuisco il più se P è sopra ad A e il meno se è sotto.
Disegna la circonferenza e la tangente in A; poi disegna nel modo solito (*) un angolo non retto e la retta (occhio: retta, non semiretta) che lo delimita; chiama P il punto in cui le due rette si incontrano. Se il raggio vale 1 il segmento orientato AP (**) è, per definizione, la tangente dell'angolo.
Se però l'angolo è retto (prova a fare il disegno) le due rette sono parallele e non si incontrano: quindi non esiste P e di conseguenza non esiste la tangente di un angolo retto.
(*) Un angolo viene disegnato col vertice nel centro O della circonferenza e un lato coincidente con OA, ruotando in senso antiorario se l'angolo è positivo (in senso orario se negativo).
(**) Orientato significa che gli attribuisco il più se P è sopra ad A e il meno se è sotto.
Adesso e' tutto chiaro! Grazie!
Scusami ma non ho capito bene l'ultimo passaggio di questa:
$4236''=(70*60+36)''=70'36''=(1*60+10)'36''=1°10'36''$
Fino a $ 70'36'' $ ci sono arrivato, ma come hai fatto a continuare per ottenere il risultato finale $1°10'36''$
$4236''=(70*60+36)''=70'36''=(1*60+10)'36''=1°10'36''$
Fino a $ 70'36'' $ ci sono arrivato, ma come hai fatto a continuare per ottenere il risultato finale $1°10'36''$
Esercizio 3
La misura di un angolo puo' superare $ 360^o $ ; in tal caso per determinare la misura dell'angolo principale, cosa devo fare?
La misura di un angolo puo' superare $ 360^o $ ; in tal caso per determinare la misura dell'angolo principale, cosa devo fare?
Sia i primi che i secondi devono essere meno di 60 perché 60"=1' e 60'=1°. Notando che i primi erano 70 (troppi!) ho ripetuto il ragionamento precedente in modo da trasformarne una parte in gradi. Altro esempio:
$10000''=(166*60+40)''=166'40''=(2*60+46)'40''=2°46'40''$
Detto in altri termini, dopo aver ottenuto 166'40" ho fatto 166 diviso 60 e fa 2 con resto 46.
3) Devi sottrarre 360° o suoi multipli fino ad ottenere un angolo minore di 360°. Se l'angolo dato è molto grande, può convenire dividerlo per 360 per sapere quale multiplo sottrarre. Esempi:
$937°$. Gli sottraggo 720° ed ottengo $937°-720°=217°$
$12491°$. Calcolo 12491:360=34,... e quindi ottengo $12491°-34*360°=251°$
$10000''=(166*60+40)''=166'40''=(2*60+46)'40''=2°46'40''$
Detto in altri termini, dopo aver ottenuto 166'40" ho fatto 166 diviso 60 e fa 2 con resto 46.
3) Devi sottrarre 360° o suoi multipli fino ad ottenere un angolo minore di 360°. Se l'angolo dato è molto grande, può convenire dividerlo per 360 per sapere quale multiplo sottrarre. Esempi:
$937°$. Gli sottraggo 720° ed ottengo $937°-720°=217°$
$12491°$. Calcolo 12491:360=34,... e quindi ottengo $12491°-34*360°=251°$
Perfetto! Adesso ho compreso!
Esercizio 4
Trovare i gradi sessagesimali i complementari dei seguenti archi espressi in radianti:
a) $ 2/6pi $
Ho impostato la proporzione:
$ alpha^o:alpha^r=180:pi $ e non sto capendo cosa devo fare....
Risoluzione:
$ alpha^o=(alpha^r*180)/pi=> ((2/9pi)*180)/pi=40^o$
Per trovare i complementari, ho pensato che se il complementare e $ 90^o $ allora $ 90^o-40^o=50^o $
Penso proprio sia corretto
b) $ 7/24pi $
$ alpha^o=(alpha^r*180)/pi=> ((7/24pi)*180)/pi=(105/2)^o$
Il complementare e $ 90^o-52,5^o =37,5^o$
Come si fa ad arrivare al risultato del testo che dice $ 37^o30' $
Ho fatto come negli esercizi precedenti, sto notando che quì bisogna fare le divisioni con carta e penna, vero? Ecco quì:
$ 37,5:60= 0,625 $ con il resto di $ 30 $
Quindi si può dire che:
$ 37,5^o=(60*0,625+30)'=37^o30'=(60*0,5+0)'' $
E quindi con l'ultimo passaggio, capisco che non vi sono secondi Giusto
Trovare i gradi sessagesimali i complementari dei seguenti archi espressi in radianti:
a) $ 2/6pi $
Ho impostato la proporzione:
$ alpha^o:alpha^r=180:pi $ e non sto capendo cosa devo fare....
