Esercizi vari sulle funzioni
Salve matematici! Sono alle prese con degli esercizi sulle funzioni... uno in particolare dice:
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?
Risposte
OK, ho capito, sei veramente disponibilissima!!! I ragazzi a cui insegni sono veramente molto fortunati 
grazie!
mi ci voleva una "ventata di ottimismo"!
... anche se questo "servizio" è paragonabile più alle lezioni individuali che scolastiche ...
mi ci voleva una "ventata di ottimismo"!
... anche se questo "servizio" è paragonabile più alle lezioni individuali che scolastiche ...
"adaBTTLS":
grazie!
mi ci voleva una "ventata di ottimismo"!
... anche se questo "servizio" è paragonabile più alle lezioni individuali che scolastiche ...
Eh sì, in questo forum si capisce quanto una persona ami la matematica, soprattutto se sono esperti o professori! Non venite pagati eppure ritagliate del tempo prezioso per aiutare noi studenti. Siete stimolati dalla voglia e dalla passione, non da uno stipendio (come spesso accade per alcuni professori...), e questo è bellissimo!
Ho una funzione del genere: $h(x)=3x+1$ e devo dire se è iniettiva, suriettiva o biettiva. Allora, che è iniettiva lo deduco subito ma come faccio a dire se è suriettiva o meno?
Poi, c'è un modo per dimostrare che una funzione è iniettiva o suriettiva?
Poi, c'è un modo per dimostrare che una funzione è iniettiva o suriettiva?
ci risiamo con le solite questioni, e dipende da quali argomenti possiamo usare.
trova l'inversa, e capirai.
trova l'inversa, e capirai.
È $(x-1)/3$?
sì
No, ada, non capisco. Non capisco dove vuoi arrivare 
.
.
qual è il dominio della funzione inversa?
$RR$? aaaaaaaaaaaahn ecco!!! È suriettiva perché tutte le immagini sono reali?
casomai il contrario: perché ogni numero reale è immagine ....
Sìsì me ne ero accorto subito dopo .
Caspita mi sento in soggezione, sicura che non mi metti il voto?
scherzo ovviamente!
.Caspita mi sento in soggezione, sicura che non mi metti il voto?
scherzo ovviamente!
vediamo un po', continuando nel clima scherzoso:
disegna una generica retta obliqua e scrivine l'equazione ... questo l'hai già fatto, puoi anche prenderne una qualsiasi delle precedenti.
disegna una retta orizzontale e scrivine l'equazione. poi prova a trovarne l'inversa, se c'è.
disegna una retta verticale e scrivine l'equazione: che cosa osservi?
disegna una parabola (più o meno come quelle che hai incontrato, con asse di simmetria parallelo a y: scrivi prima l'equazione del tipo $y=ax^2+bx+c$, con $a,b,c in RR, a != 0$, e poi prova a disegnarla, così vedi anche se qualche suggerimento è andato a buon fine. è il grafico di una funzione? è invertibile?
disegna una generica retta obliqua e scrivine l'equazione ... questo l'hai già fatto, puoi anche prenderne una qualsiasi delle precedenti.
disegna una retta orizzontale e scrivine l'equazione. poi prova a trovarne l'inversa, se c'è.
disegna una retta verticale e scrivine l'equazione: che cosa osservi?
disegna una parabola (più o meno come quelle che hai incontrato, con asse di simmetria parallelo a y: scrivi prima l'equazione del tipo $y=ax^2+bx+c$, con $a,b,c in RR, a != 0$, e poi prova a disegnarla, così vedi anche se qualche suggerimento è andato a buon fine. è il grafico di una funzione? è invertibile?
Mi piacciono tantissimo queste interrogazioni online Abruzzo-Veneto, sono estremamente utili 
1) $y=4x+2$
[asvg]axes(); plot("4x+2");[/asvg].
2) Per essere orizzontale, la retta, anzi i punti della retta, devono avere la stessa ordinata $y$, quindi mi invento la funzione descritta dall'equazione lineare $y=sqrt(2)$
[asvg]axes(); plot("sqrt(2)");[/asvg]
L'inversa è $y^2$.
3) $x=3$, osservo che l'equazione di una retta orizzontale è $y=k$ con $k in RR$ e l'equazione di una verticale è $x=k$ con $k in RR$? Cosa avrei dovuto notare
? Aaaah, sì le inverse. No, non ci sono inverse perché queste funzioni non sono biiettive (ad esempio, $y=sqrt(2)$, non è suriettiva per niente).
[asvg]axes(); plot("x=3");[/asvg] Ho detto a questo grafico di disegnare $x=3$, ma mi disegna comunque una retta parallela alle ascisse!!
4) $y=x^2-2x+1$ da $RR$ in $RR$.
[asvg]axes(); plot("y=x^2-2x+1");[/asvg]
Sì, è una funzione in quanto ogni vairabile indipendente rappresentate dalle ascisse hanno una e una sola immagine rappresentata dalle ordinate. Per essere anche invertibile, dev'essere biettiva. Allora... calma. No, non è biettiva perché non è suriettiva (il codominio è "solo" $y>=0$ e non coincide di certo con $RR$!) e non neanche iniettiva (come deducibile dal grafico disegnato... alla lavagna!! ).
