Funzioni goniometriche

[Bad90]

Nello studio del paragrafo delle Definizioni delle funzioni goniometriche, non sto capendo questo:

Non esiste la tangente degli angoli orientati la cui misura, in radianti, sia $ pi/2+kpi $ o, in gradi $ 90^o +k180^o$ con $ k in Z $

Successivamente dice che:

Basta infatti osservare che, per un angolo $ beta $ di misura, ad esempio, $ pi/2$ il lato $ OM $ coincide con il semiasse positivo delle $ y $ e quindi non incontra la retta tangente alla circonferenza in $ A $

In aggiunta, vorrei capire meglio lo scopo della trigonometria!

P.S. Come si scrive la lettera Alfa Sono riuscito a scrivere la lettera Beta $ beta $ ma alfa non riesco a capire come scriverla

[Bad90]

Esercizio 29

Come è consigliabile eseguire questo esercizio

Calcola il valore delle seguente espressione:

$ sen 135^o + cos (-45^o) +2/3 tg 405^o + 2 cos 225^o $

Come bisogna fare per risolverlo

[giammaria2]

Nessun testo trascura qualche associato; molti si limitano a non dare sempre un nome e lo approvo: inutile appesantire lo studio con una nomenclatura eccessiva. Alla luce di quello specchietto, prova a rifare l'esercizio che avevi postato il 12-10 alle 18,14, pagina 17: la risposta che avevi dato allora era incompleta.

28) I calcoli vengono di solito fatti così:
$sin 120°=sin (180°-60°)=sin 60°=(sqrt3)/2$
$cos 120°=cos (180°-60°)=-cos 60°=-1/2$
Ti consiglio di postare i calcoli per il 210°, così vedo se davvero hai capito.

29) Per ognuno degli angoli dell'esercizio devi fare i calcoli come per il 28, uno dopo l'altro. Esempio:
$cos420°+sin330°=cos(360°+60°)+sin(360°-30°)=cos60°-sin30°=1/2-1/2=0$

[Bad90]

"giammaria":
Ti consiglio di postare i calcoli per il 210°, così vedo se davvero hai capito.

Ok!

Si ha $ 210^o = 180^o + alpha= 180^o + 30^o $

$sin 210°=-sin (180°+30°)=-sin 30°=-1/2$

$cos 210°=-cos (180°+30°)=-cos 30°=-(sqrt(3))/2$

[giammaria2]

Abbastanza capito. La prima riga è inutile, ma meglio una cosa inutile che un errore; nelle altre due, dopo il primo uguale non va messo il meno, che ci vuole solo dal secondo in poi. Infatti solo a quel punto ti servi degli angoli associati mentre prima hai semplicemente scritto il 210 come una somma di due numeri.

[Bad90]

Ritornando sull'esercizio 29, ho scritto cosi':

$ (sqrt(2))/2-(sqrt(2))/2+2/3+2*(-(sqrt(2))/2) $

ma il mio isultato e' $ (2-sqrt(2))/3 $

Mentre il testo mi da $ 2/3 $

Scusate, ma ho compreso l'errore....

$ cos(-45)=cos(45)=sqrt(2)/2 $

[Bad90]

Esercizio 30
Questo e' un esercizio guidato, che non sto capendo bene......

Applicando le relazioni fra angoli associati, semplifichiamo la seguente espressione:

$ (sen(-alpha) - cos(90^o - alpha))/(tg(180^o +alpha))*(ctg(180^o -alpha))/(sen(90^o +alpha)+cos(360^o -alpha)) $

Mi spiego, vedendo la soluzione, mi senbra di aver compreso il concetto dell'esercizio! Mi sembra banale, bisogna immaginare la circonferenza goniometrica e fare le considerazioni ......

[Bad90]

In uno degli esercizi che sto facendo, sono arrivato al seguente punto:

$ -1*(a^2-b^2)+[-(a^2+b^2)] $

Come posso risolvela?

