Funzioni continue
Non sto capendo perfettamente il seguente limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
Risposte
La dimostrazione si trova su tutti i libri e non possiamo certo ripetertela tutta; al massimo chiedici qualche particolare della dimostrazione. Puoi controllare il risultato impostando la calcolatrice sui radianti (tasto DGR; in un angolino dello schermo deve apparire la scritta RAD); poi dai ad $x$ valori sempre più vicini allo zero e le fai calcolare $(sinx)/x$. L'impostazione sui radianti è importante, perché questa formula vale solo in quel caso. E' una formula che userai spesso e che ha importanti conseguenze: per questo motivo in analisi gli angoli si misurano sempre e solo in radianti.
"giammaria":
$(sinx)/x$ ... per questo motivo in analisi gli angoli si misurano sempre e solo in radianti.
Si, ho letto che è importantissima, come lo è anche il numero di Neper!
Adesso cerco di comprenderlo meglio da solo, domani posto quanto sono riuscito a comprendere e poi ti faccio sapere
Allora, vediamo se riesco a replicare il concetto, metterò in evidenza i punti che non mi sono chiari:
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
- Non è definita per $ x=0 $
- Il limite destro è $ lim_(x -> 0^+) (senx)/x = 1 $ si ha un angolo compreso $ 0 < x
- Guardando la circonferenza:
$ Ahat(O)P $ (misura dell'angolo $ x $ )
$ AP $ (settore circolare la cui misura corrisponde sempre alla $ x $ )
- Abbiamo le rispettive aree $ \mathcal(A),\mathcal(B),\mathcal(C) $
$ \mathcal(A)= OAP $ (Triangolo) $ 1/2senx $
$ \mathcal(B)= APO $ (Settore circolare) $ 1/2x $
$ \mathcal(B)= OAT $ (Triangolo) $ 1/2 tgx $
Adesso non capisco perchè dice che:
$ 1/2 senx < 1/2x < 1/2tgx $
E non capisco perchè divide per $ 1/2senx $ facendo diventare così:
$ 1 < x/(senx) < x/(cosx) $
E poi come fa a farla diventare così???
$ 1 >(senx)/x > cosx $
Per il momento mi fermo quì, appena chiariamo i dubbi che ho, termino con gli step della dimostrazione, dove ancora ho qualche dubbio
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
- Non è definita per $ x=0 $
- Il limite destro è $ lim_(x -> 0^+) (senx)/x = 1 $ si ha un angolo compreso $ 0 < x
- Guardando la circonferenza:
$ Ahat(O)P $ (misura dell'angolo $ x $ )
$ AP $ (settore circolare la cui misura corrisponde sempre alla $ x $ )
- Abbiamo le rispettive aree $ \mathcal(A),\mathcal(B),\mathcal(C) $
$ \mathcal(A)= OAP $ (Triangolo) $ 1/2senx $
$ \mathcal(B)= APO $ (Settore circolare) $ 1/2x $
$ \mathcal(B)= OAT $ (Triangolo) $ 1/2 tgx $
Adesso non capisco perchè dice che:
$ 1/2 senx < 1/2x < 1/2tgx $
E non capisco perchè divide per $ 1/2senx $ facendo diventare così:
$ 1 < x/(senx) < x/(cosx) $
E poi come fa a farla diventare così???
$ 1 >(senx)/x > cosx $
Per il momento mi fermo quì, appena chiariamo i dubbi che ho, termino con gli step della dimostrazione, dove ancora ho qualche dubbio
"chiaraotta":
Prova a vedere se ti ritrovi qui:
viewtopic.php?f=11&t=75154&start=10
Non sono riuscito a capire
"Bad90":
Adesso non capisco perchè dice che:
$ 1/2 senx < 1/2x < 1/2tgx $
E non capisco perchè divide per $ 1/2senx $ facendo diventare così:
$ 1 < x/(senx) < x/(cosx) $
E poi come fa a farla diventare così???
