Esercizi vari sulle funzioni
Salve matematici! Sono alle prese con degli esercizi sulle funzioni... uno in particolare dice:
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?
Risposte
Oddio e come hai fatto a trovare il vertice della parabola?
stai svolgendo questo tipo di esercizi senza conoscere le formule della parabola? è strano, però si può rimediare. fammi sapere.
Eh sì, non ho ancora cominciato il volume B (geometria analitica) e della parabola so poco o niente. Gli autori hanno deciso di proporre le funzioni prima della geometria analitica 
spostato sotto
l'idea è questa: prendi l'equazione della parabola, che nel tuo caso è $y=-2x^2+x+1$ e, poiché la curva ha un asse di simmetria parallelo all'asse y, la metti a sistema con una qualsiasi retta parallela all'asse x ($y=k$, con k costante qualsiasi; di solito si prende $k=0$ oppure $k=1$, nel tuo caso, cioè il valore del termine noto). trovate le due intersezioni, fai la media algebrica e sei sicuro di aver trovato l'ascissa $x_0$ del vertice. per trovare l'ordinata basta trovare $g(x_0)$, ovvero completare la soluzione del sistema. spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
Ok, ho provato a trovare le coordinate del vertice e mi è uscito appunto $V(1/4, 9/8)$. E quindi il codominio è quello che già hai scritto. Perfetto, grazie!!
Intanto sono andato all'ultima funzione, dove non comparivano parabole: $h(x)=|x|+2|x-2|-4={(-x+4-2x-4 hArr x<0),(x+4-2x-4 hArr 0<=x<2),(x+2x-4-4 hArr x>=2):}={(-3x hArr x<0),(-x hArr 0<=x<2),(3x-8 hArr x>=2):}$.
Disegno il grafico per tutti gli intervalli (la parte azzurra):
[asvg]axes(); strokewidth="0.3"; plot("-x"); plot("-3x"); plot("3x-8"); stroke="dodgerblue"; strokewidth="1.7"; xmin=-5; xmax=0; plot("-3x"); xmin=0; xmax=2; plot("-x"); xmin=2; xmax=5; plot("3x-8"); text([-5,5],"y= - x",right);text([1.7,-5],"y= - 3 x",right);text([1,-5],"y=3 x - 8",belowleft); text([4,5],"y=h(x)",left);[/asvg].
E affermo che il codominio è $y>=-2$. Ok?
Intanto sono andato all'ultima funzione, dove non comparivano parabole: $h(x)=|x|+2|x-2|-4={(-x+4-2x-4 hArr x<0),(x+4-2x-4 hArr 0<=x<2),(x+2x-4-4 hArr x>=2):}={(-3x hArr x<0),(-x hArr 0<=x<2),(3x-8 hArr x>=2):}$.
Disegno il grafico per tutti gli intervalli (la parte azzurra):
[asvg]axes(); strokewidth="0.3"; plot("-x"); plot("-3x"); plot("3x-8"); stroke="dodgerblue"; strokewidth="1.7"; xmin=-5; xmax=0; plot("-3x"); xmin=0; xmax=2; plot("-x"); xmin=2; xmax=5; plot("3x-8"); text([-5,5],"y= - x",right);text([1.7,-5],"y= - 3 x",right);text([1,-5],"y=3 x - 8",belowleft); text([4,5],"y=h(x)",left);[/asvg].
E affermo che il codominio è $y>=-2$. Ok?
prego. ok per entrambe.
Bene, penso di aver capito bene come calcolare il codominio, basta fare il grafico in fondo!
Ora devo ripassare come si trovano i valori comuni, mi ricordo che per capire come trovarli ci ho messo un po'.
Ora devo ripassare come si trovano i valori comuni, mi ricordo che per capire come trovarli ci ho messo un po'.
Ok, andiamo ora al quarto esercizio: quando $f(x)=g(x)$? Ci sono 5 intervalli e 5 equazioni:
1) $x>=2 rarr 2x-5=2x^2-x-1$;
2)$1<=x<2 rarr 2x^2-x-1=-1$;
3) $0
Riporto le leggi analitiche: $f(x)={(2x-5 hArr x>=2),(-1 hArrx<2):}$ e $g(x)={(2x^2-x-1 hArr x<=-1 uuu x>=1),(1-x hArr -1
1) $x>=2 rarr 2x-5=2x^2-x-1$;
2)$1<=x<2 rarr 2x^2-x-1=-1$;
3) $0
Riporto le leggi analitiche: $f(x)={(2x-5 hArr x>=2),(-1 hArrx<2):}$ e $g(x)={(2x^2-x-1 hArr x<=-1 uuu x>=1),(1-x hArr -1
sì, ok.
non ti meravigliare se no ti dovessero piacere i risultati.
non ti meravigliare se no ti dovessero piacere i risultati.