1) $y=4x+2$
[asvg]axes(); plot("4x+2");[/asvg].
2) Per essere orizzontale, la retta, anzi i punti della retta, devono avere la stessa ordinata $y$, quindi mi invento la funzione descritta dall'equazione lineare $y=sqrt(2)$
[asvg]axes(); plot("sqrt(2)");[/asvg]
L'inversa è $y^2$.
3) $x=3$, osservo che l'equazione di una retta orizzontale è $y=k$ con $k in RR$ e l'equazione di una verticale è $x=k$ con $k in RR$? Cosa avrei dovuto notare
? Aaaah, sì le inverse. No, non ci sono inverse perché queste funzioni non sono biiettive (ad esempio, $y=sqrt(2)$, non è suriettiva per niente).[asvg]axes(); plot("x=3");[/asvg] Ho detto a questo grafico di disegnare $x=3$, ma mi disegna comunque una retta parallela alle ascisse!!
4) $y=x^2-2x+1$ da $RR$ in $RR$.
[asvg]axes(); plot("y=x^2-2x+1");[/asvg]
Sì, è una funzione in quanto ogni vairabile indipendente rappresentate dalle ascisse hanno una e una sola immagine rappresentata dalle ordinate. Per essere anche invertibile, dev'essere biettiva. Allora... calma. No, non è biettiva perché non è suriettiva (il codominio è "solo" $y>=0$ e non coincide di certo con $RR$!) e non neanche iniettiva (come deducibile dal grafico disegnato... alla lavagna!!
).
che significa "l'inversa è $y^2$ " ? su questo caso dovresti riflettere di più.
altra cosa: disegnala tu, a mano, la retta $x=3$ (anche senza postarla qui): osservazioni?
domanda: saresti in grado, da solo, di disegnare la parabola (abbozzandola per punti e trovando il vertice)?
se ti limitassi a considerare, per la funzione $f(x)=x^2-2x+1$, come dominio $[1,+oo)$ e come codominio $[0,+oo)$ che cosa cambierebbe?
altra cosa: disegnala tu, a mano, la retta $x=3$ (anche senza postarla qui): osservazioni?
domanda: saresti in grado, da solo, di disegnare la parabola (abbozzandola per punti e trovando il vertice)?
se ti limitassi a considerare, per la funzione $f(x)=x^2-2x+1$, come dominio $[1,+oo)$ e come codominio $[0,+oo)$ che cosa cambierebbe?
"adaBTTLS":
che significa "l'inversa è $y^2$ " ? su questo caso dovresti riflettere di più.
altra cosa: disegnala tu, a mano, la retta $x=3$ (anche senza postarla qui): osservazioni?
domanda: saresti in grado, da solo, di disegnare la parabola (abbozzandola per punti e trovando il vertice)?
se ti limitassi a considerare, per la funzione $f(x)=x^2-2x+1$, come dominio $[1,+oo)$ e come codominio $[0,+oo)$ che cosa cambierebbe?
Osservazioni...
oltre alle osservazioni che ho fatto... mi viene da dire solo che è parallela alle ordinate e ora che ci penso... mmm... sembra non essere una funzione! 
Sì ada la saprei disegnare, ma non saprei trovare il vertice... sarebbe giusto porre $x^2-2x+1=0$, e risolvere quest'equazinoe?
Cambierebbe che avremmo solo il ramo di parabola crescente con ascisse positive maggiori o uguali a 1, vero?
le osservazioni e le riflessioni riguardano l'essere o meno funzione e, in caso di risposta affermativa, l'essere o meno invertibile.
dunque per ora non ti rispondo, perché spero di aver chiarito la domanda ed è opportuno che tu abbia una seconda opportunità di risposta.
dunque per ora non ti rispondo, perché spero di aver chiarito la domanda ed è opportuno che tu abbia una seconda opportunità di risposta.
Per la definizione di funzione io direi di no. Il dominio è $D={3}$ e a questa variabile indipendente deve corrispondere UNA E UNA SOLA immagine del codominio che, in questo caso, risulta essere $RR$. Quindi non è una funzione. Giusto?
sì, questa è l'unica risposta che avevi già dato in tal senso, ed è corretta. la stessa domanda, con in più l'invertibilità, vale per le altre.
1) $y=4x+2$. E' una funzione ed è anche invertibile in quanto biiettiva. L'inversa è $f^(-1)=(x-2)/4$.
2) $y=sqrt(2)$. E' una funzione ma contrariamente a quanto ho detto prima, non è invertibile: non è biettiva in quanto non è né suriettiva (il codominio ${sqrt(2)}$ non coincide con $RR$) e né iniettiva (tutte le variabili indipendenti hanno la stessa immagine).
3) $x=3$, già vista prima e confermo quanto detto.
4) $y=x^2-2x+1$, già vista prima e confermo quanto detto.
Ora è corretto?
2) $y=sqrt(2)$. E' una funzione ma contrariamente a quanto ho detto prima, non è invertibile: non è biettiva in quanto non è né suriettiva (il codominio ${sqrt(2)}$ non coincide con $RR$) e né iniettiva (tutte le variabili indipendenti hanno la stessa immagine).
3) $x=3$, già vista prima e confermo quanto detto.
4) $y=x^2-2x+1$, già vista prima e confermo quanto detto.
Ora è corretto?
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