$ 1 >(senx)/x > cosx $
la prima diseguaglianza $1/2 \sin x < 1/2 x< 1/2 \tan x$ è giusta, è quello che viene dopo che hai scritto sbagliato
$1/2 \sin x < 1/2 x< 1/2 \tan x \to \sin x < x < \tan x$, ora dividendo per $\sin x$, che è positivo perchè $x\in (0,\pi/2)$
si ha $1< (x)/(\sin x)< (1)/(\cos x), \forall x \in(0, \pi/2)$
(ti ricordo che $\tan \alpha = (\sin \alpha)/(\cos \alpha)$ )
infine passando ai reciproci si ottiene $\cos x< (\sin x)/(x) < 1$
dal teorema dei 2 carabinieri (o teorema del confronto) $\lim_(x\to 0) \cos x=1$
viene $\lim_(x\to 0) (\sin x)/(x)=1$
"21zuclo":
dal teorema dei 2 carabinieri (o teorema del confronto) $\lim_(x\to 0) \cos x=1$
viene $\lim_(x\to 0) (\sin x)/(x)=1$
Scusami, ma quali sono i passaggi che fa utilizzando il metodo del confronto
$\cos x < (\sin x)/(x)<1$
siccome $\lim_(x\to 0) \cos x =1$
$1< (\sin x)/(x)<1$
il tuo limite di partenza $\lim_(x\to 0) (\sin x)/(x)$, l'incognita $x$ tende a 0
siccome $\lim_(x\to 0) \cos x =1$
$1< (\sin x)/(x)<1$
il tuo limite di partenza $\lim_(x\to 0) (\sin x)/(x)$, l'incognita $x$ tende a 0
"21zuclo":
il tuo limite di partenza $\lim_(x\to 0) (\sin x)/(x)$, l'incognita $x$ tende a 0
Comunque in merito alle dimostrazioni sui limiti fondamentali, ho trovato qualcosa di veramente interessante e che spiega il concetto in maniera veramente comprensibile, ecco qui:
http://www.youtube.com/watch?gl=IT&hl=i ... nomobile=1
http://www.youtube.com/watch?gl=IT&hl=i ... nomobile=1
La funzione seguente:
$ f(x) = (2x(x-1))/(x-1) $ non è definita nel punto $1$, perchè è uguale a $2$, giusto? Bene, quindi il limite:
$ lim_(x -> 1) (2x(x-1))/(x-1)= 2 $
Quindi si può dire che nel punto $ 1 $ la funzione è discontinua!
Esiste una possibilità per dire che la stessa funzione sia continua, ed è quella di imporre che $ x=1 $
Vero
Scusate ma a me non mi è tanto chiaro questo concetto
Ho capito quando la funzione è continua, ....., ma in questo caso perchè lo diventa se impongo $ x=1 $,
$ f(x) = (2x(x-1))/(x-1) $ non è definita nel punto $1$, perchè è uguale a $2$, giusto? Bene, quindi il limite:
$ lim_(x -> 1) (2x(x-1))/(x-1)= 2 $
Quindi si può dire che nel punto $ 1 $ la funzione è discontinua!
Esiste una possibilità per dire che la stessa funzione sia continua, ed è quella di imporre che $ x=1 $
Vero Scusate ma a me non mi è tanto chiaro questo concetto
Ho capito quando la funzione è continua, ....., ma in questo caso perchè lo diventa se impongo $ x=1 $,
Ricorda che la regola è "Si possono moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero, purché diverso da zero": ne consegue che si può semplificare solo per qualcosa diverso da zero. Se $x!=1$ si ha $x-1!=0$ e si può semplificare; se invece $x=1$ non si può farlo ed in quel punto la funzione non esiste perché il denominatore vale zero. La tua funzione può quindi essere scritta come
$ f(x)={(2x \ if x!=1),("non esiste" if x=1):}$
Nel calcolo del limite si danno valori sempre più vicini ad 1, ma mai veramente 1: si usa quindi sempre la prima definizione, ed il limite esiste. Invece $f(x)$ non esiste e quindi non è continua.
Dal punto di vista del disegno, notiamo che I grafici di $y=2x$ e $y=f(x)$ sono quasi identici: l'unica differenza è che il primo passa per il punto $(1,2)$, che invece manca nel secondo. In altre parole, $y=f(x)$ è l'equazione di una retta a cui abbiamo tolto un punto.
$ f(x)={(2x \ if x!=1),("non esiste" if x=1):}$
Nel calcolo del limite si danno valori sempre più vicini ad 1, ma mai veramente 1: si usa quindi sempre la prima definizione, ed il limite esiste. Invece $f(x)$ non esiste e quindi non è continua.
Dal punto di vista del disegno, notiamo che I grafici di $y=2x$ e $y=f(x)$ sono quasi identici: l'unica differenza è che il primo passa per il punto $(1,2)$, che invece manca nel secondo. In altre parole, $y=f(x)$ è l'equazione di una retta a cui abbiamo tolto un punto.
Perfetto, adesso ho compreso
Esercizio 1
Servendosi dei teoremi relativi alle operazioni sui limiti e ricordando la continuita' delle funzioni elementari e della composizione di funzioni continue, dimostrare che si ha:
$ lim_(x -> 0) (x^2 +3x) =0 $
Scusatemi, ma in cosa consiste la risoluzione del seguente esercizio? Insomma come devo risolverlo??
Servendosi dei teoremi relativi alle operazioni sui limiti e ricordando la continuita' delle funzioni elementari e della composizione di funzioni continue, dimostrare che si ha:
$ lim_(x -> 0) (x^2 +3x) =0 $
Scusatemi, ma in cosa consiste la risoluzione del seguente esercizio? Insomma come devo risolverlo??
La tua funzione è stata composta partendo dalla funzioni elementari $y_1=x$ e $y_2=3$ che sono state composte con le operazioni $y_1*y_1+y_2*y_1$. Poiché le funzioni di partenza erano continue e sono state composte con operazioni che non creano problemi (se ad esempio ci fosse stata una divisione avrei dovuto preoccuparmi di non dividere per zero) anche la funzione $x^2+3x$ è continua e quindi per calcolarne il limite mi basta calcolarne il valore in $x=0$.
