Esercizi vari sulle funzioni
Salve matematici! Sono alle prese con degli esercizi sulle funzioni... uno in particolare dice:
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?
Risposte
è un'altra edizione, e le pagine non corrispondono.
se mi confermi l'argomento, chiedi pure, io intanto cerco.
forse l'ho trovato: è una specie di "gaussiana traslata"?
se mi confermi l'argomento, chiedi pure, io intanto cerco.
forse l'ho trovato: è una specie di "gaussiana traslata"?
Sì è tipo una bolla, penso sia una gaussiana, dalle immagini che vedo in Google. Sono segnalate l'ascissa 1 e l'ordinata 2. Non so quale sia l'equazione di questa curva, quindi non posso fare il grafico nel post.
Chiedono di dire se akcune affermazioni sono vere o false.
Una dice: ha per codominio l'intervallo $[0; 2]$. Io qui non so rispondere con certezza, ma direi che è vero. Ma ho pensato: e se la curva tipo "cadesse" a un'ascissa che non è segnata nel grafico? O se diventasse crescente all'ascissa 45870329? Come faccio a sapere dove si ferma il grafico? Non sapendolo, non posso determinare il codominio.
Il disegno sul mio libro è molto simile a quella di questo link: http://twentydur.bytez.org/blog/2006/10 ... felicidad/
Chiedono di dire se akcune affermazioni sono vere o false.
Una dice: ha per codominio l'intervallo $[0; 2]$. Io qui non so rispondere con certezza, ma direi che è vero. Ma ho pensato: e se la curva tipo "cadesse" a un'ascissa che non è segnata nel grafico? O se diventasse crescente all'ascissa 45870329? Come faccio a sapere dove si ferma il grafico? Non sapendolo, non posso determinare il codominio.
Il disegno sul mio libro è molto simile a quella di questo link: http://twentydur.bytez.org/blog/2006/10 ... felicidad/
il grafico sul mio libro è un po' storto, ma penso che si possa considerare crescente fino a $x=1$ ove assume il massimo $2$ e poi decrescente, con "asintoto" l'asse $x$.
il codominio è da intendersi $(0,2]$, però escluso lo zero.
il codominio è da intendersi $(0,2]$, però escluso lo zero.
Ecco, questo è il punto. Perché è escluso lo zero?
ti risulta che ci sia qualche punto del grafico sull'asse $x$ ?
No, nessun punto. Ma questo vale ad esempio dall'ascissa -4 all'ascissa 4. E se all'ascissa 10 il grafico s'intersecasse con l'asse x? Non può essere?
il grafico, al finito, è "un cenno" su com'è l'andamento della funzione: devi pensare che se viene presentata così non ti sono nascosti elementi significativi.
d'altronde, se tu avessi una funzione come $f(x)=(x^2-2)/(x+14785)$, non potresti rappresentarla su un piano cartesiano con delle unità di misura così grandi ...
d'altronde, se tu avessi una funzione come $f(x)=(x^2-2)/(x+14785)$, non potresti rappresentarla su un piano cartesiano con delle unità di misura così grandi ...
Sì, ho capito, non devo dunque fare strani pensieri.
Poi, non riesco a capire perché questa funzione non è pari: $f(x)={(1+x^2 hArr x>0),(2-2x^2 hArr x<0):}$. Col grafico riuscirei anche a vedere che non è pari, ma senza no.
So che per essere pari una funzione dev'essere $f(x)=f(-x)$, ho provato a sostituire $x$ con $-x$, ma trattandosi di quadrati, la funzione non cambia. Sono in difficoltà
Ecco, il grafico (quello rosso):
[asvg]axes(1,1, "labels"); strokewidth="0.6"; plot("1+x^2"); plot("2-2x^2"); strokewidth="2"; stroke="red"; xmin=0; xmax=10; plot("1+x^2"); xmin=-10; xmax=0; plot("2-2x^2");[/asvg]
Poi, non riesco a capire perché questa funzione non è pari: $f(x)={(1+x^2 hArr x>0),(2-2x^2 hArr x<0):}$. Col grafico riuscirei anche a vedere che non è pari, ma senza no.
So che per essere pari una funzione dev'essere $f(x)=f(-x)$, ho provato a sostituire $x$ con $-x$, ma trattandosi di quadrati, la funzione non cambia. Sono in difficoltà
Ecco, il grafico (quello rosso):
[asvg]axes(1,1, "labels"); strokewidth="0.6"; plot("1+x^2"); plot("2-2x^2"); strokewidth="2"; stroke="red"; xmin=0; xmax=10; plot("1+x^2"); xmin=-10; xmax=0; plot("2-2x^2");[/asvg]
la definizione di funzione pari è tale che $AA x, f(-x)=f(x)$. qual è la sua negazione logica?
