Esercizi vari sulle funzioni

[Tacito1]

Salve matematici! Sono alle prese con degli esercizi sulle funzioni... uno in particolare dice:
Siano $f(x)=x^2+3, x in RR$ e $A=(1; 3]$. Determina $f(A)$. Considerati poi gli intervalli $B=[0; 1], C=[-1; 1]$, verificare che è $f(B)=f(C)$.
Allora, consideriamo la prima parte. Devo calcolare $f(A)$. Cioè il dominio diventa l'intervallo $A sub RR$, giusto? Ora dovrei fare un'equazione nell'incognita x: $y=x^2+3 rArr x=+-sqrt(y-3)$ e quindi $y$ dev'essere $>=3$, ma non so perché io abbia fatto questa cosa. Mi potreste dare una mano?

[adaBTTLS1]

di questi autori ne ho una marea (diverse edizioni). ho provato a cercare anche gli esercizi postati, ma non li ho trovati.
provo a mischiare qualche esercizio, sperando di ottenere qualche risultato utile.
che ne diresti di trovare il codominio delle seguenti funzioni e dire, ad esempio, quando $f(x)=g(x)$ ?
$f(x)=|x-2|+x-3$
$g(x)=|x^2-x|+|x^2-1|$
$h(x)=|x|+2|x-2|-4$

[Tacito1]

Oooo grazie mille Ada, è gentilissima!! Ora mi cimento!

[adaBTTLS1]

prego.
prima che ti scoraggi, sappi che non mi pare si ottengano soluzioni accettabili, però è importante riuscire a fare la suddivisione per sapere quali espressioni vanno uguagliate.
se trovo qualcosa di interessante, te lo posto.

[Tacito1]

No, sono andato in tilt. Non riesco più a fare niente.
No, forse mi è venuta l'ispirazione.....

[adaBTTLS1]

nel frattempo ho trovato il tuo esercizio nel testo "nuovi elementi di matematica per il triennio dei licei scientifici sperimentali": è il n. 22 a pag. 568 del volume A, ed è l'ultimo di una piccola serie di esercizi simili. penso che anche gli altri siano uguali a quelli del tuo testo.

[Tacito1]

Eh, anche a me è il 22..a pag. 105, allora vuol dire che saranno gli stessi

[adaBTTLS1]

ti lascio allora a meditare sulle funzioni di prima, dicendoti che se invece di confrontare f e g confronti h con una delle due allora ottieni qualche risultato. considerali sei esercizi distinti (i codomini di ciascuna e i valori in comune a due a due).

[Tacito1]

No allora non ho capito...devo scriverle in forma di legge analitica anche, vero?

[adaBTTLS1]

devi scriverle nella forma dell'esercizio postato da te, cioè come funzioni definite a tratti (io le chiamo così), dopo che hai studiato i segni delle espressioni dentro i simboli di modulo.

[Tacito1]

aaaah, ecco sì è meglio chiamarle funzioni definite a tratti, il mio libro le chiama leggi analitiche, ma così come le chiama lei si capisce meglio!
Quindi la prima è: $f(x)={(2x-5, hArr x>=2),(-1, hArr x<2):}$, giusto?

[adaBTTLS1]

sì

[Tacito1]

E ora direi che il dominio è $[-1; +oo)$

[adaBTTLS1]

il codominio è quello che hai scritto (non il dominio).
per quanto riguarda la dicitura, mi sento in dovere di dirti che "espressione analitica" non ha niente a che vedere con "funzione definita a tratti": tutte le cosiddette "funzioni reali", descritte attraverso equazioni del tipo $f(x)="espressione contenente la x"$, comprese quelle con modulo e quelle che abbiamo chiamato "definite a tratti", le possiamo chiamare "leggi analitiche" come dice il libro. è per distinguerle dalle "funzioni empiriche", che vengono date "solo per punti" e non mediante una legge matematica.
un'altra cosa: sul forum si usa darsi del tu.
buon proseguimento!

[Tacito1]

OK, grazie per la dritta.
Comunque, sìsì quello era il codominio, ho sbagliato a scrivere!
Capito cercherò di darTI del tu, anche se SEI una professoressa ed è stranissimo

[Tacito1]

Eccomi, dopo le vacanze ritorno all'esercizio propostomi da ada.
Devo trovare il codominio di $g(x)=|x^2-x|+|x^2-1|$. Scrivo questa funzione in legge analitica a tratti: $g(x)={(2x^2-x-1 hArr x<=-1 uu x>=1),(1-x hArr -1

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[adaBTTLS1]

bentornato dalle vacanze.
io, al contrario, ho maggiori possibilità di collegamento ora che sono ancora in vacanza ... per qualche giorno.

fin qui, ok.
ora, devi tener conto che quella di primo grado è un segmento, le altre due (in tre intervalli) sono archi di parabole: per capire dove sono crescenti o decrescenti devi confrontare le ascisse dei vertici delle due parabole con i "punti di confine".
poi, con l'andamento della funzione nei vari tratti, qualche valore particolare e qualche limite, dovresti riuscirci facilmente.
prova e facci sapere. ciao.

[Tacito1]

Ah ok, sono bastati 20 giorni per farmi dimenticare la faccenda dei grafici, allora:
Devo disegnare tre grafici
$x<=-1 uu x>=1$, allora il grafico di $g(x)$ è:
[asvg]axes(1,1, "labels"); xmin=1; xmax=4; plot("2x^2-x-1"); xmin=-4 ;xmax=-1; plot("2x^2-x-1");[/asvg]
quindi il codominio è $[0; +oo) uu [2; +oo)=[0; +oo)$, giusto?

[adaBTTLS1]

devi considerare anche gli altri due "pezzi", che però non influiscono sul risultato finale.
quindi il codominio è unione di 4 intervalli, di cui 2 sono quelli che hai scritto, e il risultato è lo stesso scritto da te.

[Tacito1]

Sì sì, lo so, volevo solo essere sicuro di aver fatto giusto questa prima parte.
Poi, se $-1 [asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax=3; axes(1,1, "labels", "grid"); xmin=-1; xmax=0; plot("1-x");[/asvg]
e quindi il codominio è $(1; 2]$.
Se infine abbiamo $0 [asvg]xmin=-1; xmax=4; ymin=-2; ymax=3; axes(1,1, "labels", "grid"); xmin=0; xmax=1; plot("-2x^2+x+1");[/asvg]
E qui qual è il codominio??? Il primo estremo (che non è incluso) è 0, ok, ma il secondo non lo posso definire?

[adaBTTLS1]

i valori agli estremi li hai trovati, ma ti serve il max, che è il valore $g(1/4)=9/8$, cioè l'ordinata del vertice della parabola. il codominio qui sarà $(0,9/8)$.