Sì, non ci sono soluzioni accettabili. Ma questo fatto per cui $f(x)$ e $g(x)$ non hanno valori con immagini in comune, si poteva dedurre anche dal grafico? Provo a postarlo, così vedo 
Quello azzurro è il grafico di $f(x)$ e quello arancio di $g(x)$. [asvg]axes(1,1, "labels"); strokewidth="0.3"; plot("2x-5"); plot("-1"); plot("1-x"); plot("2x^2-x-1"); plot("-2x^2+x+1"); stroke="dodgerblue"; strokewidth="2.1"; xmin=2; xmax=5; plot("2x-5"); xmin=-5; xmax=2; plot("-1"); stroke="coral"; xmin=-1; xmax=0; plot("1-x"); xmin=-5; xmax=-1; plot("2x^2-x-1"); xmin=0;xmax=1;plot("-2x^2+x+1");xmin=1;xmax=5;plot("2x^2-x-1");[/asvg]. Che belli che sono questi grafici!!!
In pratica se non ci sono intersezioni fra i grafici, le funzioni non hanno mai valori comuni con le stesse immagini, giusto?
In pratica se non ci sono intersezioni fra i grafici, le funzioni non hanno mai valori comuni con le stesse immagini, giusto?
Confronto ora $f(x)$(verde) e $h(x)$(arancione).
[asvg]xmin=-3; xmax=6; ymin=-3; ymax=6; axes(); strokewidth="0.3"; plot("-x"); plot("-3x"); plot("3x-8"); plot("2x-5"); plot("-1"); stroke="darkcyan"; strokewidth="2.1"; xmin=2; xmax=7; plot("2x-5"); xmin=-5; xmax=2; plot("-1");stroke="coral"; strokewidth="1.7"; xmin=-5; xmax=0; plot("-3x"); xmin=0; xmax=2; plot("-x"); xmin=2; xmax=5; plot("3x-8");[/asvg].
Ci sono tre intervalli:
$x<0 : x=1/3$ NON ACCETTABILE.
$ 0<=x<2 : x=1$ accettabilissimo e si vede chiaramente anche dal grafico
$x>=2 : x=3$, stessa storia.
Ora procedo con l'ultimo confronto
[asvg]xmin=-3; xmax=6; ymin=-3; ymax=6; axes(); strokewidth="0.3"; plot("-x"); plot("-3x"); plot("3x-8"); plot("2x-5"); plot("-1"); stroke="darkcyan"; strokewidth="2.1"; xmin=2; xmax=7; plot("2x-5"); xmin=-5; xmax=2; plot("-1");stroke="coral"; strokewidth="1.7"; xmin=-5; xmax=0; plot("-3x"); xmin=0; xmax=2; plot("-x"); xmin=2; xmax=5; plot("3x-8");[/asvg].
Ci sono tre intervalli:
$x<0 : x=1/3$ NON ACCETTABILE.
$ 0<=x<2 : x=1$ accettabilissimo e si vede chiaramente anche dal grafico
$x>=2 : x=3$, stessa storia.
Ora procedo con l'ultimo confronto
$g(x)$ (azzurra) e $h(x)$ (arancione).
Grafico:
[asvg]ymin=-3; ymax=7; axes(); strokewidth="0.2"; plot("-x"); plot("-3x"); plot("3x-8"); plot("1-x"); plot("2x^2-x-1"); plot("-2x^2+x+1"); stroke="dodgerblue"; strokewidth="2.1"; xmin=-1; xmax=0; plot("1-x"); xmin=0; xmax=1; plot("-2x^2+x+1");xmin=-6; xmax=-1; plot("2x^2-x-1");xmin=1; xmax=6; plot("2x^2-x-1");stroke="coral"; strokewidth="2.1"; xmin=-5; xmax=0; plot("-3x"); xmin=0; xmax=2; plot("-x"); xmin=2; xmax=5; plot("3x-8");[/asvg].
