Funzioni continue

[Bad90]

Non sto capendo perfettamente il seguente limite notevole:

$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $

[Bad90]

"burm87":Il prodotto notevole da applicare è sempre lo stesso: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$. Tu ti trovi ad avere uno dei due termini del prodotto e devi moltiplicare per una frazione con numeratore e denominatore uguali e uguali al termine del prodotto mancante.

Ora tu hai $A-B$ e dovrai quindi moltiplicare per $(A+B)/(A+B)$.

Il problema mio non e' quello, ma come trarre le conclusioni!
La cosa che non sto capendo e' la storia di $-oo, +oo$ ecc.
Ma cosa si fa? Cosa significa? A cosa e' uguale una cosa del genere???

[chiaraotta1]

Per calcolare
$lim_(x -> +oo) (sqrt(9x^2 + 2x +5) -3x)$
basta che utilizzi il meccanismo che ti è già stato suggerito prima:
$lim_(x -> +oo) (sqrt(9x^2 + 2x +5) -3x)=lim_(x -> +oo) ((sqrt(9x^2 + 2x +5) -3x)* (sqrt(9x^2 + 2x +5) +3x)/(sqrt(9x^2 + 2x +5) +3x))=$
$lim_(x -> +oo) (9x^2 + 2x +5 -9x^2)/(sqrt(9x^2 + 2x +5) +3x)=lim_(x -> +oo) ( 2x +5)/(sqrt(9x^2 + 2x +5) +3x)=$
$lim_(x -> +oo) (x( 2 +5/x))/(x(sqrt(9 + 2/x +5/x^2) +3))=lim_(x -> +oo) ( 2 +5/x)/(sqrt(9 + 2/x +5/x^2) +3)=(2+0)/(sqrt(9+0+0)+3)=2/6=1/3$.

[CaMpIoN]

Quella cosa del $+\infty,-\infty$ ti dice che il limite è in quella forma indeterminata, su questi limiti pare si applicano limiti notevoli dopo semplificazioni, nel tuo caso trasformi le $x$ in frazioni e quindi devi poi applicare il limite notevole
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0 \)

[burm87]

Non so quanto sia corretto definire quello che tu hai scritto limite notevole. Non vorrei che il nostro amico facesse confusione.

[Bad90]

"chiaraotta":Per calcolare
$lim_(x -> +oo) (sqrt(9x^2 + 2x +5) -3x)$
basta che utilizzi il meccanismo che ti è già stato suggerito prima:
$lim_(x -> +oo) ( 2 +5/x)/(sqrt(9 + 2/x +5/x^2) +3)=(2+0)/(sqrt(9+0+0)+3)=2/6=1/3$.

Ok, quindi nei casi come questo, avendo a numeratore una variabile di primo grado, e una radice che ha una variabile di secondo grado al denominatore, mi permette di decidere la divisione del numeratore per una x di primo grado e al denominatore per una x di secondo grado???

[Bad90]

Insomma, quando si vede una scritta del genere, cosa significa??


E' un limite della forma $[4/(+oo+oo)]=[4/(+oo)]=0$

e se fosse:


a $[4/(+oo-oo)]$ A quanto equivale?

E se ci fissero altre combinazioni di $-+oo$ ?????

[burm87]

Ma è impossibile generalizzare in questa maniera!! Alcuni limiti che sono simili tra loro vengono risolti utilizzando le stesse strategie, ma poi le considerazioni vengono fatte singolarmente su ciascun limite.

[Bad90]

"burm87":Ma è impossibile generalizzare in questa maniera!! Alcuni limiti che sono simili tra loro vengono risolti utilizzando le stesse strategie, ma poi le considerazioni vengono fatte singolarmente su ciascun limite.

IO vorrei capire il concetto corretto di come interpretare una scritta $ (+oo-oo) $ , che cosa è ?
Una somma di una cosa più infinito e meno infinito
Un prodotto di una cosa più infinito e meno infinito

[burm87]

È una somma di un infinito con segno positivo e un infinito con segno negativo, non si sa dare un risultato in quanto rientra nelle forme indeterminate. Un prodotto di infiniti invece non è una forma indeterminata in quanto avrà come risultato sicuramente un infinito.

[Bad90]

"burm87":È una somma di un infinito con segno positivo e un infinito con segno negativo, non si sa dare un risultato in quanto rientra nelle forme indeterminate. Un prodotto di infiniti invece non è una forma indeterminata in quanto avrà come risultato sicuramente un infinito.

