Funzioni continue
Non sto capendo perfettamente il seguente limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
Risposte
Cominciamo con le cose facili:
- nelle funzioni, $x$ viene chiamata variabile; la parola incognita si usa nelle equazioni;
- osservare un grafico è bello, ma non sempre hai a disposizione i mezzi per tracciarlo: bisogna imparare a ragionare anche senza grafico, o almeno immaginandosene solo il pezzo che ci interessa.
Il ragionamento da fare è:
- c'è una frazione, quindi il denominatore non deve annullarsi. Lo fa solo in qualche punto al finito, quindi per $x$ molto grande non lo fa;
- c'è una radice quadrata, quindi il radicando non deve essere negativo e per $x$ molto grande non lo è;
- c'è una tangente, quindi vanno esclusi alcuni valori del suo argomento, ma per $x$ molto grande $1/x$ vale circa zero e questo non è un valore escluso.
Di conseguenza non ci sono cose che potrebbero impedirmi di sostituire, quindi il calcolo fatto è giusto.
Per inciso, la curva è troppo fitta vicino all'asse delle ordinate e non delle ascisse, quindi non dà problemi per $x->+oo$. Ne darebbe invece per $x->0$.
- nelle funzioni, $x$ viene chiamata variabile; la parola incognita si usa nelle equazioni;
- osservare un grafico è bello, ma non sempre hai a disposizione i mezzi per tracciarlo: bisogna imparare a ragionare anche senza grafico, o almeno immaginandosene solo il pezzo che ci interessa.
Il ragionamento da fare è:
- c'è una frazione, quindi il denominatore non deve annullarsi. Lo fa solo in qualche punto al finito, quindi per $x$ molto grande non lo fa;
- c'è una radice quadrata, quindi il radicando non deve essere negativo e per $x$ molto grande non lo è;
- c'è una tangente, quindi vanno esclusi alcuni valori del suo argomento, ma per $x$ molto grande $1/x$ vale circa zero e questo non è un valore escluso.
Di conseguenza non ci sono cose che potrebbero impedirmi di sostituire, quindi il calcolo fatto è giusto.
Per inciso, la curva è troppo fitta vicino all'asse delle ordinate e non delle ascisse, quindi non dà problemi per $x->+oo$. Ne darebbe invece per $x->0$.
Forse è il caso di farne qualche altro 
Esercizio 4
$ lim_(x -> -oo) cos(1/(lnx^2)) = 1 $
Le considerazioni da fare sono che al denominatore, la variabile $ x $ è senz'altro positiva in quanto è un quadrato
Il coseno è verificato solo per un intervallo di $ +-1 $
La considerazione che mi viene di fare e che mi fa confermare il fatto che sia veramente uguale a 1 è che quando x tende ad infinitamente meno, il valore è sempre meno 1!
Per dire questo però ho pensato al grafico del coseno, che parte proprio con un punto $ P(0,1) $
$ lim_(x -> -oo) cos(1/(lnx^2)) = 1 $
Le considerazioni da fare sono che al denominatore, la variabile $ x $ è senz'altro positiva in quanto è un quadrato
Il coseno è verificato solo per un intervallo di $ +-1 $
La considerazione che mi viene di fare e che mi fa confermare il fatto che sia veramente uguale a 1 è che quando x tende ad infinitamente meno, il valore è sempre meno 1!
Per dire questo però ho pensato al grafico del coseno, che parte proprio con un punto $ P(0,1) $
Precisiamo: il coseno è definito per qualsiasi valore del suo argomento ed assume valori compresi fra -1 ed 1.
E il logaritmo che fine ha fatto?
Ragionamento: $x^2$ è positivo e tende a $+oo$, quindi anche $lnx^2$ tende a $+oo$ e la frazione tende a zero; quando l'angolo tende a zero, il suo coseno tende ad 1.