Di solito non si sta a fare tutto questo ragionamento, a meno che ad un esame il professore ci chieda con cosa motiviamo la risposta: ci si limita a dire (o anche solo pensare) che la funzione è continua e quindi
$lim_(x->0)(x^2+3x)=0^2+3*0=0$
Di solito non si sta a fare tutto questo ragionamento, a meno che ad un esame il professore ci chieda con cosa motiviamo la risposta: ci si limita a dire (o anche solo pensare) che la funzione è continua e quindi
$lim_(x->0)(x^2+3x)=0^2+3*0=0$
Esercizio 2
Servendosi dei teoremi relativi alle operazioni sui limiti e ricordando la continuita' delle funzioni elementari e della composizione di funzioni continue, dimostrare che si ha:
$ lim_(x -> 1) (x^3 - 3x + 1) = -1 $
Analogo all'esercizio precedente
Correggetemi se sbaglio, ma penso che le uniche considerazioni da fare sono le seguenti......
Il limite dato, è effettivamente uguale a $ -1 $ , infatti sostituendo $ 1 $ nell'equazione seguente:
$ x^3 - 3x + 1 = -1 $
Si ha
$ 1 - 3 + 1 = -1 $
Solo che non è una funzione continua, in quanto dal grafico della funzione, si evince che le rette parallele all'asse delle $ x $ , intersecano per più di un punto la curva!
Ho detto bene?
Che considerazioni avrei dovuto fare
Ecco il grafico:
Ho pensato se si potesse parlare di discontinuità per un intervallo, ma no saprei proprio cosa dire
Servendosi dei teoremi relativi alle operazioni sui limiti e ricordando la continuita' delle funzioni elementari e della composizione di funzioni continue, dimostrare che si ha:
$ lim_(x -> 1) (x^3 - 3x + 1) = -1 $
Analogo all'esercizio precedente
Correggetemi se sbaglio, ma penso che le uniche considerazioni da fare sono le seguenti......
Il limite dato, è effettivamente uguale a $ -1 $ , infatti sostituendo $ 1 $ nell'equazione seguente:
$ x^3 - 3x + 1 = -1 $
Si ha
$ 1 - 3 + 1 = -1 $
Solo che non è una funzione continua, in quanto dal grafico della funzione, si evince che le rette parallele all'asse delle $ x $ , intersecano per più di un punto la curva!
Ho detto bene?
Che considerazioni avrei dovuto fare
Ecco il grafico:
Ho pensato se si potesse parlare di discontinuità per un intervallo, ma no saprei proprio cosa dire
Per sapere se è una funzione continua devi guardare le rette parallele all'asse $y$.
Le parallele all'asse $x$ interessano per sapere se è invertibile.
Le parallele all'asse $x$ interessano per sapere se è invertibile.
"giammaria":
Per sapere se è una funzione continua devi guardare le rette parallele all'asse $y$.
Le parallele all'asse $x$ interessano per sapere se è invertibile.
Accipicchia, questa dell'invertibilita' non la sapevo!
Allora si che la funzione che ho nell'esercizio 2 e' continua!
Cosa posso dire in piu' in merito alla soluzione di questi tipi di esercizi?
Siccome sono circa una ventina sul mio testo, sto valutando se e' il caso di passare avanti e non soffermarmi piu' di tanto!
Cosa ne pensi??
Di solito sono in ordine di difficoltà: prova a fare l'ultima e se va tutto bene passa avanti.
Esercizio 3
Ecco l'ultimo della serie, vediamo se riesco a dare le conclusioni opportune
$ lim_(x -> +oo) (tg (1/x))/(sqrt(x^2 +x )) = 0 $
Il limite è vero che sia zero nella circostanza di $ +oo $ , basta considerare che al denominatore della tangente, abbiamo un valore incognito, questo fa capire che se questo tendesse ad aumentare, lo porterebbe a zero, idem per il denominatore della frazione, si ha un radicale con incognite, ma lo si evince anche dal grafico:
Per determinare la continuità della funzione, bisogna osservare la parallela all'asse delle y, dunque la retta x, bene, a me sembra che ci sia continuità nella funzione, solo che non riesco ad esserne perfettamente sicuro, in quanto, la curva è troppo fitta in corrispondenza dell'asse delle ascisse!
Come faccio a dare una risposta sicura se non riesco a vedere perfettamente
Ecco l'ultimo della serie, vediamo se riesco a dare le conclusioni opportune
$ lim_(x -> +oo) (tg (1/x))/(sqrt(x^2 +x )) = 0 $
Il limite è vero che sia zero nella circostanza di $ +oo $ , basta considerare che al denominatore della tangente, abbiamo un valore incognito, questo fa capire che se questo tendesse ad aumentare, lo porterebbe a zero, idem per il denominatore della frazione, si ha un radicale con incognite, ma lo si evince anche dal grafico:
Per determinare la continuità della funzione, bisogna osservare la parallela all'asse delle y, dunque la retta x, bene, a me sembra che ci sia continuità nella funzione, solo che non riesco ad esserne perfettamente sicuro, in quanto, la curva è troppo fitta in corrispondenza dell'asse delle ascisse!
Come faccio a dare una risposta sicura se non riesco a vedere perfettamente
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