Esempio $ ((+oo)*(-oo)) = -oo $

Giusto

[Bad90]

Esercizio 18

E questo

$ lim_(x -> oo) (sqrt(x^2 -2x +3) - sqrt(x^2 -5x +1)) $

Ho pensato di fare in questo modo:

$ lim_(x -> oo) ((sqrt(x^2 -2x +3) - sqrt(x^2 -5x +1))*(sqrt(x^2 -2x +3) + sqrt(x^2 -5x +1)))/((sqrt(x^2 -2x +3) + sqrt(x^2 -5x +1)))$

$ lim_(x -> oo) (x^2 -2x +3 - x^2 +5x -1)/((sqrt(x^2 -2x +3) + sqrt(x^2 -5x +1)))$

$ lim_(x -> oo) (2 +3x )/((sqrt(x^2 -2x +3) + sqrt(x^2 -5x +1)))$

$ lim_(x -> oo) (2/x +3 )/((sqrt(1 -2/x +3/x^2) + sqrt(1 -5/x +1/x^2))) = 3/2$

[Bad90]

Esercizio 19

Di questo non sto capendo il significato

$ lim_(x -> +oo) (3x - sqrt(x^2-x+1)) $

Il testo mi dice che deve essere $ +oo $ .

Io con i vari passaggi sono arrivato a scrivere il seguente passaggio finale e non so perchè il testo mi ha dato la sua conclusione:

$ lim_(x -> +oo) (8x^2 + x - 1)/(3x + sqrt(x^2 - x +1)) $

Riducendo ai minimi termini, dovrebbe essere :

$ lim_(x -> +oo) (8 + 1/x - 1/x^2)/(3/x + sqrt(1 - 1/x +1/x^2)) $

$ lim_(x -> +oo) (8/1) = 8$

Perchè dice che deve essere $ +oo $

[burm87]

La questione del prodotto di infiniti è corretta.

L'esercizio 18 è corretto.

Esercizio 19: riporto solo il passaggio finale utile alle considerazioni del caso:

$lim_(x->+oo)(x^2(8+1/x-1/x^2))/(x(3-sqrt(1-1/x+1/x^2)))$

Qui, a differenza dei precedenti, il grado massimo del numeratore è maggiore del grado massimo del denominatore, quindi dopo la semplificazione resterà una $x$ al numeratore:

$lim_(x->+oo)(x(8+1/x-1/x^2))/(3-sqrt(1-1/x+1/x^2))$

I termini fratti tendono a $0$, la radice tende a $1$ e resterà $(+oo*(8))/(3-1)=(+oo*8)/(2)=+oo$.

[Bad90]

"burm87":

$lim_(x->+oo)(x^2(8+1/x-1/x^2))/(x(3-sqrt(1-1/x+1/x^2)))$

Ma tu hai ottenuto $ (x(3-sqrt(1-1/x+1/x^2)) $ mentre io ho considerato il prodotto che era $ (x(3+sqrt(1-1/x+1/x^2)) $

Dove ho sbagliato

[Bad90]

Esercizio 20

Questo e' del tipo $[0*oo]$, ma non lo sto capendo!

$ lim_(x -> 2) ((2x)/(2-x))(3-(4+x)/2) $

Come faccio ad arrivare al risultato del testo che e' $2$ ??????

[chiaraotta1]

Poiché
$(2x)/(2-x)(3-(4+x)/2)=(2x)/(2-x)(6 - 4-x)/2=(2x)/(2-x)(2-x)/2=x$,
con $x!=2$,
allora
$lim_(x -> 2) ((2x)/(2-x)(3-(4+x)/2))= lim_(x -> 2)x=2$.

[burm87]

"Bad90":[quote="burm87"]

$lim_(x->+oo)(x^2(8+1/x-1/x^2))/(x(3-sqrt(1-1/x+1/x^2)))$

Ma tu hai ottenuto $ (x(3-sqrt(1-1/x+1/x^2)) $ mentre io ho considerato il prodotto che era $ (x(3+sqrt(1-1/x+1/x^2)) $

Dove ho sbagliato [/quote]

Hai ragione, errore mio, al denominatore tra il $3$ e la radice ci deve essere un segno $+$. Che però non cambia la sostanza.

[Bad90]

"burm87":

Hai ragione, errore mio, al denominatore tra il $3$ e la radice ci deve essere un segno $+$. Che però non cambia la sostanza.

$lim_(x->+oo)(x(8+1/x-1/x^2))/(3+sqrt(1-1/x+1/x^2))$

I termini fratti tendono a $0$, la radice tende a $1$ e resterà $(+oo*(8))/(3+1)=(+oo*8)/(4)=+oo$.

Quindi vuoi dire che quel $ +oo $ al numeratore deriva dal fatto che ho una variabile sicuramente positiva, giusto

[Bad90]

"chiaraotta":Poiché
$(2x)/(2-x)(3-(4+x)/2)=(2x)/(2-x)(6 - 4-x)/2=(2x)/(2-x)(2-x)/2=x$,
con $x!=2$,
allora
$lim_(x -> 2) ((2x)/(2-x)(3-(4+x)/2))= lim_(x -> 2)x=2$.

Grazie mille chiaraotta, mi ha fregato quel segno meno che non ho considerato quì $ ....(3-((4+x))/2).... $

[Bad90]

Esercizio 21

$ lim_(x -> 1) (1 - 2/(x+1))((3x)/(2x -2)) $

Ho provato a risolverlo e sono arrivato alla seguente:

$ lim_(x -> 1) (3x)/(2(x +1)) $

Perchè il testo dice che deve essere $ 3/2 $