Funzioni goniometriche
Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla 
Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $
Successivamente dice che:
Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $
In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!
P.S. Come si scrive la lettera Alfa
Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla
Risposte
"piero_":
ha ragione il tuo libro:
[quote="Bad90"]Esercizio 17
$ 1/sqrt(2)sen pi/4+cos2pi+3/2cos0-1/3cos(pi/2)+sqrt(2)cos(pi/4) $
Scrivendola in Gradi è così:
$ 1/sqrt(2)sen 45^o +cos 360^o +3/2cos0-1/3cos 180^o +sqrt(2)cos 45^o $
$ 1/sqrt(2)sen 45^o +cos 360^o +3/2cos0-1/3cos 90^o +sqrt(2)cos 45^o $
$pi/2=90°$[/quote]
mazza e chi l'aveva letto quel $\pi/2$
E si, mi ha ingannato e ha ingannato anche te! Pazienza, la prossima volta dobbiamo fare piu' attenzione!
"Bad90":
La $ a $ l'ho annullata, ho fatto $ 0/a=0 $
Era un'espressione di cui non sapevi il risultato (leggerlo sul libro non vale) quindi non c'era nessuno zero.
"giammaria":
Era un'espressione di cui non sapevi il risultato (leggerlo sul libro non vale) quindi non c'era nessuno zero.
Sinceramente il testo ha come soluzione $ S=0 $ , io poi ho dedotto quel passaggio! Non sto capendo cosa è che non vale
Sarà che ho sbagliato perchè l'ho posta uguale a zero
L'ho trattata come una equazione ed ho sbagliato
Quesito
In quale intervallo cadono gli angoli che la tua calcolatrice fornisce quando usi la funzione $tan^(-1)$ E con la funzione $cos^(-1)$ E con la funzione $ sin^(-1) $
Provo a dire qualcosa..
$tan^(-1)$ si riferisce alla $ctg alpha$
$cos^(-1)$ si riferisce alla $sec alpha$
$ sin^(-1) $ si riferisce alla $cosec alpha$
Non sto riuscendo a capire....
Io so che la $ctg alpha$ esiste se $tg alpha != 0$ e quindi il condominio di $ctg alpha$ e $R$ , posso dire che la $ctg alpha$ è positiva se $ 0
Non sto capendo cosa vuole l'esercizio!
In quale intervallo cadono gli angoli che la tua calcolatrice fornisce quando usi la funzione $tan^(-1)$
E con la funzione $cos^(-1)$ E con la funzione $ sin^(-1) $ Provo a dire qualcosa..
$tan^(-1)$ si riferisce alla $ctg alpha$
$cos^(-1)$ si riferisce alla $sec alpha$
$ sin^(-1) $ si riferisce alla $cosec alpha$
Non sto riuscendo a capire....
Io so che la $ctg alpha$ esiste se $tg alpha != 0$ e quindi il condominio di $ctg alpha$ e $R$ , posso dire che la $ctg alpha$ è positiva se $ 0
Non sto capendo cosa vuole l'esercizio!
"Bad90":Sì, è sbagliato trattare un'espressione come se fosse un'equazione. Inoltre si possono usare solo i risultati che tu stesso hai ottenuto e non quelli dati da altri, ad esempio dal libro.
L'ho trattata come una equazione ed ho sbagliato
Per l'ultima domanda. L'elevazione alla $-1$ può avere due significati ed uno è quello a cui ti riferisci e cioè la potenza con esponente negativo: presa in quel senso hai ragione nel dire che $tan^(-1)alpha=cot alpha$. La domanda però si riferisce all'altro senso, e cioè quello di funzione inversa, quella che fa il calcolo contrario e riporta al punto di partenza; ad esempio, se ho $y=e^x$ la funzione inversa è $x=ln y$.
Di solito nelle calcolatrici ottieni una funzione premendo il tasto con quel nome e la sua inversa premendo seconda funzione e lo stesso tasto e, sempre di solito, vicino a quel tasto c'è una piccola scritta col nome della seconda funzione; nella mia calcolatrice accanto al tasto sin c'è appunto scritto $sin^(-1)$ e simili per coseno e tangente. Ad esempio, lavorando in gradi, se premi $90$ e $sin$ ottieni $1$ e infatti $sin 90°=1$; premendo invece $1$, seconda funzione e $sin$ ottieni $90$ e infatti $sin alpha=1=>alpha=90°$ (in realtà sarebbe $90°+k*360°$ ma questo la calcolatrice non può dirtelo).