Allora... esiste almeno una x per la quale $f(-x)!=f(x)$?
sì, esatto!
Aaaaaaaaaaah, e questa x è 0??
se avessi già studiato i limiti, ti suggerirei appunto di vedere i limiti destro e sinistro per x che tende a zero, ma no ...
in $x=0$ la funzione non è definita, quindi non va bene, basta prendere un qualsiasi valore positivo di $x != sqrt3/3$ ed il suo opposto ...
in $x=0$ la funzione non è definita, quindi non va bene, basta prendere un qualsiasi valore positivo di $x != sqrt3/3$ ed il suo opposto ...
Mmm...
Prendo $x=3$.
aaaaaaaaaaaaaah, penso di aver capito. Qui opero con una funzione definita a tratti, ok, quindi:
$f(x)=10$, MA $f(-x)=-16$, giusto?
Prendo $x=3$.
aaaaaaaaaaaaaah, penso di aver capito. Qui opero con una funzione definita a tratti, ok, quindi:
$f(x)=10$, MA $f(-x)=-16$, giusto?
sì, giusto.
ti ha lasciato perplesso quel valore particolare?
scusami, ma hai già fatto il terzo (scientifico?) o lo devi ancora fare?
ti ha lasciato perplesso quel valore particolare?
scusami, ma hai già fatto il terzo (scientifico?) o lo devi ancora fare?
Eh sì mi ero scordato di chiederti. Da dove è spuntato fuori $sqrt(3)/3$?
Devo ancora farlo, l'anno prossimo sarò in terza dello scientifico. (beh oddio, l'anno prossimo, tra tredici giorni
).
Devo ancora farlo, l'anno prossimo sarò in terza dello scientifico. (beh oddio, l'anno prossimo, tra tredici giorni
).
la cosa curiosa era che le due "parti" erano entrambe funzioni pari, dunque per trovare gli eventuali valori per cui $f(-x)=f(x)$ è bastato risolvere l'equazione
$x^2+1=2-2x^2$ ...
$x^2+1=2-2x^2$ ...
Eh sì, dovevo pensarci!
Comunque una serie di esercizi conclusivi sulle funzioni ora domandano di trovare, data una funzione $f(x)$, di determinare il sottoinsieme A del dominio tale che $f(A)=[a; b]$. Se tu mettessi questo esercizio in un eventuale compito in classe, e un alunno rispondesse al quesito utilizzando solo il grafico grafico, ti arrabbieresti?
Comunque una serie di esercizi conclusivi sulle funzioni ora domandano di trovare, data una funzione $f(x)$, di determinare il sottoinsieme A del dominio tale che $f(A)=[a; b]$. Se tu mettessi questo esercizio in un eventuale compito in classe, e un alunno rispondesse al quesito utilizzando solo il grafico grafico, ti arrabbieresti?
beh, dipende .....
intendi che scrivi comunque correttamente la risposta, dopo aver tracciato il grafico?
immagino che qualche calcolo devi pur presentarlo, se scrivi i numeri corretti agli estremi di A.
inoltre saresti comunque in grado di trovare l'intero insieme A anche se è costituito da più intervalli?
i casi, inoltre sono tanti: ritorniamo alle "relazioni" inverse. se è possibile trovare l'espressione analitica dell'inversa in maniera elementare, dovresti farlo, altrimenti devi necessariamente ricorrere al metodo grafico.
intendi che scrivi comunque correttamente la risposta, dopo aver tracciato il grafico?
immagino che qualche calcolo devi pur presentarlo, se scrivi i numeri corretti agli estremi di A.
inoltre saresti comunque in grado di trovare l'intero insieme A anche se è costituito da più intervalli?
i casi, inoltre sono tanti: ritorniamo alle "relazioni" inverse. se è possibile trovare l'espressione analitica dell'inversa in maniera elementare, dovresti farlo, altrimenti devi necessariamente ricorrere al metodo grafico.
[asvg]axes(1,1, "labels"); plot("x^2+3x"); stroke="red"; xmin=-14; xmax=-4; plot("x^2+3x"); xmin=1; xmax=10; plot("x^2+3x");[/asvg]
...
La funzione è $f(x)=x^2+3x$...devo trovare il sottoinsieme $A$ tale che $f(A)=[4; +oo]$. Utilizzando un righello dal grafico si vede che $A=(-oo; -4] uuu [1; +oo)$. E il tuo alunno si ferma qui. Che fai?
...
La funzione è $f(x)=x^2+3x$...devo trovare il sottoinsieme $A$ tale che $f(A)=[4; +oo]$. Utilizzando un righello dal grafico si vede che $A=(-oo; -4] uuu [1; +oo)$. E il tuo alunno si ferma qui. Che fai?
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