Non ricordo di essermi trovato mai in una circostanza simile, ma l'unica cosa che mi viene in mente e' la seguente:

$ -(a^2-b^2)-(a^2+b^2)=>b^2-a^2-a^2-b^2= -2a^2 $

Il mio dubbio e' se ho la differenza di due quadrati o la somma di due quadrati, posso moltiplicaroi per $ -1 $

[Bad90]

Sto riuscendo a risolvere tutti gli esercizi in cui la traccia mi richiede:
Calcola il valore delle seguenti espressioni, che si suppongono definite per il valore di $ alpha $ considerato.

Ma quando arrivo a questo:

$ cos (90^o + alpha) $

Non riesco a spiegarmi perche' sia uguale a $ - sen alpha $

$ cos (90^o + alpha)=- sen alpha $

Per tutti i casi che sto incontrando riesco a risolverli tranquillamente, immaginando la circonferenza goniometrica, ma con questa ho difficolta a rispondermi nella mia testolina!

Idem per $ cos (alpha -90^o) $

[giammaria2]

30) Quasi tutti gli esercizi sono banali per chi ha ben capito; svolgila e controllerai il risultato.

Espressione algebrica) Giusto: qualsiasi cosa può essere moltiplicata per -1.

Ultima domanda) Viene il seno perché è un associato di secondo tipo e viene il meno perché è nel secondo quadrante (supposto che $alpha sia nel primo), in cui il coseno è negativo. Devi guardare la funzione data, non quella ottenuta.

[Bad90]

Per la funzione data ti riferisci al fatto che $ cos (90^o + alpha) $ va a finire nel secondo quadrante?

Pero' nel secondo quadrante, il $ sen alpha $ mi sembra che sia positivo perche' se proietto il segmento orizzontale passante per il punto di intersezione del raggio che forma un angolo di $ 90^o + alpha $ con la circonferenza, il seno non dovrebbe essere positivo???

[giammaria2]

Per "la funzione data" intendevo che nell'esercizio c'è il coseno e quello che ti interessa è il segno del coseno (negativo), non del seno (che effettivamente è positivo).

[Bad90]

"giammaria":Per "la funzione data" intendevo che nell'esercizio c'è il coseno e quello che ti interessa è il segno del coseno (negativo), non del seno (che effettivamente è positivo).

E' quello che non riesco a spiegarmi, il fatto che se il $ sen alpha $ e' positivo, perche' il $ cos (90^o + alpha) $ mi deve dare un $ -sen alpha $

[Bad90]

Esercizio 31

Ecco un esercizio tipo:

$ cos (-alpha)cos(alpha -90^o) + 2 sen alpha sen(alpha -90^o)+ cos alpha cos(90^o - alpha) - sen^2 alpha $

So che:

$ cos(-alpha) =cos alpha $

$ cos(alpha - 90) =cos alpha $

$ cos (90^o - alpha)= cos alpha $

$ sen (alpha - 90) = 0 $

Giusto?

[giammaria2]

Cominciamo con "E' quello che non riesco a spiegarmi, il fatto che se il $sin alpha$ e' positivo, perché il $cos(90°+alpha)$) mi deve dare un$−sin alpha$".
Supponiamo che sia $alpha=30°$: hai $sin alpha=1/2$. In valore assoluto, anche il tuo coseno vale $1/2$ ma si ha
$cos(90°+alpha)=cos(90°+30°)=cos120°$
che è negativo perché siamo nel secondo quadrante; ne consegue $cos(90°+alpha)=-1/2=-sin alpha$

31) Sbagliato. Per comodità di scrittura, uso $x$ al posto di $alpha$.
$cos(-x)=cosx$ e questo è giusto (primo tipo, quarto quadrante) ma
$cos(x-90°)=sinx$: secondo tipo, siamo nel quarto quadrante, in cui il coseno è positivo;
$cos(90°-x)=sinx$: secondo tipo, siamo nel primo quadrante, in cui il coseno è positivo;
$sin(x-90°)=-cosx$: secondo tipo, siamo nel quarto quadrante, in cui il seno è negativo;

Ti consiglio di rileggere con molta attenzione quello che ho scritto all'inizio di pagina 15.