Ora puoi provare a risolvere l'esercizio e usa numeri sia positivi che negativi; fra gli altri prova anche $0,+-0.5, +-1,+-2$ e vedi se sei o no d'accordo con i risultati.
"giammaria":
Inoltre si possono usare solo i risultati che tu stesso hai ottenuto e non quelli dati da altri, ad esempio dal libro.
Messaggio percepito
Solo che alla fine di un esercizio, ho bisogno della conferma per vedere ciò che sto combinando, 
, almeno così riesco a capire, ma sono in fondo al testo e quindi vado a vederli solo alla fine di un esercizio, preferisco la lealtà! 
Sono pienamente convinto che dovrei percorrere tutto il tuo cammino di studio per poter essere sicuro del risultato, accipicchia, ne devo fare di strada, e penso proprio tutta in salita 
Ciò che sai fare e ciò che sai dire, è il frutto di tanti sacrifici e studio, che non sono frutto di un' improvvisazione, ma di anni attaccati alla sedia ed ai libri! Quindi non posso fare a meno di dirti che provo tanta stima nei tuoi confronti
La sicurezza dei risultati è una chimera perché anche il più bravo fra i matematici può fare errori e fai benissimo a controllare il risultato; io ti ho solo detto che non puoi utilizzarlo prima di averlo ottenuto.
P.S.: mentre scrivevi il tuo intervento ho fatto qualche aggiunta al mio precedente; leggila.
P.S.: mentre scrivevi il tuo intervento ho fatto qualche aggiunta al mio precedente; leggila.
"giammaria":
Se ho $y=e^x$ la funzione inversa è $x=ln y$.
Ok per questo concetto, già studiato nei logaritmi:
$x=ln y=>x=log_e y=>y=e^x$
Con $ e=2,71828 $
Logaritmi naturali o Neperiani.
"giammaria":
Ora puoi provare a risolvere l'esercizio e usa numeri sia positivi che negativi; fra gli altri prova anche $0,+-0.5, +-1,+-2$ e vedi se sei o no d'accordo con i risultati.
Perdonami, ma non sto riuscendo a replicare gli step!
Un esempio fra i tanti possibili: premi $0.5, "seconda funzione", sin$: dovresti ottenere $30$ e sei d'accordo perché sai che l'angolo il cui seno è $ 0.5=1/2$ è appunto 30°.
Spero che la tua calcolatrice non si discosti da quanto è abituale; controlla che ci sia sullo schermo la piccola scritta Deg (= gradi soliti).
Spero che la tua calcolatrice non si discosti da quanto è abituale; controlla che ci sia sullo schermo la piccola scritta Deg (= gradi soliti).
"giammaria":
Un esempio fra i tanti possibili: premi $0.5, "seconda funzione", sin$: dovresti ottenere $30$ e sei d'accordo perché sai che l'angolo il cui seno è $ 0.5=1/2$ è appunto 30°.
Spero che la tua calcolatrice non si discosti da quanto è abituale; controlla che ci sia sullo schermo la piccola scritta Deg (= gradi soliti).
Con la calcolatrice sono riuscito, ma adesso voglio capire come si può fare con carta e penna....
Si tratta di funzione inversa, allora prendo in considerazione questo:
$x=ln y=>x=log_e y=>y=e^x$
Se prendo i valori che mi hai consigliato, cioè $0.5, "seconda funzione", sin$, allora sarà:
$ y=sin^(-1)(1/2) $ cioè si tratta di questa $ y=e^x $ giusto
Io so che da questa $ y=e^x $ per arrivare alla formula inversa, devo fare così:
$ log_e y=log_e e^x $
mi porta alla seguente:
$ log_e y=x=>ln y=x $
E con questo come devo fare
$ y=sin^(-1)(0,5) $
Qual'è il suo inverso
Non sto capendo i passaggi che si fanno per il calcolo inverso
Faccio un esempio numerico.... ma solo per provare, in attesa di capire come si può esporre il concetto dell'inverso....