Bene, ho fatto i calcoli e ho confrontato col grafico. Tutto giusto, almeno spero
Grafico:
[asvg]ymin=-3; ymax=7; axes(); strokewidth="0.2"; plot("-x"); plot("-3x"); plot("3x-8"); plot("1-x"); plot("2x^2-x-1"); plot("-2x^2+x+1"); stroke="dodgerblue"; strokewidth="2.1"; xmin=-1; xmax=0; plot("1-x"); xmin=0; xmax=1; plot("-2x^2+x+1");xmin=-6; xmax=-1; plot("2x^2-x-1");xmin=1; xmax=6; plot("2x^2-x-1");stroke="coral"; strokewidth="2.1"; xmin=-5; xmax=0; plot("-3x"); xmin=0; xmax=2; plot("-x"); xmin=2; xmax=5; plot("3x-8");[/asvg].
Bene, ho fatto i calcoli e ho confrontato col grafico. Tutto giusto, almeno spero
Cambio tipologia di esercizio: Data $f(x):2/3x-4$ con $x in RR$, verificare che è una corrispondenza biunivoca da $RR$ a $RR$, calcolarne l'inversa e rappresentarle nel piano cartesiano.
L'inversa l'ho calcolata e mi è venuta $f^(-1)=3/2x+6$, giusto?
Grafico:[asvg]axes(); plot("2/3x-4"); plot("3/2x+6"); text([-1, 5],"f(x)",left);text([4, -1],"f(x) inversa",left);[/asvg]
Allora, come faccio a verificare che è biunivoca? Ho fornito alcuni esempi numerici e ho affermato che è sia iniettiva che suriettiva, perciò è biettiva. Ma cosa si intende per "verificare"?
L'inversa l'ho calcolata e mi è venuta $f^(-1)=3/2x+6$, giusto?
Grafico:[asvg]axes(); plot("2/3x-4"); plot("3/2x+6"); text([-1, 5],"f(x)",left);text([4, -1],"f(x) inversa",left);[/asvg]
Allora, come faccio a verificare che è biunivoca? Ho fornito alcuni esempi numerici e ho affermato che è sia iniettiva che suriettiva, perciò è biettiva. Ma cosa si intende per "verificare"?
bisogna vedere a che livello le stai studiando, ma credo che la cosa principale sia trovare l'inversa e verificare che anch'essa è una funzione. sei in grado di trovare l'inversa?
EDIT: vedo che hai modificato il messaggio, e nel frattempo l'hai trovata.
diversamente da quanto scrivevi prima, non è sufficiente verificarlo per un sottoinsieme numerico, ma deve esserci un modo per dire che, dato un qualsiasi x reale, esiste uno ed un solo y reale che gli corrisponde, e viceversa (è questo che ti permette di stabilirne la biunivocità, e la cosa è strettamente legata alla funzione inversa, anche se, graficamente, è possibile dedurre la biunivocità anche nei casi in cui non si riesce a trovare l'espressione analitica della funzione inversa).
EDIT: vedo che hai modificato il messaggio, e nel frattempo l'hai trovata.
diversamente da quanto scrivevi prima, non è sufficiente verificarlo per un sottoinsieme numerico, ma deve esserci un modo per dire che, dato un qualsiasi x reale, esiste uno ed un solo y reale che gli corrisponde, e viceversa (è questo che ti permette di stabilirne la biunivocità, e la cosa è strettamente legata alla funzione inversa, anche se, graficamente, è possibile dedurre la biunivocità anche nei casi in cui non si riesce a trovare l'espressione analitica della funzione inversa).
"adaBTTLS":
bisogna vedere a che livello le stai studiando, ma credo che la cosa principale sia trovare l'inversa e verificare che anch'essa è una funzione. sei in grado di trovare l'inversa?
Sì, è $f^(-1)=3/2x+6$ o sbaglio? Comunque, per farti capire, ho appena finito il secondo anno del liceo scientifico quindi non le sto studiando a livelli alti insomma...
sei troppo veloce per me ... ho modificato il precedente intervento.
"adaBTTLS":
bisogna vedere a che livello le stai studiando, ma credo che la cosa principale sia trovare l'inversa e verificare che anch'essa è una funzione. sei in grado di trovare l'inversa?
EDIT: vedo che hai modificato il messaggio, e nel frattempo l'hai trovata.
diversamente da quanto scrivevi prima, non è sufficiente verificarlo per un sottoinsieme numerico, ma deve esserci un modo per dire che, dato un qualsiasi x reale, esiste uno ed un solo y reale che gli corrisponde, e viceversa (è questo che ti permette di stabilirne la biunivocità, e la cosa è strettamente legata alla funzione inversa,
, e questo modo quale sarebbe? "adaBTTLS":
anche se, graficamente, è possibile dedurre la biunivocità anche nei casi in cui non si riesce a trovare l'espressione analitica della funzione inversa).
