Funzioni continue

[Bad90]

Non sto capendo perfettamente il seguente limite notevole:

$ lim_(x -> 0) (senx)/x = 1 $

[Bad90]

Non sto capendo perchè il seguente limite è uguale a $ +oo $ :

$ (n^3 +1)/(2n-1) $

Perchè???

E l'altro che non sto capendo e' il segunte:

$ lim_(x -> +oo) sqrt(n+1) -n $

Il testo mi dice che deve essere $-oo$, perche'??????
Per quest'ultimo, vale la proprieta' delle successioni $a_n ->a$ , $b_n -> -oo$ allora:

$a_n + b_n = -oo$

[burm87]

I metodi sono sempre gli stessi, per il primo raccogli i termini di grado massimo a numeratore e denominatore. Per il secondo moltiplichi tutto in modo da poter applicare il prodotto notevole.

[Bad90]

Allora, per il primo:

$ (n^3 +1)/(2n-1) $

$ (n^3(1 +1/n^3))/(2n(1-1/2n)) = (n^2(1 +1/n^3))/(2(1-1/(2n)))$

E quindi come faccio a giustificare il $ +oo $

[Bad90]

Per il secondo ci siamo, penso che sia così:

$ lim_(x -> +oo) sqrt(n+1) -n $

$ (sqrt(n+1) -n) *(sqrt(n+1) + n) = n+1-n^2 $

E allora:

$ n/n^2+1/n^2-n^2/n^2 = -1 $

Giusto

Solo che il testo mi dice $ -oo $

[burm87]

Per il primo ok, i termini fratti vanno a zero, dentro le parentesi resta 1. In totale resti con $n^2/2$ che per $n->oo$ il tutto tenderà a $+oo$.

Per il secondo non va bene, tu devi moltiplicare per un qualcosa che lasci invariata la tua funzione, ossia devi moltiplicare per uno: nel tuo caso $sqrt(n+1)-n*(sqrt(n+1)+n)/(sqrt(n+1)+n)=(n+1-n^2)/(sqrt(n+1)+n)$. Anche qui raccogli nel modo appropriato, porta fuori dalla radice e alla fine vedrai che l'$n^2$ al numeratore sarà il termine che determinerà il risultato del limite.

[Bad90]

OK

[Bad90]

Mi viene chiesto di verificare se una successione come la seguente, è convergente:

$ lim_(n -> +oo) (a_(n+1) - a_n) = 0 $

Non sto capendo il perchè il mio testo dice che la soluzione sta nel, scrivere il limite della differenza, come differenza dei limiti, cioè così:

$ lim_(n -> +oo) (a_(n+1)) - lim_(n -> +oo) (a_n) = 0 $

E cosa significa?

In un altro esercizio mi viene chiesto di verificare se la successione $ a_n $ converge ad un numero reale non nullo, allora:

$ lim_(n -> +oo) (a_(n+1)/(a_n))= 1 $

Il testo mi dice che la soluzione è nel calcolare il limite del rapporto, come rapporto dei limiti, penso proprio che sia così:

$ (lim_(n -> +oo) (a_(n+1)))/(lim_(n -> +oo)(a_n))= 1 $

Ma non sto capendo in cosa consiste e come fa a soddisfare la domanda dell'esercizio

HELP!!!!

[Bad90]

Anche se non c'entra con il thread............
Ma come si risolve il seguente logaritmo?

$ x= log(y+sqrt(1+y^2)) $

[giammaria2]

Tolgo il logaritmo: $e^x=y+sqrt(1+y^2)$
Isolo la radice: $e^x-y=sqrt(1+y^2)$
Elevo a quadrato, con la condizione che il primo membro non sia negativo: $e^(2x)-2ye^x+y^2=1+y^2$
Ricavo y: $y=(e^(2x)-1)/(2e^x)$
Divido sopra e sotto per $e^x$: $y=(e^x-e^(-x))/2=Senh(x)$