Se ho $ tan 45^o $ , so che il suo valore sarà:
$ tan 45^o = 1 $
Il suo inverso, dite che si calcola con i seguenti step
$ tan 45^o = 1 => 45^o = 1/(tan)$ e quindi arrivo a $45^o = tan^(-1)$
No, non era questo che intendevo. L'esponenziale è la funzione inversa solo del logaritmo; in generale funzione inversa è l'operazione contraria e ti ho citato quella solo come esempio. Te ne faccio altri: l'inversa di $y=x^3$ è $x=root(3)y$; l'inversa di $y=x/5$ è $x=5y$. Ho messo le lettere $x,y$ solo per chiarire l'operazione che faccio, ricavare cioè $x$ in funzione di $y$ ma in realtà non si usa scrivere il primo membro e al secondo si usa sempre $x$, quindi ad esempio dovrei scrivere che l'inversa di $x^3$ è $root(3)x$.
Quando si parla di funzione inversa è sempre sottinteso un "e viceversa": l'inversa dell'inversa è la funzione di partenza.
In molti casi da $y=f(x)$ si possono ricavare due o più valori di $x$ ed allora noi diciamo che la nostra funzione non è invertibile (succede ad esempio per $y=x^2$); possiamo però stabilire una qualche regola per scegliere una sola soluzione, rendendo così invertibile la funzione.
Questo succede in particolare per le funzioni goniometriche: ci sono infiniti angoli che hanno lo stesso seno e per invertire la funzione seno ne scegliamo uno in particolare (parlo di seno, ma vale anche per coseno e tangente). L'esercizio che ti è stato proposto è un invito a cercare di capire con quale criterio la calcolatrice sceglie quell'angolo particolare.
Quando si parla di funzione inversa è sempre sottinteso un "e viceversa": l'inversa dell'inversa è la funzione di partenza.
In molti casi da $y=f(x)$ si possono ricavare due o più valori di $x$ ed allora noi diciamo che la nostra funzione non è invertibile (succede ad esempio per $y=x^2$); possiamo però stabilire una qualche regola per scegliere una sola soluzione, rendendo così invertibile la funzione.
Questo succede in particolare per le funzioni goniometriche: ci sono infiniti angoli che hanno lo stesso seno e per invertire la funzione seno ne scegliamo uno in particolare (parlo di seno, ma vale anche per coseno e tangente). L'esercizio che ti è stato proposto è un invito a cercare di capire con quale criterio la calcolatrice sceglie quell'angolo particolare.
"giammaria":
l'inversa di $y=x^3$ è $x=root(3)y$; l'inversa di $y=x/5$ è $x=5y$.
Ma di queste ne ho risolti a valanga
Ecco vedi, sapevo risolverli ma non sapevano che sono funzioni chiamate inverse
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ok, ma se ho il caso di $ tan 45^o =1 $ , come faccio a calcolare il suo inverso
Nel messaggio precedente al tuo ho scritto alcuni step, ma non sono sicuro, perchè se faccio questo: $ tan 45^o =1 => 45^o = 1/(tan)$
Da dove lo prendo il valore di $ 1 $
Mi spiego, so che arrivo a $ 45^o = 1/(tan)=>45^o = tan^(-1) $
Ma da dove lo prendo il numero $ 1 $ da mettre così
$ 45^o = tan^(-1) (1) $
Devo darlo per scontato
Prima cosa: scrivere $1/(tan)$ è privo di significato: è come se tu scrivessi una radice senza niente sotto oppure un $sin$ senza l'angolo.
E' giusta invece l'ultima scritta perché chiedere il valore di $tan^(-1)x$ significa chiedere qual è l'angolo la cui tangente vale $x$ (altri testi usano, nello stesso significato, la dicitura $arctan x$ che penso ti sarebbe più chiara) e tu sai che la tangente vale 1 quando l'angolo è 45°: quindi
$tan^(-1)1=arctan 1=45°$
Analogamente, sai che $sin60°=(sqrt3)/2$ e quindi puoi scrivere $sin^(-1)(sqrt3)/2=arcsin \frac \sqrt3 2=60°$. Questa volta la domanda era: qual è l'angolo che ha quel seno?
Prima che qualche matematico mi accusi di grave errore, preciso che per semplicità ho sempre considerato un solo angolo ma ce ne sono infiniti; la calcolatrice ne dà uno solo ed ho scritto solo quello.
