Funzioni continue
Non sto capendo perfettamente il seguente limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $
Risposte
raccogli la x al numeratore e semplifica:
$lim_(x -> 2) (x^2 -2x)/(x-2)^2=lim_(x -> 2) (x(x -2))/(x-2)^2=lim_(x -> 2) x/(x-2)=[2/0]=\infty$
$lim_(x -> 2) (x^2 -2x)/(x-2)^2=lim_(x -> 2) (x(x -2))/(x-2)^2=lim_(x -> 2) x/(x-2)=[2/0]=\infty$
I limiti di funzioni razionali fratte che presentano forme indeterminate del tipo $[0/0]$ si risolvono riducendo la frazione ai minimi termini. Devi scomporre il numeratore e il denominatore e fare le semplificazioni.
"piero_":
I limiti di funzioni razionali fratte che presentano forme indeterminate del tipo $[0/0]$ si risolvono riducendo la frazione ai minimi termini. Devi scomporre il numeratore e il denominatore e fare le semplificazioni.
Ok, ma il problema e' che non riesco a concepire il fatto che $2/0$ dia un limite che e' $+-oo$!?!??
Qual'e' la considerazione da fare???
Prova a ragionare così:
dividere il 2 per un valore che tende a zero ad es: $2/(1/1000000)$
quanto fa?
l'esempio è banale, ma ti può servire a capire
dividere il 2 per un valore che tende a zero ad es: $2/(1/1000000)$
quanto fa?
l'esempio è banale, ma ti può servire a capire
"Bad90":
$2/0$
Mi raccomando, però, all'esame non scrivere mai una cosa del genere!
Perche' ????
Perché è una scrittura che "non ha senso". Non è vero che $2/0 = oo$, ed in più è proprio privo di senso $2/0$.
È semmai vero che
\[\lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{2}{x}=\pm \infty\]
il che è completamente diverso. Mi raccomando, stai attento! Quindi, scrivere il limite va bene, scrivere $2/0$ no.
È semmai vero che
\[\lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{2}{x}=\pm \infty\]
il che è completamente diverso. Mi raccomando, stai attento! Quindi, scrivere il limite va bene, scrivere $2/0$ no.
Adesso ho capito!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
"giuliofis":
è proprio privo di senso $2/0$.
Verissimo, ma il professore di analisi che ho avuto all'università (che era considerato un matematico abbastanza importante) nei limiti lo ammetteva ed addirittura lo suggeriva, purché su di esso fosse tracciata una sbarra di cancellazione, ad indicare che sapevamo che non era un normale calcolo aritmetico.
"giammaria":
[quote="giuliofis"] è proprio privo di senso $2/0$.
Verissimo, ma il professore di analisi che ho avuto all'università (che era considerato un matematico abbastanza importante) nei limiti lo ammetteva ed addirittura lo suggeriva, purché su di esso fosse tracciata una sbarra di cancellazione, ad indicare che sapevamo che non era un normale calcolo aritmetico.[/quote]
La mia prof di matematica del liceo ammetteva anche le forme indeterminate, purché tra parentesi quadre (es. $[0/0]$), con la stessa idea del tuo docente di Analisi.
Il problema è che Bad non va a lezione... Come fare a sapere cosa è accettato o no dal suo professore? Per questo mi limiterei alla formalità.
Esercizio 9
Ecco un limite di cui non sto capendo il risultato:
$ lim_(x -> 1) (2x^2 -x -1)/(2x-2) $
io arrivo al seguente:
$ lim_(x -> 1) ((x-1)(x+1/2))/(2(x-1)) $
Riducendola ai minimi termini, arrivo alla seguente:
$ lim_(x -> 1) (x+1/2)/(2) $
E io direi che la soluzione dovrebbe essere $ 3 $ !
Perche' il testo mi dice che deve essere $3/2$
Ecco un limite di cui non sto capendo il risultato:
$ lim_(x -> 1) (2x^2 -x -1)/(2x-2) $
io arrivo al seguente:
$ lim_(x -> 1) ((x-1)(x+1/2))/(2(x-1)) $
Riducendola ai minimi termini, arrivo alla seguente:
$ lim_(x -> 1) (x+1/2)/(2) $
E io direi che la soluzione dovrebbe essere $ 3 $ !
Perche' il testo mi dice che deve essere $3/2$
Attenzione il numeratore è $(x-1)(2x+1)$ o alternativamente $2(x-1)(x+1/2)$. In questo modo arrivi a:
$lim_(x -> 1) (2x+1)/2 = (2*1+1)/2 = 3/2$
Comunque anche fin dove eri arrivato tu la soluzione non sarebbe stata $3$ ma $3/4$:
$(1 + 1/2)/2 = (3/2)/2 = 3/4$...