Forte, e quali sarebbero questi casi particolari?
P.S.: Sì, hai ragione, cercherò di scrivere i post aspettando un po' di più e non lasciandomi prendere troppo dalla foga della matematica
$f(x)=2/3x-4$ è ben definita per qualsiasi valore reale che puoi attribuire alla x, infatti è un polinomio. quando studierai altre cose di analisi lo rivedrai, però penso che per ogni "operazione" che hai incontrato (algebrica oppure no) ti sei chiesto quando è ben definita, ovvero hai trovato il dominio o campo di esistenza: per un polinomio in $RR$, il dominio è tutto l'insieme $RR$, e questo basta a dire $f(x)$ è una funzione (univoca) $AA x in RR$, cioè che ad ogni x corrisponde uno ed un solo y (e la prova diretta è quella che probabilmente hai fatto tu per alcuni elementi: poiché sostituendo un qualsiasi valore di x all'espressione $2/3x-4$ si ottiene un ben determinato numero reale, questo è l'unico y che facciamo corrispondere al "nostro" x). naturalmente a questo punto è opportuno anche considerare che anche il codominio è $RR$.
poiché sei riuscito a trovare l'equazione $y=3/2x+6$ che ci dà anche il grafico dell'inversa, per questa nuova relazione sei ugualmente in grado di dire che è univoca e che è ben definita $AA x in RR$. cioè hai provato che anche l'inversa è una funzione. ma una funzione, se è invertibile, vuol dire che è biunivoca.
cioè $f$ e $f^(-1)$ sono entrambe funzioni biiettive. naturalmente anche in questo caso puoi fare qualche verifica "numerica", e verificare che anche il codominio di $f^(-1)$ è $RR$.
esempi "a freddo" di funzioni invertibili di cui è impossibile trovare l'espressione analitica dell'inversa, al momento non mi vengono in mente (almeno di un tipo che si possa proporre ad uno che sta iniziando a studiare le funzioni: ho però l'impressione che qualche tempo fa ne abbiamo parlato, almeno a qualche topic a cui ho partecipato anch'io, ma non so se saprei risuscitare la discussione; magari se trovo qualcosa ti faccio sapere).
comunque, con il grafico è semplice: dire che ad ogni x corrisponde uno e un solo y significa che ogni retta verticale ha una ed una sola intersezione con il grafico: e questo deve avvenire sempre, altrimenti la relazione non è una funzione.
dire che vale anche il viceversa, cioè che ad ogni y corrisponde uno ed un solo x, significa che ogni retta orizzontale ha una ed una sola intersezione con il grafico della funzione: questo succede solo se l'inversa è una funzione, cioè se la funzione è biunivoca.
per funzioni "continue", questo succede se e solo se le funzioni sono strettamente monotòne.
poiché sei riuscito a trovare l'equazione $y=3/2x+6$ che ci dà anche il grafico dell'inversa, per questa nuova relazione sei ugualmente in grado di dire che è univoca e che è ben definita $AA x in RR$. cioè hai provato che anche l'inversa è una funzione. ma una funzione, se è invertibile, vuol dire che è biunivoca.
cioè $f$ e $f^(-1)$ sono entrambe funzioni biiettive. naturalmente anche in questo caso puoi fare qualche verifica "numerica", e verificare che anche il codominio di $f^(-1)$ è $RR$.
esempi "a freddo" di funzioni invertibili di cui è impossibile trovare l'espressione analitica dell'inversa, al momento non mi vengono in mente (almeno di un tipo che si possa proporre ad uno che sta iniziando a studiare le funzioni: ho però l'impressione che qualche tempo fa ne abbiamo parlato, almeno a qualche topic a cui ho partecipato anch'io, ma non so se saprei risuscitare la discussione; magari se trovo qualcosa ti faccio sapere).
comunque, con il grafico è semplice: dire che ad ogni x corrisponde uno e un solo y significa che ogni retta verticale ha una ed una sola intersezione con il grafico: e questo deve avvenire sempre, altrimenti la relazione non è una funzione.
dire che vale anche il viceversa, cioè che ad ogni y corrisponde uno ed un solo x, significa che ogni retta orizzontale ha una ed una sola intersezione con il grafico della funzione: questo succede solo se l'inversa è una funzione, cioè se la funzione è biunivoca.
per funzioni "continue", questo succede se e solo se le funzioni sono strettamente monotòne.
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