Alla fine, mi viene in mente quello che, detto subito, ti sarebbe stato più chiaro: limitando l'attenzione ad un solo particolare angolo, scrivere $cos alpha=x$ è lo stesso che scrivere $alpha=cos^(-1)x=arccos x$ (e analogo per seno e tangente)
E' giusta invece l'ultima scritta perché chiedere il valore di $tan^(-1)x$ significa chiedere qual è l'angolo la cui tangente vale $x$ (altri testi usano, nello stesso significato, la dicitura $arctan x$ che penso ti sarebbe più chiara) e tu sai che la tangente vale 1 quando l'angolo è 45°: quindi
$tan^(-1)1=arctan 1=45°$
Analogamente, sai che $sin60°=(sqrt3)/2$ e quindi puoi scrivere $sin^(-1)(sqrt3)/2=arcsin \frac \sqrt3 2=60°$. Questa volta la domanda era: qual è l'angolo che ha quel seno?
Prima che qualche matematico mi accusi di grave errore, preciso che per semplicità ho sempre considerato un solo angolo ma ce ne sono infiniti; la calcolatrice ne dà uno solo ed ho scritto solo quello.
Alla fine, mi viene in mente quello che, detto subito, ti sarebbe stato più chiaro: limitando l'attenzione ad un solo particolare angolo, scrivere $cos alpha=x$ è lo stesso che scrivere $alpha=cos^(-1)x=arccos x$ (e analogo per seno e tangente)
"giammaria":
Analogamente, sai che $sin60°=(sqrt3)/2$ e quindi puoi scrivere $sin^(-1)(sqrt3)/2=arcsin \frac \sqrt3 2=60°$. Questa volta la domanda era: qual è l'angolo che ha quel seno?
Ho compreso il concetto! Adesso provo a rispondere al quesito:
In quale intervallo cadono gli angoli che la tua calcolatrice fornisce quando usi la funzione $tan^(-1)$
E con la funzione $cos^(-1)$ E con la funzione $ sin^(-1) $ a) Nel caso della funzione $tan^(-1)$ , l'angolo cadrà sempre nello stesso intervallo, o meglio ad un angolo equivale un valore in gradi, ma la funzione $ tg ^(-1) $ la si usa solo perchè si conosce il valore numerico di quell'angolo che a sua volta corrisponde ad un valore in gradi
Cioè, $ tg 45^o = 1 $ se uso la funzione $ tg^(-1) $ di $ 1 $ si avrà $ 45^o $. Insomma, è più un metodo per arrivare alla stessa conclusione, se ho i gradi, utilizzo direttamente $ tg (x) $, se ho un valore numerico riferito alla tangente, allora uso $ tg^(-1) (x)$Idem per gli atri casi.
Ho risposto bene al quesito
Grazie mille!
Hai capito come funziona la calcolatrice e cos'è una funzione inversa ma secondo me il senso della domanda era un altro: chiedendo in quale intervallo intendeva chiedere in quale quadrante. Per esempio (controlla sul cerchio goniometrico) si ha $tg135°=-1$: se però sulla calcolatrice fai $tg^(-1)(-1)$ ottieni 135?
Penso che potrai capire meglio questo argomento dopo aver studiato gli angoli associati; ti consiglierei per ora di lasciar sonnecchiare questo esercizio, scrivendogli a fianco che dovrai riprenderlo.
Penso che potrai capire meglio questo argomento dopo aver studiato gli angoli associati; ti consiglierei per ora di lasciar sonnecchiare questo esercizio, scrivendogli a fianco che dovrai riprenderlo.
Ok, ho messo un'appunto che e' da riprendere più avanti! Grazie mille!
Alla domanda:
La tua calcolatrice, esprime gli angoli in radianti o in gradi? Come fai a dirlo?
Io vedo che la mia calcolatrice scientifica, ha la funzione D attiva, D sta a Deg, cioè gradi, giusto?
Ma come faccio a passare alla misurazione dei gradi in radianti? Sulla calcolatrice dovrebbe comparire R, giusto?
Grazie mille! Alla domanda:
La tua calcolatrice, esprime gli angoli in radianti o in gradi? Come fai a dirlo?
Io vedo che la mia calcolatrice scientifica, ha la funzione D attiva, D sta a Deg, cioè gradi, giusto?
Ma come faccio a passare alla misurazione dei gradi in radianti? Sulla calcolatrice dovrebbe comparire R, giusto?
