Esercizi vari sulle funzioni

[Tacito1]

Salve matematici! Sono alle prese con degli esercizi sulle funzioni... uno in particolare dice:
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?

[adaBTTLS1]

ok per quelle di primo grado (le prime tre).
sulla 4) certo che è corretto quello che hai detto, ma non hai risposto alla domanda: è invertibile? e nell'altro caso?

[Tacito1]

No, non è invertibile in quanto non è né iniettiva né suriettiva. non è niente insomma.

"adaBTTLS":e nell'altro caso?

Mi sfugge quale sia l'altro caso

[adaBTTLS1]

stessa equazione (espressione analitica), con dominio e codominio variati.

[Tacito1]

allora sì che sarebbe biettiva e quindi invertibile. Ma l'inversa non riuscirei a trovarla !

[adaBTTLS1]

sei certo che è così difficile?
le equazioni di secondo grado le sai risolvere?
per di più, non è necessario applicare la formula, perché hai $y=(x-1)^2$ ...

[Tacito1]

... mi esce $f^(-1)=+-sqrt(x)+1$, è giusta?

[adaBTTLS1]

sì.
quella con il "+" è quella con dominio e codominio dato, l'altra corrisponde all'altro ramo della parabola.

[Tacito1]

Capito... almeno spero!
Un altro esercizio dice di dimostrare la biunivocità di $f(x)=1/(x^2+1)$, $f: RR_0^+ rarr A$, con $A={x in RR |0 < x <=1}$.

[asvg]xmin=-0.5; xmax=8; ymin=-1; ymax=8; axes(1,1, "labels");xmin=0; xmax=8; plot("1/(x^2+1)"); stroke="red"; ymax=8; plot("sqrt((1-x)/x)");[/asvg].

Allora, la funzione è biettiva e quindi anche invertibile in quanto è sia iniettiva che suriettiva, come si può facilmente dedurre dal grafico.
La funzione inversa è quella rossa, di equazione $y=sqrt((1-x)/x)$. Come deducibile dal grafico, è anch'essa invertibile e biunivoca, essendo contemporaneamente iniettiva e suriettiva. E questa è un'ulteriore conferma del fatto che $f(x)$ sia biunivoca, visto che anche la sua inversa lo è.

E' giusto l'esercizio?

[adaBTTLS1]

sì, ok.

[Tacito1]

Ho le funzioni:
$f(x)=x+2$
$g(x)=2x-3$
$h(x)=3x$.
Chiedo: $(f^^g)^^h=6x-3$ oppure $(f^^g)^^h=12x-7$?

[adaBTTLS1]

non capisco da dove viene il $12x-7$.
se parli della composizione, mi sconvolgono un po' quelle parentesi, ma $[f circ (g circ h)](x)=f(6x-3)=6x-1$

[Tacito1]

Sì è la composizione, ma sul mio libro sono indicate così come le ho scritte.
A me è venuto $f circ (g circ h)=6x-1$ .
$x vec (h) 3x vec (g) 6x-3 vec (f) 6x-1$

[adaBTTLS1]

sì, viene $6x-1$

la composizione mette le funzioni in ordine inverso, si capisce meglio senza il simbolo di composizione, scrivendo

$f(g(h(x)))$
trovi $y=h(x)=3x$
trovi $z=g(y)=g(h(x))=2y-3=2(3x)-3=6x-3$
trovi $w=f(z)=f(g(y))=f(g(h(x)))=z+2=6x-3+2=6x-1$

[Tacito1]

Allora il mio libro ha sbagliato?
Un esercizio mi dà quelle tre funzioni e mi dice di verificare che $(f circ g)circ h = f circ (g circ h)$, ma a me vengono due risultati diversi!

[adaBTTLS1]

se è lo stesso libro dell'altra volta, dammi un po' qualche altra indicazione per ritrovare l'esercizio...

[Tacito1]

Sì è sempre il modulo A del Dodero Baroncini Manfredi per il triennio del ls. E' l'esercizio 6 a pagina 111, sotto il titoletto "Funzioni composte".

[adaBTTLS1]

no, non è sbagliato. mi era sfuggita quale fosse l'uguaglianza.
quello che noi abbiamo trovato è $fcirc(gcirch)=6x-1$
quello che non è la stessa cosa è invertire l'ordine delle funzioni, non le parentesi.

se vuoi trovare $(fcircg)circh$ trovi nello stesso modo $y=h(x)=3x$
poi a parte trovi come opererebbe $f(g(x))=f(2x-3)=(2x-3)+2=2x-1$ e quindi $f(g(y))=2y-1=2(3x)-1=6x-1$

in pratica la composizione non è commutativa, ma è associativa.

[Tacito1]

Ok, grazie, penso di aver afferrato il concetto.
Ora un altro esercizio mi dice di dimostrare che $f(x)=x^3+1$, è sempre crescente.
Io ho ragionato in questo modo: una funzione si dice crescente se, presi due valori appartenenti al dominio $x_1$ e $x_2$ tali che $x_1 $x_1

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[adaBTTLS1]

sì, il ragionamento è corretto.
non so se l'insegnante si accontenta di una banale implicazione: potresti dimostrare con qualche passaggio algebrico in più che $x_1^3

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[Tacito1]

Perfetto, grazie!
Se magari hai sotto mano il grafico disegnato per gli esercizi da 17 a 21 di pag. 116 del solito libro, posso farti una piccola domanda?