Avevo frainteso il significato di quegli esercizi; ora che l'ho capito, ti consiglio di farli tutti, ma nel modo che ho appena usato: copri il risultato, provi a calcolarlo da solo e poi guardi se è giusto.
E il logaritmo che fine ha fatto?
Ragionamento: $x^2$ è positivo e tende a $+oo$, quindi anche $lnx^2$ tende a $+oo$ e la frazione tende a zero; quando l'angolo tende a zero, il suo coseno tende ad 1.
Avevo frainteso il significato di quegli esercizi; ora che l'ho capito, ti consiglio di farli tutti, ma nel modo che ho appena usato: copri il risultato, provi a calcolarlo da solo e poi guardi se è giusto.
Perfetto!
Esercizio 5
Analogo alla traccia dei precedenti.
$ lim_(x -> 2) (x^3 - 2x +3) = 7 $
Senza guardare il grafico, mi viene di confermare il risultato del limite, infatti:
$ (x^3 - 2x +3) = 7 $
$ (2^3 - 2*2 +3) = 7 $
Ed è vero
Infatti la verifica ultima è facendo il grafico, si evince perfettamente che il limite è vero:
Analogo alla traccia dei precedenti.
$ lim_(x -> 2) (x^3 - 2x +3) = 7 $
Senza guardare il grafico, mi viene di confermare il risultato del limite, infatti:
$ (x^3 - 2x +3) = 7 $
$ (2^3 - 2*2 +3) = 7 $
Ed è vero
Infatti la verifica ultima è facendo il grafico, si evince perfettamente che il limite è vero:
Esercizio 6
Questo è più commentabile ....., intendo che c'è più da dire
$ lim_(x -> +oo) e^(3-x) = 0 $
Il limite è vero in quanto si ha:
$ e^(3-x) = (log_e e^3) /(log_e e^x) $
Il che significa che al denominatore si ha un logaritmo base $ e $ che ha come potenza la variabile $ x $ che verso il punto $ +oo $ tende a zero, cosa che non sarebbe così, ma che tenderebbe a crescere se quel logaritmo con la variabile fosse al numeratore!
Con questo non vedo nemmeno il grafico, perchè convinto di ciò che ho detto
Questo è più commentabile ....., intendo che c'è più da dire
$ lim_(x -> +oo) e^(3-x) = 0 $
Il limite è vero in quanto si ha:
$ e^(3-x) = (log_e e^3) /(log_e e^x) $
Il che significa che al denominatore si ha un logaritmo base $ e $ che ha come potenza la variabile $ x $ che verso il punto $ +oo $ tende a zero, cosa che non sarebbe così, ma che tenderebbe a crescere se quel logaritmo con la variabile fosse al numeratore!
Con questo non vedo nemmeno il grafico, perchè convinto di ciò che ho detto
Ne ho fatti un bel pò, ma penso proprio che bastino!
"Bad90":
Il limite è vero in quanto si ha:
$ e^(3-x) = (log_e e^3) /(log_e e^x) $
Il che significa che al denominatore si ha un logaritmo base $ e $ che ha come potenza la variabile $ x $ che verso il punto $ +oo $ tende a zero, cosa che non sarebbe così, ma che tenderebbe a crescere se quel logaritmo con la variabile fosse al numeratore!
Spero tu non ti offenda, ma se io leggo la frase qua sopra, non riesco a farmi neanche una minima idea di quello che intendi!
Aggiungo anche che non mi trovi d'accordo con l'uguaglianza da te scritta, ma su questo non voglio sindacare "interferendo" con il tuo metodo.
E perche' mi dovrei offendere, qui siamo tutti amici e gli amici si aiutano senza pensare ad un qualcosa di negativo!
Venedo al dunque, penso che dopo tutta una giornata, sto sfarfallando sicuramente............
Penso che ho fatto confusione con la proprieta' dei logaritmi!