Riguardo agli Angoli associati, voglio far chiarezza su questo paragrafo. Si parla di angoli:
a) Complementari.
b) Anticomplementari
c) Supplementari.
d) Antisupplementari.
e) Opposti.
f) Esplementari.
La definizione è:
Si chiamano angoli associati all'angolo $ alpha $ gli angoli le cui funzioni goniometriche sono complessivamente uguali, in valore assoluto, a quelle dell'angolo $ alpha $ .
Non mi è chiara la definizione
Non sto capendo cosa sono questi angoli associati.
Insomma. a cosa servono
Mi sembra che si trattano i valori degli angoli, tipo seno e coseno, come valori assoluti, giusto
Ma perchè
a) Complementari.
b) Anticomplementari
c) Supplementari.
d) Antisupplementari.
e) Opposti.
f) Esplementari.
La definizione è:
Si chiamano angoli associati all'angolo $ alpha $ gli angoli le cui funzioni goniometriche sono complessivamente uguali, in valore assoluto, a quelle dell'angolo $ alpha $ .
Non mi è chiara la definizione
Non sto capendo cosa sono questi angoli associati.
Insomma. a cosa servono
Mi sembra che si trattano i valori degli angoli, tipo seno e coseno, come valori assoluti, giusto
Ma perchè
Adesso mi chiedo, quali angoli hanno tangente pari a $+1, -1,0, +oo, -oo $
$tan^(-1) (+1) = 45^o $
$tan^(-1) (-1) = -45^o$
$tan^(-1) (0) = 0^o$
Ma come faccio a dire quali sono gli angoli di $ +oo, -oo $
$tan^(-1) (+1) = 45^o $
$tan^(-1) (-1) = -45^o$
$tan^(-1) (0) = 0^o$
Ma come faccio a dire quali sono gli angoli di $ +oo, -oo $
Molti libri danno quella suddivisione e le formule per ognuno dei casi; a me sembra che questo richieda uno sforzo mnemonico non indifferente con conseguente grande probabilità di errori. Ti propongo quindi un altro modo di vedere le cose; se poi guarderai il tuo libro vedrai che ho solo riunito fra loro un certo numero di suoi casi. Salto alcune dimostrazioni facilissime, limitandomi a dirti di osservare il cerchio goniometrico; uso i gradi.
Per il punto corrispondente ad un certo angolo traccia le parallele agli assi fino ad incontrare nuovamente il cerchio e traccia poi due altre parallele fino ad ottenere un rettangolo inscritto; i suoi quatto vertici corrispondono a quattro angoli che si dicono associati fra loro. Per distinguere dal caso successivo possiamo dirli associati direttamente o associati del primo tipo. Osservando ora la figura noti le seguenti cose:
- detto $alpha$ uno di questi angoli, tutti gli altri sono ottenibili con formule del tipo $k* 180°+-alpha$, con $k in Z$ e quindi anche uguale a zero;
- in valore assoluto, tutti questi angoli hanno lo stesso seno e lo stesso coseno (e quindi tangente e cotangente).
Vediamo ora il secondo caso. Preso sempre l'angolo $alpha$ (per chiarezza di disegno evita 45° e suoi multipli), disegna il suo complementare ($90°-alpha$); se tutto è nel primo quadrante, dimostri facilmente che $sin(90°-alpha)=cos alpha$ e analoga con seno e coseno scambiati. Partendo ora dall'angolo complementare, disegna un rettangolo come prima; i suoi quattro vertici corrispondono ad angoli che si dicono associati al complementare o associati del secondo tipo.
Osservando la figura noti che:
- tutti gli angoli sono ottenibili con formule del tipo $k*90°+-alpha$ dove $k$ è un numero dispari positivo o negativo (se fosse pari avremmo un multiplo di 180° e saremmo nel primo caso);
- in valore assoluto, seno e coseno di questi angoli sono uguali a quelli di $alpha$, ma scambiando fra loro le due funzioni (e quindi si scambiano fra loro anche tangente e cotangente)
Finora ho parlato di valori assoluti e vediamo ora il segno; questa regola vale per entrambi i casi precedenti. Supponi che $alpha$ sia nel primo quadrante e chiediti in che quadrante è l'angolo che stai esaminando; metti il segno che la funzione data ha in quel quadrante. Attento: la funzione data, non quella ottenuta. La cosa interessante è che la formula che ottieni vale anche se $alpha$ è in un altro quadrante.