Risoluzione:
$ alpha^o=(alpha^r*180)/pi=> ((2/9pi)*180)/pi=40^o$
Per trovare i complementari, ho pensato che se il complementare e $ 90^o $ allora $ 90^o-40^o=50^o $
Penso proprio sia corretto
b) $ 7/24pi $
$ alpha^o=(alpha^r*180)/pi=> ((7/24pi)*180)/pi=(105/2)^o$
Il complementare e $ 90^o-52,5^o =37,5^o$
Come si fa ad arrivare al risultato del testo che dice $ 37^o30' $
Ho fatto come negli esercizi precedenti, sto notando che quì bisogna fare le divisioni con carta e penna, vero? Ecco quì:
$ 37,5:60= 0,625 $ con il resto di $ 30 $
Quindi si può dire che:
$ 37,5^o=(60*0,625+30)'=37^o30'=(60*0,5+0)'' $
E quindi con l'ultimo passaggio, capisco che non vi sono secondi
Giusto
"Bad90":
$ alpha^o=(alpha^r*180)/pi=> ((2/6pi)*180)/pi=40^o$
controlla i conti, c'è un errore
"piero_":
[quote="Bad90"]$ alpha^o=(alpha^r*180)/pi=> ((2/6pi)*180)/pi=40^o$
controlla i conti, c'è un errore[/quote]
Scusa, ho corretto, alla frazione del numeratore, è un $ 9 $ e non un $ 6 $ .
$ alpha^o=(alpha^r*180)/pi=> ((2/9pi)*180)/pi=40^o$
Grazie mille!
"Bad90":
Il complementare e $ 90^o-52,5^o =37,5^o$
Come si fa ad arrivare al risultato del testo che dice $ 37^o30' $
moltiplichi la parte decimale per 60 e la cifra che ottieni è il numero di primi.
aggiungo, per completezza, un esempio:
$42,59°$
$0,59*60=35,4' $
$0,4*60=24''$
allora:
$42,59°=42° 35' 24''$
Grazie mille piero
Adesso continuo con gli esercizi!
Adesso continuo con gli esercizi!
Esercizio 5
Trova in gradi sessagesimali i complementari del seguente arco espresso in radianti:
$ 7/16pi $
La prima cosa che ho fatto è:
$ alpha^o=((7/16pi)*180)/pi => 315/4=78,75^o$
Ho provato con il primo metodo:
$ 78,75:60=1,3125 $ con il resto di $30 $quindi ho $ 78^o30' $
Se continuo con i calcoli, arrivo a:
$ 78,30:60=1,305 $ con il resto di $30 $quindi ho $ 78^o30'30'' $
Adesso non sto capendo perchè non riesco a trovare l'angolo complementare che mi da il testo, cioè $ 11^o15' $
Ho fatto una prima prova:
$ 90^o-78,75^o=11,25^o $
Poi vedendo che il risultato ha un errore ho ricavato i primi e i secondi, ma nemmeno così i conti tornano...
Come mai
Poi se faccio con il metodo di piero, i risultati non sono gli stessi, perchè
$78,75°$
$0,75*60=45 $
Poi come devo continuare
Trova in gradi sessagesimali i complementari del seguente arco espresso in radianti:
$ 7/16pi $
La prima cosa che ho fatto è:
$ alpha^o=((7/16pi)*180)/pi => 315/4=78,75^o$
Ho provato con il primo metodo:
$ 78,75:60=1,3125 $ con il resto di $30 $quindi ho $ 78^o30' $
Se continuo con i calcoli, arrivo a:
$ 78,30:60=1,305 $ con il resto di $30 $quindi ho $ 78^o30'30'' $
Adesso non sto capendo perchè non riesco a trovare l'angolo complementare che mi da il testo, cioè $ 11^o15' $
Ho fatto una prima prova:
$ 90^o-78,75^o=11,25^o $
Poi vedendo che il risultato ha un errore ho ricavato i primi e i secondi, ma nemmeno così i conti tornano...
Come mai
Poi se faccio con il metodo di piero, i risultati non sono gli stessi, perchè
$78,75°$
$0,75*60=45 $
Poi come devo continuare
devi moltiplicare solo la parte decimale.
$0,75*60=45'$
$0,75*60=45'$
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