$lim_(x -> 1) (2x+1)/2 = (2*1+1)/2 = 3/2$
Comunque anche fin dove eri arrivato tu la soluzione non sarebbe stata $3$ ma $3/4$:
$(1 + 1/2)/2 = (3/2)/2 = 3/4$...
Esercizio 10
Per questo invece ?
$ lim_(x -> 2) (x^3 -8)/(x^2-4) $
Io sono arrivato a dire che:
$ lim_(x -> 2) ((x -2)(x^2 + 2x + 4))/((x - 2)(x+2)) $
e mi sembra ovvio arrivare alla seguente:
$ lim_(x -> 2) (x + 2) $
Perche' dice che deve essere $3$ ?????
Per questo invece ?
$ lim_(x -> 2) (x^3 -8)/(x^2-4) $
Io sono arrivato a dire che:
$ lim_(x -> 2) ((x -2)(x^2 + 2x + 4))/((x - 2)(x+2)) $
e mi sembra ovvio arrivare alla seguente:
$ lim_(x -> 2) (x + 2) $
Perche' dice che deve essere $3$ ?????
No, fai attenzione perché $x^2+2x+4$ è il cosiddetto falso quadrato, non è scomponibile, infatti arrivi a
$lim_(x->2) (x^2+2x+4)/(x+2) = (2^2+2*2+4)/(2+2)=(4+4+4)/4=12/4=3$
$lim_(x->2) (x^2+2x+4)/(x+2) = (2^2+2*2+4)/(2+2)=(4+4+4)/4=12/4=3$
Non avevo fatto caso che era un falso quadrato!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Esercizio 11
Ho risolto la seguente:
$ lim_(x -> 0) (x)/(x^3-3x^2 -x) $
Riducendo ai minimi termini arrivo alla seguente:
$ lim_(x -> 0) (1)/(x^2 +3x-1) $
Ma cosa e' che mi fa capire che non devo risolvere il denominatore come una equazione di secondo grado?
Sono riuscito a capire he il risultato e' $-1$, ma non riesco a capire perche' non posso risolvere il denominatore diversamente?!!?!?
Ho risolto la seguente:
$ lim_(x -> 0) (x)/(x^3-3x^2 -x) $
Riducendo ai minimi termini arrivo alla seguente:
$ lim_(x -> 0) (1)/(x^2 +3x-1) $
Ma cosa e' che mi fa capire che non devo risolvere il denominatore come una equazione di secondo grado?
Sono riuscito a capire he il risultato e' $-1$, ma non riesco a capire perche' non posso risolvere il denominatore diversamente?!!?!?
Esercizio 12
Vediamo se ho conoreso il concetto di un limite simile ad uno dei precedenti:
$ lim_(x -> 5^+) (x^2 -6x + 5)/(x^2 -10x + 25) $
Il risultato e' $+oo$, lo si capisce subito perche' il limite diventa:
$ lim_(x -> 5^+) ((x - 5)(x-1))/(x - 5)^2 $
$ lim_(x -> 5^+) (x-1)/(x - 5) $
Infatti si ha che :
$ 4/(1/1000000) $
Si ha un denominatore che tende ad avere un valore tendente ad essere sempre piu' piccolo, il che significa che si avra' una frazione che tende a crescere!
Vediamo se ho conoreso il concetto di un limite simile ad uno dei precedenti:
$ lim_(x -> 5^+) (x^2 -6x + 5)/(x^2 -10x + 25) $
Il risultato e' $+oo$, lo si capisce subito perche' il limite diventa:
$ lim_(x -> 5^+) ((x - 5)(x-1))/(x - 5)^2 $
$ lim_(x -> 5^+) (x-1)/(x - 5) $
Infatti si ha che :
$ 4/(1/1000000) $
Si ha un denominatore che tende ad avere un valore tendente ad essere sempre piu' piccolo, il che significa che si avra' una frazione che tende a crescere!
"Bad90":
Ma cosa e' che mi fa capire che non devo risolvere il denominatore come una equazione di secondo grado?
Chi te l'ha detto? Puoi usare le munizioni che vuoi. In quel caso, avvicinarti a \(0\) fa brillare quel termine \(-1\), e non dovresti fare nessun conto. Comunque, come vuoi:
\[x^2 + 3x - 1 = (x - x_1) (x - x_2) = (x + 3 + \sqrt{13}) (x - 3 - \sqrt{13}) \approx x_1 x_2 = -1\]
"giuscri":
Chi te l'ha detto? Puoi usare le munizioni che vuoi. In quel caso, avvicinarti a \(0\) fa brillare quel termine \(-1\), e non dovresti fare nessun conto. Comunque, come vuoi:
\[x^2 + 3x - 1 = (x - x_1) (x - x_2) = (x + 3 + \sqrt{13}) (x - 3 - \sqrt{13}) \approx x_1 x_2 = -1\]
Ok , adesso ho le idee piu' chiare!
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