[Bad90]

"giammaria":Cominciamo con "E' quello che non riesco a spiegarmi, il fatto che se il $sin alpha$ e' positivo, perché il $cos(90°+alpha)$) mi deve dare un$−sin alpha$".
Supponiamo che sia $alpha=30°$: hai $sin alpha=1/2$. In valore assoluto, anche il tuo coseno vale $1/2$ ma si ha
$cos(90°+alpha)=cos(90°+30°)=cos120°$
che è negativo perché siamo nel secondo quadrante; ne consegue $cos(90°+alpha)=-1/2=-sin alpha$

Adesso ho capito il perche' di quel meno!
Io cadevo in errore, con la speranza di non cadere piu' in questi errori, perche' pensando al fatto che $ cos (90^o + alpha) $ mi da' un angolo nel secondo quadrante e pensando a questo secondo quadrante, senza fare altre considerazioni, sapendo che la proiezione sull'asse delle $ y $ di quel punto sulla circonferenza, mi poteva dare solo un coseno positivo! Adesso che mi hai spiegato il perche' mi e' chiaro il fatto che se associo quel coseno negativo, per renderlo uguale a quel seno, mi resta di aggiungere quel meno anche al seno, insomma e' per un criterio di uguaglianza, giusto!?

[giammaria2]

Giusto.

[Bad90]

Esercizio 32

Calcola il valore della seguenteespressione, che si suppone definita per il valore di $ alpha $ considerato.

$ ((a^2+b^2)cos(alpha -360^o)[sen^2 alpha + cos^2 alpha(alpha -180^o)])/((a-b)^2 sen (90^o +alpha)+(a+b)^2 cos(-alpha)) $

Ho fatto queste considerazioni:

$ cos(alpha - 360^o)=sen alpha $

$ sen(90^o + alpha)= cos alpha $

$ cos (- alpha) = cos alpha $

$ sen (alpha - 180^o) = - cos alpha $

Il tutto mi porta ad avere la seguente espressione:

$ ((a^2+b^2)*(-cos alpha))/((a-b)^2*(-cos alpha)+(a+b)^2*cos alpha) $

Ho pensato di semplificare nel seguente modo:

$ ((a^2+b^2))/((a-b)^2-(a+b)^2) $

Ma poi non arrivo al risultato che deve essere $ S = 1/2 $

[giammaria2]

Tre errori:
1) $cos(alpha-360°)=cos alpha$ perché si possono trascurare i multipli di 360°; non capisco come hai ottenuto il passaggio successivo, in cui scrivi $-cos alpha$ al posto del $sin alpha$ da te erroneamente calcolato;
2) $sin(90°+alpha)=+cos alpha$ perché nel secondo quadrante il seno è positivo;
3) $sin(alpha-180°)=-sin alpha$ perché è un associato di primo tipo; noto però che nel tuo testo c'era $cos (alpha-180°)$ ed allora il risultato che dai è giusto.

Ti ho già invitato a rileggere quello che ho scritto all'inizio di pagina 15; se non ti è chiaro, dillo.

[Bad90]

Forse sono arrivato alla giusta conclusione....

Al numeratore ho:

$ cos(alpha - 360^o)= cos alpha $

Sono arrivato alla conclusione che al numeratore si deve avere $ sen alpha $ perchè ho la somma $ sen^2 alpha + cos^2 alpha = 1 $ e dunque mi ritrovo ad avere, intendo sempre al numeratore, il seguente:

$ (a^2+b^2) cos (alpha - 180^o) $

e sapendo che $ cos (alpha - 180^o)= cos alpha $, perchè penso si possa trascurare per multipli di $ 360^o ^^ 180^o $ , vero Arrivo al numeratore seguente:

$ (a^2+b^2) cos alpha $

Adesso passo al denominatore.

$ sen (90^o + alpha) $ sono nel secondo quadrante, il seno è positivo e quindi ho $ sen (90^o + alpha)= cos alpha $

L'espressione sarà la seguente:

$ ((a^2+b^2) cos alpha)/(cos alpha (a-b)^2 + cos alpha(a+b)^2 )$

Accipicchia, adesso mi sono impallato di nuovo!