Scusami ma se per le potenze ho che $ x^m : x^n = x^(m-n) $ non posso sfruttare la proprieta' delle potenze per scrivere il logaritmo come ho fatto io???
$ e^(3-x) = e^3 : e^x = (log_e e^3) /(log_e e^x) = 3/x $
Venedo al dunque, penso che dopo tutta una giornata, sto sfarfallando sicuramente............
Penso che ho fatto confusione con la proprieta' dei logaritmi!
Scusami ma se per le potenze ho che $ x^m : x^n = x^(m-n) $ non posso sfruttare la proprieta' delle potenze per scrivere il logaritmo come ho fatto io???
$ e^(3-x) = e^3 : e^x = (log_e e^3) /(log_e e^x) = 3/x $
E cosa c'entra il logaritmo?
$e^(3-x)=e^3:e^x=e^3/e^x$
Controlla con i numeri: se $x=1$, hai $e^(3-x)=e^2=7,389...$, mentre $3/x=3$.
$e^(3-x)=e^3:e^x=e^3/e^x$
Controlla con i numeri: se $x=1$, hai $e^(3-x)=e^2=7,389...$, mentre $3/x=3$.
"Bad90":
E perche' mi dovrei offendere, qui siamo tutti amici e gli amici si aiutano senza pensare ad un qualcosa di negativo!
Mi piace il tuo spirito!
Per la questione matematica, ti ha già risposto giammaria.
"giammaria":
E cosa c'entra il logaritmo?
$e^(3-x)=e^3:e^x=e^3/e^x$
Controlla con i numeri: se $x=1$, hai $e^(3-x)=e^2=7,389...$, mentre $3/x=3$.
Scusami ma il limite mi dice che e' $+oo$ , ha cosa hai pensato per dire che $x=1$ ????
Era solo per metterti in evidenza che la relazione che hai scritto non è corretta.
Esercizio 7
Calcolare il limite della seguente funzione algebrica che si presenta nella forma di indecisione $0/0$
$ lim_(x -> 0) (x^2 +x)/(x^3) $
Non capisco cone fa ad essere uguale a $+oo$
Calcolare il limite della seguente funzione algebrica che si presenta nella forma di indecisione $0/0$
$ lim_(x -> 0) (x^2 +x)/(x^3) $
Non capisco cone fa ad essere uguale a $+oo$
raccogli la x al numeratore e semplifica. La forma indeterminata se ne va.
"piero_":
raccogli la x al numeratore e semplifica. La forma indeterminata se ne va.
Si ma poi mi resta questo:
$1/x + 1/x^2$
Le considerazioni che mi vengono in mente sono che tende a zero!
Ci sono delle variabili al denominatore!
intendevo così:
$lim_(x -> 0) (x^2 +x)/(x^3)=lim_(x -> 0) (x(x+1))/(x^3)=lim_(x -> 0) (x+1)/(x^2)=[1/0^+]=+ \infty$
$lim_(x -> 0) (x^2 +x)/(x^3)=lim_(x -> 0) (x(x+1))/(x^3)=lim_(x -> 0) (x+1)/(x^2)=[1/0^+]=+ \infty$
Hai pienamente ragione!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Esercizio 8
Calcolare il limite della seguente funzione algebrica che si presenta nella forma di indecisione $0/0$
$ lim_(x -> 2) (x^2 -2x)/(x-2)^2 $
Non capisco cone fa ad essere uguale a $oo$
Anche raccogliendo in questo modo:
$ x (x -2)/(x-2)^2=x/(x-2) $
Qui non so pe considerazioni che bisogna fare!
Calcolare il limite della seguente funzione algebrica che si presenta nella forma di indecisione $0/0$
$ lim_(x -> 2) (x^2 -2x)/(x-2)^2 $
Non capisco cone fa ad essere uguale a $oo$
Anche raccogliendo in questo modo:
$ x (x -2)/(x-2)^2=x/(x-2) $
Qui non so pe considerazioni che bisogna fare!
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