Esercizi vari sulle funzioni

[Tacito1]

Salve matematici! Sono alle prese con degli esercizi sulle funzioni... uno in particolare dice:
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?

[adaBTTLS1]

quello che tu hai fatto è trovare "la funzione inversa" e il suo dominio (o almeno i passaggi algebrici che servono a tal fine, anche perché l'inversa non è una funzione "univoca"). immagino che tu sia alle prime armi nello studio delle funzioni, e quest'esercizio non presuppone lo studio del grafico.
$y=x^2+3$ è l'equazione di una parabola, con concavità rivolta verso l'alto e vertice $(0,3)$, dunque $f(x)$ è una funzione definita ovunque, decrescente in $(-oo,0)$, crescente in $(0,+oo)$, con minimo $f(0)=3$.
che cosa ne deduci?

[Tacito1]

Sì, sono alle prime armi con le funzioni. Non so di preciso cosa sia il minimo, ma lo posso immaginare. Comunque mi sono disegnato mentalmente la parola sul piano cartesiano... e il grafico di $f(A)$, da quello che mi ha suggerito, penso che sia una parte della parabola (del ramo crescente, quello di destra) che ha ascisse comprese fra 1 e 3, quest'ultimo compreso. Ma più di questo non deduco

[adaBTTLS1]

sì, quindi basta trovare $f(1)$ ed $f(3)$ e sei a posto. non ti pare?
prova e facci sapere. ciao.

[Tacito1]

[asvg]xmin = -5; xmax = 5; ymin = -1; ymax = 12; axes(1,1, "labels");
stroke = "blue";
strokewidth = 2;
plot("y=x^2+3");
stroke = "black";
strokewidth=0.5;
line( [1, 0] , [1, 4] );
line([3,0],[3,12]);
line( [0, 4] , [1, 4] );
line( [0, 12] , [3, 12] );[/asvg]
Sì, dal grafico si vede bene, la parte di $f(A)$ è quel pezzo di parabola compreso fra le lineette nere. Ok, ho capito.
Ora la seconda parte del problema è abbastanza evidente dal grafico: è una funzione pari. Però, $f(B)=[3; 4]$ e lo vedo, OK, ma non riesco a calcolare $f(C)$

[adaBTTLS1]

per $f(C)$ è importante considerare che $0 in C$ e che quindi $f(C)=f( \[-1;0]\) uu f( \[0;1]\)$ ok?

[Tacito1]

e io come facevo a saperlo? Non c'era scritto da nessuna parte

[adaBTTLS1]

beh, il fatto che per $f(A)$ e per $f(B)$ ti è bastato trovare i valori agli estremi dipende dal fatto che $f$ è crescente in $A$ e in $B$.
in $C$ quindi trovi i due intervalli la cui unione è $C$ e tali per cui la $f$ è strettamente monotòna.
oppure, sempre sfruttando la forma della parabola, trovi $f(-1)=f(1)=4$, se non fossero stati uguali avresti preso il maggiore tra essi, e poiché $0 in C$, $f(C)$ contiene il minimo della funzione ($f(0)=3$), da cui $f(C)=[3,4]$.
se non usi la monotonia (crescenza o decrescenza), non puoi rispondere alla domanda se non trovando tutti i valori ...

[Tacito1]

ok, ho capito, grazie. devo ricordarmi questa questione. Se nell'intervallo dato la funzione non è monotòna allora mi conviene fare l'unione di intervalli in cui lo è.
Un altro esercizio dice di trovare il minimo valore del codominio di $f(x)=x^2-1, x in ZZ$. Provo a determinare il codominio, intanto, con l'aiuto del grafico:

[asvg]ymin=-3; ymax=8; axes(1,1, "labels");
plot("y=x^2-1");[/asvg]

Il codominio, da quello che vedo, è $[-1; +oo[$. quindi il minimo valore del codominio è -1 e il libro mi dice che è giusto. ma è giusto usare il grafico o è una scorciatoia che non si può usare?

[adaBTTLS1]

se ti riferisci ai metodi che si usano in generale, nello studio di funzioni in analisi (più precisamente dopo lo studio delle derivate) si arriva a trovare il codominio attraverso lo studio del grafico, dunque direi che è perfettamente lecito.
certo, i casi che hai esaminato qui sono del tipo $f(x) = x^2 + k$, con $k$ costante e $x^2>=0 AA x in RR$, dunque il minimo poteva trovarsi anche risolvendo $x^2=0$, ma non è sempre così.

[Tacito1]

OK. ora la situazione si fa un pelino più complessa.
Mi danno le funzioni da $QQ$ in $QQ$ definite da:
$f(x)={(x+2 if x>0),(3x+1 if x<=0):}$
e $g(x)={(x+1 if x>3),(3x-3 if x<=3):}$.
Scusate per quel puntino nero sopra il $<0$, ma non so da dove sia saltato O.O, forse è un puntino disperso, boh.
Date queste funzioni devo determinare quali elementi di Q hanno la stessa immagine in f e in g. Ho provato a eguagliare le equazioni, ma mi escono due equazioni impossibili. Il libro dà come soluzione $x=5/2$, ma perché?

[adaBTTLS1]

i punti di suddivisione che vanno considerati sono, in ordine crescente, $-oo<0<3<+oo$.
le equazioni sono tre, perché tre sono gli intervalli. in $(0,3]$ devi scrivere l'equazione $x+2=3x-3$

[Tacito1]

"adaBTTLS":i punti di suddivisione che vanno considerati sono, in ordine crescente, $-oo<0<3<+oo$.

capito

"adaBTTLS":le equazioni sono tre, perché tre sono gli intervalli. in $(0,3]$ devi scrivere l'equazione $x+2=3x-3$

no, un attimo, mi sono perso , da dove esce quell'equazione?

[adaBTTLS1]

e da dove escono le altre due? cioè, quali sono le due scritte da te e perché?

[Tacito1]

$x+2=1+x$ e $1+3x=3x-3$, ma non hanno senso . aspetti forse ho capito, gli intervalli sono tre quindi devo scegliere quello positivo. no, non ho capito.

[adaBTTLS1]

la prima che hai scritto vale se $x>3$, la seconda vale se $x<=0$, quella scritta da me vale se $0

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[Tacito1]

...e io dovrei prendere la prima e quella che ha scritto lei?

[adaBTTLS1]

se $x<=0$ tu hai preso $f(x)=3x+1, g(x)=3x-3$ appunto perché entrambe valgono se $x<=0$, non perché entrambe stanno scritte in seconda riga,
e così pure se $x>3$ tu hai preso $f(x)=x+2, g(x)=x+1$ analogamente ....
dunque se $00$ e $g(x)=3x-3$ appunto perché $x<=3$.
è più chiaro?

[Tacito1]

Aaahn, ho afferrato il concetto!!! Io eguagliavo quelle perché erano nella stessa riga, ma sono proprio uno stupido!
Dai primi due intervalli non posso ricavare nulla perché vengono fuori equazioni impossibili..quindi devo andare a operare nel terzo intervallo e quindi $x+2=3x-3 rArr 2x=5 rArr x=5/2$. Giusto?

Ora che (forse) ho capito questo genere di esercizio, sono finiti nel mio libro -.-, non ne mettono più!

[adaBTTLS1]

ok. che libro è?

[Tacito1]

Moduli di lineamenti di matematica per il triennio dei licei scientifici, Dodero Baroncini Manfredi, vol. A.. (ghisetti e corvi editore) Conosce?