Aggiungo qualche esempio, sia in gradi che in radianti.
a) $sin(pi+alpha)$: terzo quadrante, quindi c'è il meno: primo tipo, quindi $=-sin alpha$
b) $cos(270°+alpha)$: quarto quadrante, quindi c'è il più; secondo tipo, quindi $=sin alpha$
c) $sin(2 pi-alpha)$: quarto quadrante, quindi c'è il meno; primo tipo, quindi $=-sin alpha$
d) $cos 150°=cos(180°-30°)$: secondo quadrante, quindi c'è il meno; primo tipo quindi $=-cos 30°=-(sqrt3)/2$. Potevamo però anche fare
e)$cos 150°=cos(90°+60°)$: secondo quadrante, quindi c'è il meno; secondo tipo quindi $=-sin60°=-(sqrt3)/2$;
f) $tg(pi+ alpha)$: terzo quadrante, quindi c'è il più; primo tipo quindi $=tg alpha$;
g) $ctg (90°+alpha)$: secondo quadrante quindi c'è il meno; secondo tipo quindi $=-tg alpha$.
Per il punto corrispondente ad un certo angolo traccia le parallele agli assi fino ad incontrare nuovamente il cerchio e traccia poi due altre parallele fino ad ottenere un rettangolo inscritto; i suoi quatto vertici corrispondono a quattro angoli che si dicono associati fra loro. Per distinguere dal caso successivo possiamo dirli associati direttamente o associati del primo tipo. Osservando ora la figura noti le seguenti cose:
- detto $alpha$ uno di questi angoli, tutti gli altri sono ottenibili con formule del tipo $k* 180°+-alpha$, con $k in Z$ e quindi anche uguale a zero;
- in valore assoluto, tutti questi angoli hanno lo stesso seno e lo stesso coseno (e quindi tangente e cotangente).
Vediamo ora il secondo caso. Preso sempre l'angolo $alpha$ (per chiarezza di disegno evita 45° e suoi multipli), disegna il suo complementare ($90°-alpha$); se tutto è nel primo quadrante, dimostri facilmente che $sin(90°-alpha)=cos alpha$ e analoga con seno e coseno scambiati. Partendo ora dall'angolo complementare, disegna un rettangolo come prima; i suoi quattro vertici corrispondono ad angoli che si dicono associati al complementare o associati del secondo tipo.
Osservando la figura noti che:
- tutti gli angoli sono ottenibili con formule del tipo $k*90°+-alpha$ dove $k$ è un numero dispari positivo o negativo (se fosse pari avremmo un multiplo di 180° e saremmo nel primo caso);
- in valore assoluto, seno e coseno di questi angoli sono uguali a quelli di $alpha$, ma scambiando fra loro le due funzioni (e quindi si scambiano fra loro anche tangente e cotangente)
Finora ho parlato di valori assoluti e vediamo ora il segno; questa regola vale per entrambi i casi precedenti. Supponi che $alpha$ sia nel primo quadrante e chiediti in che quadrante è l'angolo che stai esaminando; metti il segno che la funzione data ha in quel quadrante. Attento: la funzione data, non quella ottenuta. La cosa interessante è che la formula che ottieni vale anche se $alpha$ è in un altro quadrante.
Aggiungo qualche esempio, sia in gradi che in radianti.
a) $sin(pi+alpha)$: terzo quadrante, quindi c'è il meno: primo tipo, quindi $=-sin alpha$
b) $cos(270°+alpha)$: quarto quadrante, quindi c'è il più; secondo tipo, quindi $=sin alpha$
c) $sin(2 pi-alpha)$: quarto quadrante, quindi c'è il meno; primo tipo, quindi $=-sin alpha$
d) $cos 150°=cos(180°-30°)$: secondo quadrante, quindi c'è il meno; primo tipo quindi $=-cos 30°=-(sqrt3)/2$. Potevamo però anche fare
e)$cos 150°=cos(90°+60°)$: secondo quadrante, quindi c'è il meno; secondo tipo quindi $=-sin60°=-(sqrt3)/2$;
f) $tg(pi+ alpha)$: terzo quadrante, quindi c'è il più; primo tipo quindi $=tg alpha$;
g) $ctg (90°+alpha)$: secondo quadrante quindi c'è il meno; secondo tipo quindi $=-tg alpha$.
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