Provo a continuare:

$ ((a^2+b^2) cos alpha)/(cos alpha ((a-b)^2 + (a+b)^2)) $

$ (a^2+b^2)/((a-b)^2 + (a+b)^2) => (a^2+b^2)/(a^2-2ab+b^2 + a^2+2ab+b^2) $

$ (a^2+b^2)/(a^2+b^2 + a^2+b^2) => (a^2+b^2)/(2a^2+2b^2 ) => (a^2+b^2)/(2(a^2+b^2) ) =>1/2 $

[Bad90]

Riprendo quel messaggio e lo posto nuvamente, perchè è un concetto importante, meglio tener presente questo:

"giammaria":Molti libri danno quella suddivisione e le formule per ognuno dei casi; a me sembra che questo richieda uno sforzo mnemonico non indifferente con conseguente grande probabilità di errori. Ti propongo quindi un altro modo di vedere le cose; se poi guarderai il tuo libro vedrai che ho solo riunito fra loro un certo numero di suoi casi. Salto alcune dimostrazioni facilissime, limitandomi a dirti di osservare il cerchio goniometrico; uso i gradi.
Per il punto corrispondente ad un certo angolo traccia le parallele agli assi fino ad incontrare nuovamente il cerchio e traccia poi due altre parallele fino ad ottenere un rettangolo inscritto; i suoi quatto vertici corrispondono a quattro angoli che si dicono associati fra loro. Per distinguere dal caso successivo possiamo dirli associati direttamente o associati del primo tipo. Osservando ora la figura noti le seguenti cose:
- detto $alpha$ uno di questi angoli, tutti gli altri sono ottenibili con formule del tipo $k* 180°+-alpha$, con $k in Z$ e quindi anche uguale a zero;
- in valore assoluto, tutti questi angoli hanno lo stesso seno e lo stesso coseno (e quindi tangente e cotangente).

Vediamo ora il secondo caso. Preso sempre l'angolo $alpha$ (per chiarezza di disegno evita 45° e suoi multipli), disegna il suo complementare ($90°-alpha$); se tutto è nel primo quadrante, dimostri facilmente che $sin(90°-alpha)=cos alpha$ e analoga con seno e coseno scambiati. Partendo ora dall'angolo complementare, disegna un rettangolo come prima; i suoi quattro vertici corrispondono ad angoli che si dicono associati al complementare o associati del secondo tipo.
Osservando la figura noti che:
- tutti gli angoli sono ottenibili con formule del tipo $k*90°+-alpha$ dove $k$ è un numero dispari positivo o negativo (se fosse pari avremmo un multiplo di 180° e saremmo nel primo caso);
- in valore assoluto, seno e coseno di questi angoli sono uguali a quelli di $alpha$, ma scambiando fra loro le due funzioni (e quindi si scambiano fra loro anche tangente e cotangente)

Finora ho parlato di valori assoluti e vediamo ora il segno; questa regola vale per entrambi i casi precedenti. Supponi che $alpha$ sia nel primo quadrante e chiediti in che quadrante è l'angolo che stai esaminando; metti il segno che la funzione data ha in quel quadrante. Attento: la funzione data, non quella ottenuta. La cosa interessante è che la formula che ottieni vale anche se $alpha$ è in un altro quadrante.

Aggiungo qualche esempio, sia in gradi che in radianti.
a) $sin(pi+alpha)$: terzo quadrante, quindi c'è il meno: primo tipo, quindi $=-sin alpha$
b) $cos(270°+alpha)$: quarto quadrante, quindi c'è il più; secondo tipo, quindi $=sin alpha$
c) $sin(2 pi-alpha)$: quarto quadrante, quindi c'è il meno; primo tipo, quindi $=-sin alpha$
d) $cos 150°=cos(180°-30°)$: secondo quadrante, quindi c'è il meno; primo tipo quindi $=-cos 30°=-(sqrt3)/2$. Potevamo però anche fare
e)$cos 150°=cos(90°+60°)$: secondo quadrante, quindi c'è il meno; secondo tipo quindi $=-sin60°=-(sqrt3)/2$;
f) $tg(pi+ alpha)$: terzo quadrante, quindi c'è il più; primo tipo quindi $=tg alpha$;
g) $ctg (90°+alpha)$: secondo quadrante quindi c'è il meno; secondo tipo quindi $=-tg alpha$.