Funzioni continue

[Bad90]

Non sto capendo perfettamente il seguente limite notevole:

$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $

[Bad90]

Esercizio 13

Non sto riuscendo a capire come risolve il seguente limite, o meglio come sfrutta i radicali per arrivare al risultato $-1/(2sqrt(2))$, ecco qui:

$ lim_(x -> 2^+ ) (sqrt2-sqrtx)/(x-2) $

[piero_1]

Prova a scomporre il denominatore come prodotto di una somma per una differenza, poi semplifica.

[Bad90]

"piero_":Prova a scomporre il denominatore come prodotto di una somma per una differenza, poi semplifica.

Ho fatto tutte le prove possibili, ma sicuramente staro' sbagliando qualche passaggio algebrico!

[Pianoth]

$x-2=(sqrt(x))^2-(sqrt(2))^2=(sqrt(x)+sqrt(2))(sqrt(x)-sqrt(2))=-(sqrt(2)-sqrt(x))(sqrt(x)+sqrt(2))$
... Ti ho detto praticamente tutto.

[Bad90]

"Pianoth":$x-2=(sqrt(x))^2-(sqrt(2))^2=(sqrt(x)+sqrt(2))(sqrt(x)-sqrt(2))=-(sqrt(2)-sqrt(x))(sqrt(x)+sqrt(2))$
... Ti ho detto praticamente tutto.

E poi mi ritrovo con la seguente:

$ lim_(x -> 2^+ ) (sqrt2-sqrtx)/(-(sqrt(2)-sqrt(x))(sqrt(x)+sqrt(2))) $

$ lim_(x -> 2^+ ) (1)/(-(sqrt(x)+sqrt(2))) $

E come faccio ad arrivare al risultato del testo Cioè il seguente $-1/(2sqrt(2))$

[Bad90]

Esercizio 15

Calcolare il limite della seguente funzione algebrica che si presenta nella forma di indecisione $ (oo)/oo $

$ lim_(x -> oo) (2x^2 -5 + sqrt(x^4 - 3x +1))/(x-1+sqrt(x^4 + x -2)) $

Il testo mi dice che deve essere uguale a $ 3 $ , ma io sinceramente non sto riuscendo a capire il perchè
Ho provato a dividere per la variabile che ha l'esponente della potenza maggiore, ma arrivo a dire questo:

$ lim_(x -> oo) ((2x^2)/x^4 -5/(x^4) +sqrt((x^4)/(x^4) - (3x)/(x^4) +(1)/(x^4)))/((x)/(x^4)-(1)/(x^4)+sqrt((x^4)/(x^4) + (x)/(x^4) - (2)/(x^4))) $

E non di certo arrivo al risultato del testo

[piero_1]

"Bad90":E poi mi ritrovo con la seguente:
$ lim_(x -> 2^+ ) (sqrt2-sqrtx)/(-(sqrt(2)-sqrt(x))(sqrt(x)+sqrt(2))) = lim_(x -> 2^+ ) (1)/(-(sqrt(x)+sqrt(2))) $
E come faccio ad arrivare al risultato del testo Cioè il seguente $ -1/(2sqrt(2)) $

Sostituisci il valore a cui tende il limite, cioè 2, al posto della x e vedi un po'

[piero_1]

"Bad90":Ho provato a dividere per la variabile che ha l'esponente della potenza maggiore, ma arrivo a dire questo:
$ lim_(x -> oo) ((2x^2)/x^4 -5/(x^4) +sqrt((x^4)/(x^4) - (3x)/(x^4) +(1)/(x^4)))/((x)/(x^4)-(1)/(x^4)+sqrt((x^4)/(x^4) + (x)/(x^4) - (2)/(x^4))) $
E non di certo arrivo al risultato del testo

hai commesso un errore.
devi dividere i termini fuori dalla radice per $x^2$ e non $x^4$.

[Bad90]

E la variabile sotto radice???

[burm87]

"Bad90":
$ lim_(x -> oo) (2x^2 -5 + sqrt(x^4 - 3x +1))/(x-1+sqrt(x^4 + x -2)) $

$lim_(x->oo)(2x^2-5+sqrt(x^4(1-3/x^3+1/x^4)))/(x-1+sqrt(x^4(1+1/x^3-2/x^4)))$

$lim_(x->oo)(2x^2-5+x^2sqrt((1-3/x^3+1/x^4)))/(x-1+x^2sqrt((1+1/x^3-2/x^4)))$

$lim_(x->oo)(x^2(2-5/x^2+sqrt(1-3/x^3+1/x^4)))/(x^2(1/x-1/x^2+sqrt(1+1/x^3-2/x^4))$

$lim_(x->oo)(2-5/x^2+sqrt(1-3/x^3+1/x^4))/(1/x-1/x^2+sqrt(1+1/x^3-2/x^4))$

Dentro ad entrambe le radici resta $1$, al numeratore ottieni quindi $2+1$, al denominatore resta $1$:
$(2+1)/1=3$.

[Bad90]

Sei un fenomeno!
Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 16

Calcolare il limite, nel quale si presenta la forma indeterminata $[+oo, -oo]$

Non sto riuscendo a capire il perche' del risultato, ecco la traccia:

$ lim_(x -> oo) (sqrt(x^2 + 8x +5) -x) $

Il risultato che mi da il testo e' $4$!

[burm87]

"Bad90":
$ lim_(x -> oo) (sqrt(x^2 + 8x +5) -x) $

Moltiplica la tua funzione per $(sqrt(x^2+8x+5)+x)/(sqrt(x^2+8x+5)+x)$, che è uguale a $1$ e quindi otterrai, dopo i passaggi matematici, una funzione equivalente a quella iniziale. Ottieni:

$ lim_(x -> oo) (sqrt(x^2 + 8x +5) -x) *(sqrt(x^2+8x+5)+x)/(sqrt(x^2+8x+5)+x)$

Al numeratore puoi applicare un prodotto notevole:

$ lim_(x -> oo) (x^2 + 8x +5 -x^2)/(sqrt(x^2+8x+5)+x)$

$ lim_(x -> oo) (8x +5)/(sqrt(x^2(1+8/x+5/x^2))+x)$

$ lim_(x -> oo) (x(8+5/x))/(xsqrt(1+8/x+5/x^2)+x)$

$ lim_(x -> oo) (x(8+5/x))/(x(sqrt(1+8/x+5/x^2)+1)$

Le due $x$ si semplificano, tutti i termini fratti tendono a $0$ e la radice tende quindi a $1$.
Resta al numeratore $8$, al denominatore $1+1$. Risultato finale $4$.

[Bad90]

In effetti non riuscivo perche' non stavo pensando a quel passaggio!

Ti ringrazio!

[Bad90]

Esercizio 17

Adesso sto cercando di risolvere il seguente con lo stesso metodo del precedente, ma non ci sto riuscendo!

$ lim_(x -> +oo) (2x -1 -sqrt(4x^2 -4x -3)) $

Il risultato del testo e' $0$

Si tratta di limiti con forma di indecisione del tipo $-oo, +oo$
Qual'e' il metodo risolutivo??
Come devo fare???

[chiaraotta1]

Devi usare esattamente lo stesso metodo che ti è già stato suggerito sopra. Così ottieni che
$lim_(x -> +oo) (2x -1 -sqrt(4x^2 -4x -3))= lim_(x -> +oo) ((2x -1 -sqrt(4x^2 -4x -3)) * (2x -1 +sqrt(4x^2 -4x -3)) /(2x -1 +sqrt(4x^2 -4x -3)))=$
$ lim_(x -> +oo) (((2x -1)^2 -(sqrt(4x^2 -4x -3))^2) /(2x -1 +sqrt(4x^2 -4x -3)))= lim_(x -> +oo) (4x^2-4x+1 -4x^2 +4x +3) /(2x -1 +sqrt(4x^2 -4x -3))=$
$ lim_(x -> +oo) 4 /(2x -1 +sqrt(4x^2 -4x -3))=0$

[Bad90]

Ok, ma perche' e' zero?
Quali considerazioni sono state fatte???

[chiaraotta1]

E' un limite della forma $[4/(+oo+oo)]=[4/(+oo)]=0$

[Bad90]

Esercizio 18

Ma voglio capire come funziona questa cosa di $+oo, -oo$.............

Voglio risolvere questo e non sto capendo come concludere!

$lim_(x -> +oo) (sqrt(9x^2 + 2x +5) -3x)$

Il testo mi dice che deve essere $1/3$.

Potreste aiutarmi a capire come funzionano questi limiti???

Vi ringrazio anticipatamente!

[burm87]

Il prodotto notevole da applicare è sempre lo stesso: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$. Tu ti trovi ad avere uno dei due termini del prodotto e devi moltiplicare per una frazione con numeratore e denominatore uguali e uguali al termine del prodotto mancante.

Ora tu hai $A-B$ e dovrai quindi moltiplicare per $(A+B)/(A+B)$.